1、吾日三省吾身：看得懂、记得住、用得了.高中数学公式第一部分：集合、条件、不等式1集合（1）常用数集：正整数集，自然数集，有理数集，实数集.（2）子集（包括真子集和相等）、交集、并集、补集、全集、空集（注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）（3）含个元素的集合个数： 子集有个；真子集有个；非空子集有个；非空真子集有个.2命题定义：可以判断真假的陈述句叫命题.四种命题： 原命题：若，则； 逆命题：若，则； 否命题：若，则； 逆否命题：若，则.注：原命题与逆否命题同真假：逆命题与否命题同真假. 四种命题的真假个数：0个，2个，4个.3. 条件 命题命题.，是的充分不必要条件（是的真子集
2、），是的必要不充分条件（是的真子集），是的充要条件（相等），是的及不充分也不必要（、互补包容）技巧：小范围推大范围，大范围不能推小范围，即小的推大的，大的不能推小的.4. 逻辑连词、量词（1）逻辑连词或且非，或命题一真就真，且命题全真才真，非命题真假互换。 且（交集）：； 或（并集）：； 非（结论否定）：（2）量词一般有两个，全称量词所有的，存在量词有一个，若要否定变形式.全称命题；特称命题；5. 二次方程两项：（1）直接开平方（形如）；（2）提取公因式（形如）；三项：（3）十字相乘法；（4）配凑法（提；配；括；完）（5）公式法：求根公式,判别式；韦达定理： .6. 不等式的性质两个实数比较大
3、小的方法：（1）作差法：与0比； （2）作商法：与1比 ；性质：（1）乘法 . （2）同向相加.（3）同向相乘 .7二次次不等式（1）的解集或，“大于取两边”.（2）的解集“小于取中间”.若，则当时，恒成立；当时，恒成立8二次函数一般式：方法： （1）配方法，顶点式：， 对称轴；顶点（2）十字相乘法，交点式： 与轴的交点：（3）对称轴方程： 顶点坐标：9分式不等式化整式（1） （2）且（3） （4）且10绝对值不等式若， （1） “小于取中间”；（2）或“大于取两边”若， （1）；（2）或第二部分 函数、导数1指数运算根式运算：；整数幂：（1） （个相乘） （2） （3）分数幂：（1） （2）
4、 （3）指数运算：， ，2对数运算（1） 指数与对数互化：（2） 对数恒等式：； ； （指对之后还是）（3） 常用对数：；自然对数：（4） 对数的运算：加乘：；减除：（3） 顶在外：（4） 顶在外，体位不变：（5） 体位不变:（学名换底公式，常用在对数的乘法运算中，但不常用）3函数的定义域（1）分式：（） （2）偶次方根：（）（3）零指数幂：（）（） （4）对数：（）4函数的解析式求函数解析式的4种方法（1）换元法（从前到后） （2）配凑法（从后到前）（3）待定系数法 （4）解方程组法：与，解方程组5函数的单调性设、，那么（1）若，为增函数；若为增函数（同号为增）；（2）若，为减函数；若为减函
5、数（异号为减）；复合函数的单调性：、“同增异减”.6函数的奇偶性偶函数：（1）定义域关于原点对称（2） 偶函数图像关于y轴对称；奇函数：（1）定义域关于原点对称（2） 奇函数图像关于原点对称；公共定义域内有：奇奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇.7. 函数的对称性对称轴：图像关于直线对称对称轴；对称中心：图像关于点（a，b）对称.对称中心.8. 函数的周期性（1），（2），（3），（4），（5），（6）两个对称轴是半个周期：关于直线，对称，那么（7）两个对称中心也是半个周期：关于点（a，0）（b，0）对称，那么（8）对称轴与对称点是个周期：关于直线，点（b，0）对称，那么三角函数图
6、像可证明（6）（7）（8）.9. 常见的五种函数（1）一次函数：（）；k：斜率，b：y轴上的截距；，递增；，递减（2）二次函数：（）；看a；看；画图；求解（3）三次函数：；求导（4）反比例函数：（）；，图像在一、三象限；，图像在二、四象限（5）双勾函数：（）；，当时，；，当时，.10. 基本不等式 （1）； （2）满足三个条件：“一正二定三相等” 口诀：均值的平方平方的均值.11. 零点问题方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.函数零点存在性定理：函数在区间上连续，且，则存在零点.函数单调，则存在一个零点.函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点；（2）利用零点存在性定理，再结合函数的单
