1、 第三章第三章 一元一次方程一元一次方程本章知识解读方案本章知识解读方案单元知识梳理单元知识梳理专题一专题一 根据一元一次方程的概念求字母参数的值根据一元一次方程的概念求字母参数的值一元一次方程必须满足四个条件：（一元一次方程必须满足四个条件：（1）等号两边都是）等号两边都是整式；（整式；（2）只含有一个未知数；（）只含有一个未知数；（3）未知数的次数）未知数的次数是是1；（；（4）未知数的系数不等于）未知数的系数不等于0.利用这些条件列式求利用这些条件列式求解有关字母参数的值解有关字母参数的值.专题解读专题解读例例1 已知关于已知关于x的方程的方程mx3-xn+2-2x3+1=0化简后是一元
2、一化简后是一元一次方程次方程.（1）求）求3m-n2的值；的值；（2）解化简后的一元一次方程）解化简后的一元一次方程分析：（分析：（1）根据一元一次方程的定义得出）根据一元一次方程的定义得出m-2=0，n+2=1，求出，求出m,n的值，代入式子求值即可；（的值，代入式子求值即可；（2）将所）将所得得m，n的值分别代入原方程，解关于的值分别代入原方程，解关于x的方程即可的方程即可解：（解：（1）化简方程）化简方程mx3-xn+2-2x3+1=0可得，可得，（m-2）x3-xn+2+1=0.因为关于因为关于x的方程的方程mx3-xn+2-2x3+1=0化简后是一元一次方化简后是一元一次方程，程，所
3、以所以m-2=0，n+2=1，解得解得m=2，n=-1.所以所以3m-n2=32-（-1）2=5（2）当）当m=2，n=-1时，原方程为时，原方程为-x+1=0，解得解得x=1 方法点拨：方法点拨：本题考查了一元一次方程的定义和整式加减本题考查了一元一次方程的定义和整式加减的运用，一般情况下根据一元一次方程所满足的几个条的运用，一般情况下根据一元一次方程所满足的几个条件列出方程，即可解出有关字母参数的值件列出方程，即可解出有关字母参数的值专题二专题二 已知方程的解求其他字母的值已知方程的解求其他字母的值某些一元一次方程中，未知数的系数或常数是一个含有某些一元一次方程中，未知数的系数或常数是一个
4、含有字母的整式，当已知这个一元一次方程的解时，把方程字母的整式，当已知这个一元一次方程的解时，把方程的解代入方程即可得到关于字母的方程，进而求得字母的解代入方程即可得到关于字母的方程，进而求得字母的值的值.专题解读专题解读例例2 李明同学在解方程李明同学在解方程 ，去分母时，方，去分母时，方程右边的程右边的-1没有乘没有乘3，因而求得方程的解为，因而求得方程的解为x=3,试求试求a的的值，并正确地解方程值，并正确地解方程.分析：由题目知，分析：由题目知，x=3是方程是方程2x-1=x+a-1的解，我们把的解，我们把x=3代入方程，得到一个关于代入方程，得到一个关于a的一元一次方程，解方程的一元
5、一次方程，解方程求得求得a的值，进而正确地解原方程的值，进而正确地解原方程.13312 axx解：把解：把x=3代入方程代入方程2x-1=x+a-1中，得中，得6-1=3+a-1，解得，解得a=3.所以原方程为所以原方程为 .去分母，得去分母，得2x-1=x+3-3.移项，得移项，得2x-x=3-3+1.合并同类项，得合并同类项，得x=1.21133xxa方法点拨：方法点拨：已知方程的解求其他字母的值，将方程的解已知方程的解求其他字母的值，将方程的解代入原方程，得到关于其他字母的方程，是解决此类问代入原方程，得到关于其他字母的方程，是解决此类问题的方法题的方法.专题三专题三 巧解一元一次方程巧
6、解一元一次方程专题解读专题解读 解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为移项、合并同类项、系数化为1，但对某些特殊结构的，但对某些特殊结构的方程可以运用一些其他技巧，能使解方程的过程简化方程可以运用一些其他技巧，能使解方程的过程简化.例例3 解方程：解方程：（1）;（2）278（x-3)-463（6-2x)-888（7x-21)=0.分析：（分析：（1）中既有括号又有分母，且各分母的公分母）中既有括号又有分母，且各分母的公分母较大，为此先去括号再去分母，为了能进行约分，在较大，为此先去括号再去分母，为了能进行约分，在等式的右
