1、2020 年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案 一、填空题（每题填空题（每题 8 8 分，共分，共 8080 分分） 1. 32 290xxx 2. 1 3. 1 642（每个答案给 4 分，满分 8 分） 4. 3 3 5. 1 3 6. 5 ,7 2 7. = 1 4 15 4 （每个答案给 4 分，满分 8 分） 8. 126 9. 153 10. 912 二、解答题（共五题，11-13 各 20 分，14、15 各 30 分，合计 120 分） （解答题严格按照上述标准给分，分数整 5 整 10，不给其他过度分数。 ） 11. 已知数列 n a，且 1 21a ， 1 1 1(2,3
2、,) 1 n n an n nan ，令 1 n n b a ，记 数列 n b的前n项和为 n S。 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若对任意的 * nN，2(1)101 n nSn恒成立，求实数的取值范围。 解答解答 （1）由数学归纳法证明得1 n ann 。 （5 5 分分） （2）由于1 n bnn ，得 1 1 n Sn , （1010 分分） 由2(1)101 n nSn得到 2100 1 11 n n nn ， 上式对任意的正整数成立， 则 maxmin 62100 ()(1)20 211 n n nn ，（1515 分）分） 即 6 20 2 。 （20 分分） 121
3、2. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 3 2 ，且椭圆C的任意三个顶点 构成的三角形面积为 1 2 。 （1）求椭圆C的方程； （2）若过( ,0)P的直线l与椭圆交于相异两点,A B，且2APPB，求实数的范围。 解答解答 （1）设椭圆的长半轴长为, a短半轴长为, b则有 22 31 , 22 ab ab a ，解得， 1 1, 2 ab，所以椭圆C的方程为 22 41xy。 （5 5 分）分） （2）设直线l的方程为,xmy设两个交点坐标为 11 (,)A x y， 22 (,)B xy。 由2APPB，得到 12 2yy 。 （1010 分分） 联立方程组 22 41x
4、y xmy 得到 222 (4)210mymy 显然， 12 ,y y为方程的两个相异的实根，则有 22222 (2)4(1)(4)04(1)mmm 由韦达定理得 2 1212 22 21 , 44 m yyy y mm ，联立得到 22 22 222 214(1) 2()0 4491 m m mm （1515 分分） 又1 ， 1 3 不符合题意。 把代入得到 2 22 2 4(1)111 4(1)1( 1,)( ,1) 91933 。 （20 分分） 13. 已知函数 1 ( )1 x f xxea 。 （1）若( )0f x 恰有三个根，求实数a的取值范围； （2） 在 （1） 的情形下
5、， 设( )0f x 的三根为 123 ,x x x， 且 123 xxx， 证明 21 xxa。 解答解答： （1）1x时， x exxf 1 1 ， 0 11 1 1 2 x e xx xf 1x时， x exxf 1 1 ， 0 11 1 1 2 x e xx xf 所以函数 xf在, 1,1,0, 0, ， 且( )(), ( 1)0, (0 ), (0 )0,f xxfff 故0a （5 分分） （2）设 x xxg 1 )(，下证 xfxg)(在0 ,x上恒成立. 即证 x ex x x 1 2 1 1 ， 变形得到 x e x 1 1 1 ， 在0 ,x上， 显然成立. （10
6、分分） 设 axg在0 ,x上有两解 54,x x，且 54 1xx. 可得： 441 xfxgaxf， 552 xfxgaxf 注意到 xf的单调性，有 5241 ,xxxx. （15 分分） 通过解二次方程可以解得 2 4 , 2 4 2 5 2 4 aa x aa x， 则有axxxx 4512 . （20 分分） 14. 设正整数3n ， 已知n个数 12 , n a aa，记两两之和为() ijij baa ij，得到如 下表格： 21 b 31, b 32 b 1,n b 2,n b ,1 , n n b 若在上述表格中任意取定k个数，可以唯一确定出n个数 12 , n a aa，
7、求k的最小值。 解答解答 （1）当3n 时，显然由 212132323131 ,baa baa baa才能唯一确定出 123 ,a a a，此时3k 。 （5 分分） （2） 当4n 时。 显然由 2 3 14kC ， 否则取某三个数的两两之和不能确定出第四个数。 当4k 时，如果 21314243 , , bbbb这 4 个值，也无法确定出 1234 ,a a a a。 当5k 时，若已知 213132414243 ,bbbbbb中任意五个数的值。不妨设 21 b的值未知，则由 31324243 , bbbb可以确定 3324342 1 () 2 abbb，从而唯一确定出 1234 ,a a
8、 a a。 （10 分分） （3）当5n 时，显然由当 2 1 1 n kC ，下面证明最小值取到等号。 （a） 当5n 时， 2 4 17kC ， 即如果知道 7 个 ij b， 则一定存在一个下标 s， is b（或 js b） 最多出现 2 次，至少出现 1 次。事实上，7 个 ij b共有 14 个下标，而 1,2,3,4,5 每个下标出现 3 次及以上，就共出现 15 个下标，这是不可能的。因此根据（2） ，由至少 5 个 , ,1,2,3,4,5 s ij b i j的值可唯一确定出,1,2,3,4,5s i a i， 再由至少出现一次的 is b （或 js b）唯一确定出 s
9、a。 （20 分分） （b） 当6n时， 用数学归纳法证明 2 1 1 n kC 。 当取 k 个 ij b时， 一定存在一个下标 s， is b （或 js b）最多出现2n次（因为2(1)kn n） ，则, ,1,2,3, s ij b i jn至少有 22 11 (2)C3C1 nn knn 由归纳可知， 这些 ij b可唯一确定出,1,2,3, s i a in， 然后再有 is b（或 js b） 确定出 s a。 （30 分分） 15. 设 , ij ab为实数列，证明 11 202020202020 22 22 2 ,111 2() () () mn mn m nmn a b a
10、b mn 。 证明证明： 不等式的左边= 11 2020 44 ,1 () () ()() mn m n ambn nmmnmn ，由 Cauchy 不等式得 11 2020 44 ,1 1111 20202020 22 4242 ,1,1 () () ()() () ) () ) ()() mn m n mn m nm n ambn nmmnmn ambn nmmnmn ， （10 分分） 由等式 11 202020202020 22 42 2 ,111 1 () () ()() m m m nmn amm a nnmnmn 以及 11 202020202020 22 42 2 ,111 1
11、 () () ()() n n m nnm bnn b mmmnmn ，从而只需证明 1 2020 2 2 1 1 () 2 () n m nmn （1）以及 1 2020 2 2 1 1 () 2 () m n mmn （2） 。 （20 分分） 这两个不等式是一样的(m,n 对调). 下面证明： 1 2 2 111 ()2() ()1 11 m nmnnn mm .（3） 该不等式等价于 1 2 2 2 1 ()2() ()1 111 2 ()(1)() mmm nmnnmnm nn mnnnmnm 而由 2 21 (1)()() ,2(1) 1 nmnmmnnn nnn ， 可知最后的不等式成立。 对(3)求和即得(1)式， 得证。 （30 分分）