7、调性确定零点个数；（3）利用函数图象的交点个数判断12. 幂函数幂函数定义：形如的函数称为幂函数当时，在上为增函数当时，在上为减函数 函数性质图象定义域：左右 值域： 上下奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增 减 增增增 和 减公共点13. 指数函数指数函数 （1）（2）图 象（3）（4）定义域值 域性 质过定点，即时，当时，；当时，.当时，；当时，.在上是增函数（同号）在上是减函数（异号）14.对数函数的图象和性质对数函数图象与底数的关系图象定义域（1）值域（2）性质过定点，即时（3）当时，；当时，当时，；当时，.（4）在上是增函数（同号）.在上是减函数（异号）.15.四种图象变换（1）平移变换（
8、2）对称变换（3）伸缩变换（4）翻折变换导数部分（一）导数公式1 函数从到的平均变化率：.2导数定义：在点处的导数（瞬时变化率），记作3 函数在点处的导数的几何意义切线的斜率切点，斜率，切线方程：.4常见函数的导数常函数 为常数 幂函数 三角函数指数函数对数函数5导数的运算法则（1） 常数不用导（2） 各自导各自（3） 前导后不导加上后导前不导（4） 上导下不导减去下导上不导 除以分母的平方6复合函数的导数复合函数的导数和函数的导数间的关系为.（二）导数研究函数 求导 因式分解 令解得的值，即极值点 求单调性：是增函数； 为减函数. 求极值: 列表得极值：（1）如果在附近的左侧右侧 ，那么是极
9、大值；（2）如果在附近的左侧 右侧 ，那么是极小值 函数的最值（1）连续函数在闭区间上必有最大值与最小值.（2）将函数的极值与端,点处的值比较，最大的为最大值，最小的为最小值.第三部分：三角函数（公式、图像、解三角形）1. 角的概念与弧度制 （1）角的概念：任意角的定义；正角（逆）、负角（顺）、零角；象限角轴上角；终边相同的角（2）角度制与弧度制的互化：，2. 扇形弧长、扇形面积公式（1）圆的周长；圆的面积. （2）扇形的弧长公式: .（3）扇形面积公式:.3. 三角函数的定义（1） 三角函数的定义:角终边上任一点,设，则： ， ， .（2） 三角函数的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦（3
10、） 特殊角的三角函数值：（单位圆或查表）角度030456090120135150180270360弧度0010-1010-10101不存在-10不存在04. 同角关系式（1） 知一求二；平方搭桥；（2） 弦切互化（分式齐次，分子分母同除以）5. 诱导公式（1）诱导公式的作用:化简大角化小角，负角化正角，最好化成特殊角.（2）谨记:出现轴上角才用诱导公式.（3）口诀:“奇变偶不变，符号看象限”.6. 两角和与差（1）； （2）；（3）配角技巧:所求角表示为已知角和特殊角的和、差、倍的形式.7三角函数图像解析式 图象定义域RR值域1,11,1R周期性最值当，当,当，当,无最大值无最小值奇偶性奇函数
11、，图像关于原点对称偶函数，图像关于y轴对称奇函数，图像关于原点对称单调性增函数单调递增，无递减区间减函数2k，2k对称性点对称中心对称中心对称中心直线对称轴对称轴无对称轴周期性与对称性之间的关系：相邻对称中心（两对称轴）间隔半个周期；相邻对称中心与对称轴间隔.8二倍角公式、降幂公式（1） （2）（3） 降幂公式：；.9. 辅助角公式：，10. 三角函数的图像变换：经过图像变换得到方法一： 向左平移，得到； 横坐标缩短到原来的倍，得到； 纵坐标伸长到原来的2倍，得到； 向上平移1个单位长度，得到.方法二： 横坐标缩短为原来的倍，得到； 向左平移，得到； 同上.11. 三角函数的解析式（1）， （