7、边先去掉中括号；（等式的右边先去掉中括号；（2）本题若按常规解法，）本题若按常规解法，计算量较大，观察原方程两边，不难发现方程左边各计算量较大，观察原方程两边，不难发现方程左边各项变形后都含有因式项变形后都含有因式x-3，可逆用分配律，可逆用分配律.16)124(1313261)422(4123xxxx解：（解：（1）先去中括号，得）先去中括号，得 .再去小括号，得再去小括号，得 .去分母，得去分母，得24-2x+（x-2)=8x-2（x+3）.去括号，得去括号，得24-2x+x-2=8x-2x-6.移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得-7x=-28.系数化为系数化为1，得，得x=4.（2
8、）将原方程化为）将原方程化为278（x-3)+4632（x-3)-8887（x-3)=0.逆用分配律，得（逆用分配律，得（278+4632-8887)（x-3)=0，解得解得x=3.31241224 24232()xxxx323281628xxxx 例例4 解方程：解方程：.分析：本题如果按照方程两边同乘各分母的最小公分析：本题如果按照方程两边同乘各分母的最小公倍数的方法去分母，由于有的分母是小数而不便于计算，倍数的方法去分母，由于有的分母是小数而不便于计算，因此可先把方程中的小数化为整数，再按照方程两边同因此可先把方程中的小数化为整数，再按照方程两边同乘各分母的最小公倍数的方法去分母乘各分母
9、的最小公倍数的方法去分母.105.012.02.04.0 xx解：将原方程化为解：将原方程化为 .去分母，得去分母，得5（10 x+4）-2（20 x-100)=10.去括号，得去括号，得50 x+20-40 x+200=10.移项，得移项，得50 x-40 x=10-20-200.合并同类项，得合并同类项，得10 x=-210.系数化为系数化为1，得，得x=-21.10420100125xx专题四专题四 巧列一元一次方程解决实际问题巧列一元一次方程解决实际问题专题解读专题解读 列一元一次方程解应用题的一般步骤：找相等关系、列一元一次方程解应用题的一般步骤：找相等关系、设未知数、列方程、解方程
10、、检验、写出答案，其中设设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，其中设未知数有直接设未知数和间接设未知数之分，找相等关未知数有直接设未知数和间接设未知数之分，找相等关系需要总揽全局、理顺数量关系系需要总揽全局、理顺数量关系.例例5 李明要从学校到县城里参加运动会，如果他每李明要从学校到县城里参加运动会，如果他每小时走小时走4 km,那么走完预计时间他离县城还有那么走完预计时间他离县城还有0.5 km;如如果他每小时走果他每小时走5 km，那么比预计时间早半小时到达县城，那么比预计时间早半小时到达县城.问：学校到县城的距离是多少？问：学校到县城的距离是多少？分析：观察题目中的条件，发现预计时间
11、是一个未分析：观察题目中的条件，发现预计时间是一个未知量，并且这个预计时间与已知和要求的距离关系密切，知量，并且这个预计时间与已知和要求的距离关系密切，因此不妨设预计时间为未知数，然后求要求的未知量因此不妨设预计时间为未知数，然后求要求的未知量.解：设李明预计到县城的时间为解：设李明预计到县城的时间为x h.由题意，得由题意，得4x+0.5=5（x-0.5)，解得，解得x=3.所以所以4x+0.5=43+0.5=12.5.答：学校到县城的距离是答：学校到县城的距离是12.5 km.方法点拨：方法点拨：当直接设未知数有困难时，可采用间接设未当直接设未知数有困难时，可采用间接设未知数的方法，通过所
