1、二次根式基本定义及其应用一、二次根式的定义一般地,我们把形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义.注意:在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,等是二次根式,而,等都不是二次根式.二、二次根式的判定二次根式必具备条件含有二次根号如:不是二次根式；是二次根式；不是二次根式；特别注意是二次根式.被开方数大于等于0三、二次根式有意义的条件1、 单独的二次根式:被开方数大于等于0,如,等；2、 含有分母的二次根式:被开方数大于等于0,分母不等于0,二者要综合考虑,如:；3、 二次根
2、式永远有意义:被开方数为完全平方加正数,如.总结:1、 二次根式与分式、函数结合讨论未知数有意义的问题为中考必考内容；2、 所有的二次根式计算至最后都要化成最简二次根式.例题1 已知,y,且x、y均为整数,求xy的值.解析:先求出x的取值范围,再根据x,y均为整数,可得x的值,再分情况得到xy的值.答案:由题意知:20x30,又因为x,y均为整数,所以x20,30x均需是一个整数的平方,因而x只可以取21或29,当x21时,y4,xy的值为25；当x29时,y4,xy的值为33.故xy的值为25或33.点拨:考查了二次根式的定义,解题的难点是根据x、y均为整数,得到x20,30x均需是一个整数
3、的平方.例题2 已知点P（x,y）在函数y的图象上,那么点P应在平面直角坐标系中的（）A、 第一象限 B、 第二象限 C、 第三象限 D、 第四象限解析:因为分式有意义的条件是分母不等于0；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0.从而可以得到x0,由x20,可以得到0,y0,即可求出点P所在的象限.答案:,x0；又x0,0,即y0P应在平面直角坐标系中的第二象限.故选B.点拨:考查了分式和二次根式有意义的条件,难点是判断出所求的点的横、纵坐标的符号.估算二次根式的值根据提示的方法估算二次根式的大概取值.例题 阅读材料:学习了无理数后,某数学兴趣小组开展了一次探究活动:估算的近似值.小明的方
4、法:,设3k（0k1）.（）2（3k）2.1396kk2.1396k,解得k.3 3、67.问题:（1）请你依照小明的方法,估算的近似值；（2）请结合上述具体实例,概括出估算的公式:已知非负整数a、b、m,若aa1,且ma2b,则 （用含a、b的代数式表示）；（3）请用（2）中的结论估算的近似值.解析:（1）根据题目信息,找出41前后的两个平方数,从而确定出6k（0k1）,再根据题目信息近似求解即可；（2）根据题目提供的求法,先求出k值,然后再加上a即可；（3）把a换成6,b换成1代入公式进行计算即可得解.答案:（1）,设6k（0k1）,（）2（6k）2,413612kk2,413612k.解
5、得k,660、426、42；（2）设ak（0k1）,ma22akk2a22ak,ma2b,a22aka2b,解得k,a；（3）,依据（2）中结论,66、08.求最值问题利用因式分解及二次根式的定义,被开方数是非负数,求最值.例题 若是整数,则整数k的最小正整数值为 .解析:设,则k2a22008,（ka）（ka）2008,即ka与ka是2008的因数,确定2008的因数,即可求得k,a的值,即可确定k的整数值.答案:设,则k2a22008,（ka）（ka）2008120082100445028251分别求出k值, 则或或或.解得:（舍去）,或或（舍去）.则k的最小正整数值是:253.故答案是:
6、253.（答题时间:45分钟）一、选择题1、 已知n是一个正整数,是整数,则n的最小值是（）A、 3 B、 5 C、 15 D、 252、 下列说法错误的是（）A、 零和负数没有算术平方根 B、 是一个非负数,也是二次根式C、 的最小值是4 D、 的值一定是0*3、 下列根式中最简二次根式的个数有:2,（）A、 2个 B、 3个 C、 4个 D、 5个*4、 若实数x使代数式有意义,则x的取值范围是 （ ）x1且x2.A、 x1 B、 x1 C、 x1且x2D、 x1且x2*5、 观察下列各式:2；3；4；依此类推,则第四个式子是哪个？用n（n2）的等式表达你所观察得到的规律应是（ ）.A、
7、、 B、 、n C、 、nD、 、n二、填空题:*6、 已知化简后的二次根式 与 是同类二次根式,则xy_.*7、 已知y4,n是整数,则正整数n的最小值与xy的平方根的积为 .*8、 用下面“逐步逼近”的方法可以求出的近似值.先阅读,再答题:因为22732,所以23.第一步:取2、5,由2、526、257得2、53.第二步:取2、75,由2、7527、56257得2、52、75请你继续上面的步骤,写出第三步,并通过第三步的结论,对十分位上的数字作一估计 .*9、 求和S .三、解答题:*10、 如果y 1,求2xy的值.*11、 已知:2|c249|,求实数a、b、c的值.*12、 已知|2
8、009a|a,求的值.（1）由式子可以得出a的取值范围是什么？（2）由（1）,你能将等式|2009a|a中的绝对值去掉吗？（3）由（2）,你能求出a20092的值吗？（4）讨论总结:求的值.1、 C 解析:3,若是整数,则也是整数；n的最小正整数值是15；故选C.2、 A 解析:A、 零的算术平方根是0,负数没有平方根,故错误；B、 a2b2是非负数,所以是一个非负数,也是二次根式,故正确；C、 x21616,当x0时,有最小值是4,故正确；D、 （x1）20,有意义的情况下它的值一定是0,故正确.故选A.3、 B 解析:22|x|；5xy；|；它们都不是最简二次根式；因此符合最简二次根式条件
9、的有:、,共3个；故选B.4、 D 解析:使代数式有意义,实数x应满足条件x10,|x2|40,解得x1且x2,故选D.5、 C 解析:第四个式子是5；用n（n2）的等式表达你所观察得到的规律应是n.故选C.6、 2 解析:根据题意,得,即,由2,解得,x1,；把代入,解得,y1,xy2；故答案是2.7、 解析:根据题意,x10且1x0,解得x1且x1,所以x1,所以y4,又24n0,n是整数,n的最小值是6,xy141,正整数n的最小值与xy的平方根的积为,故填:.8、 6或7 解析:取2、625,由2、62526、8906257得2、6252、75；所以十分位上的数字可能是6或7.9、 1
10、2 解析:由（）112（）,所以S102（1）102（1）12. 10、 解:根据二次根式有意义的条件可得x240,4x20,解得:x2,则y1,当时,2xy2215,当时,2xy2（2）13,2xy的值为5或3.11、 解:a50,且102a0,a5,|c249|0,则3ab0,c2490,即15b0,c2490,解得b15,c7.综上所述,实数a、b、c的值分别为5,15,7.12、 解:（1）根据二次根式有意义的条件可得a20100,解得a2010.（2）原式a2009a,即2009.（3）2009,a201020092,a200922010.（4）a20092152010152025,故45.