12、2），（3）：先求周期T，再由得把、代入中（4）：代特殊点：上升点、最高点下降点最低点即得统一的形式：三角函数图像化简思路：二次化一次（2倍角、降幂公式），一次再统一（辅助角、两角和差）,即化成统一的形式.12. 正弦型函数的性质正弦型函数方法：整体代入（1）周期：（2）奇偶性：当时，偶函数；当时，奇函数.（3）最值：当时，最大；时，最小。（4）单调性：增区间：减区间（5）对称轴：；对称中心：.13. 解三角形（1）三角形内角和定理：； ； （2）三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边（3）正弦定理边化角：； 对应关系：（4）余弦定理： 求角： （5）三角形面积公式（表示边上的高（两
13、边夹角）.解三角形谨记：常想正弦、余弦、面积公式；正弦余弦两条路，角多用正弦，边多用余弦；对应关系用正弦，余弦值、平方用余弦；提到面积必用面积公式.第四部分：解析几何-直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）1. 直线的倾斜角与斜率斜率，倾斜角，注意：当时，斜率不存在.一般式的斜率.2. 五种直线方程名称方程已知条件（1）点斜式点、斜率（2）斜截式斜率、在轴上截距（3）一般式整数；正整数（4）两点式两点（5）截距式轴截距、轴截距3. 两条直线的平行和垂直（1） 若： ； .（2） 若 （3） 与直线平行的直线可设为（4） 与直线垂直的直线可设为.4.距离公式（1） 两点之间距离公式： （点点
14、）（2） 点到直线的距离： （点到直线）（3） 两平行线之间的距离： （）5. 中点公式与对称公式中点公式：点、点的中点（1）中心对称： 点关于的对称点满足 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.（2）轴对称： 点关于直线（）对称点，则有. 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.6. 线性规划（1）约束条件：画可行域（2）目标函数： 截距型：形如；变形为，分析的最值与解决的关系，再平移； 距离型：形如，表示点与点的距离； 斜率型：形如，表示点与点连线的斜率.7. 圆（1）标准方程：，圆心，半径为.（2）一般方程，圆心，半径（）8. 直线与圆直线与圆的位置关系：与比较
15、（必求）.设圆心到直线的距离为，且.切线方程：（1）过圆上一点有1条切线：先拆后代：过切点的切线为.（2）过圆外一点有且必有2条切线，（如有1条，另一条切线斜率不存在）. 相交：弦长公式（求圆弦长比用） 相切，切线方程由得斜率，代入点斜式 离：距离最大，距离最小.9.圆与圆 （设两个圆的半径分别为（），圆心距为.）位置关系相离外切相交内切内含集合特征图 像公切线条数4321010. 椭圆（1）椭圆定义：平面内与两个定点，的距离之和等于定值（大于）的点的轨迹称为椭圆即：（在题目中，与焦点有关就用定义！）（2）标准方程与性质焦点的位置（谁大）焦点在轴上焦点在轴上图 像标准方程焦 点，轴长与焦距长轴
16、长：，短轴长：，焦距：，的关系：四个顶点，离心率列一个方程即可求值；列一个不等式即可求范围（关于，）弦 长直线与椭圆的交点，11. 双曲线（1）双曲线定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于定值（小于）的点的轨迹称为双曲线即：（在题目中，与焦点有关就用定义！）（2）双曲线的几何性质焦点的位置（谁正）焦点在轴上焦点在轴上图 像标准方程轴长与焦距实轴长：，虚轴长：，焦距：焦点与顶点焦点：，顶点：，焦点：，顶点：，离心率，的关系：渐近线方程弦 长直线与双曲线的交点，12. 抛物线（1）抛物线定义：到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线（其中定点不能在定直线上）离心率（在题目中，与焦点有关就
17、用定义！）（2）抛物线的图像：标准方程谨记：，焦点坐标准线方程焦点弦长第五部分：立体几何、空间向量1. 直观图、三视图三视图包括正视图、侧视图、俯视图，基本要求：长对正，高平齐，宽相等画三视图的直观图：长方体，把俯视图画在底面，再找点连线，不行再切割。直观图：斜二测画法得到的平面图形，其面积与原图形的面积的关系：，.2. 表面积体积侧面展开图侧面积公式表面积体积圆柱棱柱圆柱圆锥棱锥圆锥圆台棱台圆台棱柱、棱锥、棱台求表面积需要求各个面的面积-不外乎三角形面积，平行四边形面积球3. 四大公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。作用：证明点、直线在平面内公理2：过不在一