12、设的未知数求出要求的未知量，也知数的方法，通过所设的未知数求出要求的未知量，也就是说所设的不是最终要求的未知量，而是通过求其他就是说所设的不是最终要求的未知量，而是通过求其他的数量间接地求得最终要求的未知量的数量间接地求得最终要求的未知量.例例6 某物流公司，要将某物流公司，要将300 t物资运往某地，现在物资运往某地，现在A，B两种型号的车可供调用，已知两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装型车每辆可装20 t，B型车每辆可装型车每辆可装15 t.在每辆车不超载的条件下把在每辆车不超载的条件下把300吨物吨物资装运完，问：在已确定调用资装运完，问：在已确定调用5辆辆A型车的前提下至少型车的
13、前提下至少还需调用还需调用B型车多少辆？型车多少辆？分析：本题利用分析：本题利用A，B两种型号的车辆进行运输，两种型号的车辆进行运输，共两种运输情形，每种运输情形都涉及车辆数、每辆共两种运输情形，每种运输情形都涉及车辆数、每辆车的运载量、总运载量车的运载量、总运载量.由于这些量之间的关系复杂，由于这些量之间的关系复杂，因此利用表格可使其关系明朗化，可列表如下：因此利用表格可使其关系明朗化，可列表如下：解：设还需要调用解：设还需要调用B型车型车x辆辆.根据题意，得根据题意，得205+15x=300,解得解得x=.因为因为x是车辆数，应为正整数，所以是车辆数，应为正整数，所以x的值为的值为14.答
14、：至少还需调用答：至少还需调用B型车型车14辆辆.1133方法点拨方法点拨：首先通过题意找出题目中的数量关系，用表：首先通过题意找出题目中的数量关系，用表格的形式把数量关系表示出来，然后根据数量关系列出格的形式把数量关系表示出来，然后根据数量关系列出方程，最后解方程方程，最后解方程.列表格更直观，且不易出错列表格更直观，且不易出错.方法一方法一 整体思想整体思想 整体思想是一种重要的数学思想方法，即在考虑整体思想是一种重要的数学思想方法，即在考虑数学问题时不是局限于它的局部特征，而是把注意力数学问题时不是局限于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上和着眼点放在问题的整体结构上.
15、本章在解某些特殊结本章在解某些特殊结构的一元一次方程时，可以把方程中某一部分当作一构的一元一次方程时，可以把方程中某一部分当作一个整体，根据它们之间的关联进行整体处理，以便于个整体，根据它们之间的关联进行整体处理，以便于更快捷地解方程更快捷地解方程.方法解读方法解读 例例7 解方程：解方程：.分析：本题可以按照先去分母的方法解方程，但分析：本题可以按照先去分母的方法解方程，但计算量较大，因为方程中有三项含有计算量较大，因为方程中有三项含有3x-2，所以可运用，所以可运用整体思想求解整体思想求解.13532231523 xxx解：将原方程变形为解：将原方程变形为 .令令 =y,则将方程变形为则将
16、方程变形为y+15y=3y-13.移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得13y=-13.系数化为系数化为1，得，得y=-1.所以所以 =-1.去分母，得去分母，得3x-2=-15.移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得3x=-13.系数化为系数化为1，得，得x=-.32323213155xxx()()3215x 3215x 1331523 x方法点拨方法点拨：本题按照一般解方程的方法也可以求解，本题按照一般解方程的方法也可以求解，但把但把 看成一个整体解方程更简单，虽然从步看成一个整体解方程更简单，虽然从步骤上没有明显的减少，但是计算起来比较简单骤上没有明显的减少，但是计算起来比较简单.方
17、法二方法二 数形结合思想数形结合思想 中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，所中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，所谓数形结合是指利用数量关系来研究图形特征，利用谓数形结合是指利用数量关系来研究图形特征，利用图形特征来研究数量关系，借助数与形的相互转化来图形特征来研究数量关系，借助数与形的相互转化来研究和解决问题研究和解决问题.在本章中有关图形的应用题，需要借在本章中有关图形的应用题，需要借助图形给出的信息，再结合题目文字说明列方程并求助图形给出的信息，再结合题目文字说明列方程并求解；在解没有图形的应用题时，也可通过画示意图分解；在解没有图形的应用题时，也可通过画示意图分析题意，寻找相等
18、关系，这些都体现了数形结合思想析题意，寻找相等关系，这些都体现了数形结合思想.方法解读方法解读例例8 某班有学生某班有学生45人，选举人，选举2人作为学生会干部候选人作为学生会干部候选人，结果有人，结果有40人赞成甲，有人赞成甲，有37人赞成乙，对甲、乙都人赞成乙，对甲、乙都不赞成的人数是都赞成人数的不赞成的人数是都赞成人数的 ，那么对甲、乙都赞，那么对甲、乙都赞成的人数是多少？成的人数是多少？分析：题目中所给条件之间的关系不太明显，不易找分析：题目中所给条件之间的关系不太明显，不易找出等量关系，若用图表示就能一目了然出等量关系，若用图表示就能一目了然.9191 解：设对甲、乙都赞成的人数为解
19、：设对甲、乙都赞成的人数为x，都不赞成的人，都不赞成的人数为数为 x，可画出如图，可画出如图3-1的图示：的图示：根据题意，得（根据题意，得（40-x)+x+37-x+x=45，解得解得x=36.答：对甲、乙都赞成的人数是答：对甲、乙都赞成的人数是36.19方法点拨：方法点拨：本题通过画示意图，把一个抽象的本题通过画示意图，把一个抽象的“数数”的问题，转化为直观的的问题，转化为直观的“形形”的问题，体现了数形结的问题，体现了数形结合思想在解题中的具体运用合思想在解题中的具体运用.方法三方法三 分类讨论思想分类讨论思想方法解读方法解读 分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一分类讨论，就是当问
20、题所给的对象不能进行统一研究时，就需要把研究对象按某个标准进行分类，然研究时，就需要把研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的答案到整个问题的答案.本章的分类讨论思想主要表现为以本章的分类讨论思想主要表现为以下两个方面：一是解含字母系数的方程时，在对下两个方面：一是解含字母系数的方程时，在对ax=b系数化为系数化为1时，应根据时，应根据a，b的取值讨论解的情况；二是的取值讨论解的情况；二是列方程解决分段付费、方案决策等问题时，需要对各列方程解决分段付费、方案决策等问题时，需要对各种情况进行讨论，得出最
21、佳方案种情况进行讨论，得出最佳方案.例例9 关于关于x的方程的方程2ax+2=12x+3b,当当a,b为何值时：为何值时：（1）方程有唯一解？（）方程有唯一解？（2）方程有无数个解？（）方程有无数个解？（3）方）方程无解？程无解？分析：解含字母参数的方程时，先将方程化为分析：解含字母参数的方程时，先将方程化为“ax=b”的形式，再根据方程的解的情况进行分类讨论的形式，再根据方程的解的情况进行分类讨论.解：将方程解：将方程2ax+2=12x+3b变形，变形，得（得（2a-12）x=3b-2.（1）当）当2a-120，即，即a6时，方程只有一个解，其解为时，方程只有一个解，其解为x=.即当即当a6，b为任意实数时，方程有唯一解为任意实数时，方程有唯一解.（2）当）当2a-12=0，且，且3b-2=0时，方程有无数个解时，方程有无数个解.由由2a-12=0,得得a=6;由由3b-2=0,得得b=.即当即当a=6且且b=时，方程有无数个解时，方程有无数个解.3221 2ba 2323（3）当）当2a-12=0，且，且3b-20时，方程无解时，方程无解.由由2a-12=0，得，得a=6;由由3b-20，得，得b .即当即当a=6，且，且b23时，方程无解时，方程无解.23