18、条直线上的三点，有且只有一个平面。作用：确定平面；判断点、线共面推论1：经过直线和直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线作用：证明三线共点或三点共线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行，即平行的传递性4. 点线面的位置关直线与直线直线与平面平面与平面相交平行异面相交平行在平面内相交平行5. 平行平行证明 6. 垂直垂直证明7. 角几何法求角的步骤：（1）一作：作辅助线.（2）二证：证明作出的角是所求角.（3）三求：解三角形异面直线角：平移
19、；线面角：作平面垂线（面面垂直得线面垂直）；二面角：作三垂线（由等体积法求垂线长）.8.空间向量（1）异面直线所成角设异面直线所成角为则，其中分别是直线的方向向量，的范围.（2）直线与平面所成角如图所示，设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成的角，则，的范围.（3）二面角平面与相交于直线，平面的法向量为，平面的法向量，则二面角为或.设二面角大小为，则.第六部分：数列1. 前项和与通项通项公式与前项和的关系：前项和：2. 等差数列（1）定义：（公差）（）； （公差）（，）（2）通项公式：； ；（一次函数）（3）等差中项：若成等差数列，则；若，则（4）前项和公式：；（没有常数项的二
20、次函数）（5）仍是等差数列：若等差数列的前项和为，则，是等差数列.3. 等比数列（1）定义：（公比）（）；（公比）（，）.（2）通项公式：；.（3）等比中项：若成等比数列，则；若，则（4）前项和公式：当时，；当时，；（5）仍是等比数列：若等比数列的前项和为，则，是等比数列.4. 求通项-五种方法（1）前项和法：. （2）累加法：形如.（3）累积法：形如. （4）倒数法：形如.（5）构造法：形如，又叫待定系数法，构成一个新的等差或等比数列.5. 求和-四种方法（1）分组求和法-等差数列等比数列（2）倒序相加法-首尾项相加之和为定值（3）错位相减法-等差数列等比数列（4）裂项相消法-把数列的通项拆
21、成两项之差，再正负相消，剩下首尾若干项6. 数学归纳法证明步骤：（1）当时，命题成立；（2）假设当（）时，命题成立；那么当时，证明命题也成立（核心步骤）.第七部分：平面向量、复数1. 平面向量的概念（1）向量的定义：既有大小，又有方向的量（位移、力、速度等）；向量的大小叫做向量的长度（或称模）.（2）零向量：模为0的向量；记作，手写“”。零向量的方向是任意的，与任何向量都平行（共线）.（3）单位向量：模为1的向量.与非零向量同向的单位向量为.（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。向量可以平移.（5）相等向量：大小相等，方向相同.（6）相反向量：大小相等，方向相反.2. 线性运算
22、（1）向量的加法： 满足三角形法则和平行四边形法则（2）向量的减法：（3）向量的数乘：当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，.3. 共线向量定理、定比分点共线向量定理（1）若向量与共线，则.（唯一）.（2）若为线段的中点，为平面内任一点，则.（3），三点共线.定比分点：若，则.4. 坐标运算平面向量基本定理：.不共线的向量叫做平面内的一组基底，唯一.（1）原点，点，则，终点减起点，模.（2）点，点，则，终点减起点，模.（3），为实数，则.（4），则，.（5）点，点的中点坐标为.5. 数量积公式（1）向量的夹角：，则就是向量与的夹角，夹角范围.（2）数量积定义： ，夹角公式，锐角；钝角.
23、（3）投影：叫做向量在方向上的投影，叫做向量在方向上的投影.（4）； ； .（5）当与同向，；当与反向，.（6）设向量，则向量的数量积. 向量垂直：. 向量平行：.（7）平面向量数量积运算的常用公式： , , .6. 复 数 （1）复数的定义：形如的数叫做复数，其中为实部，为虚部（为虚数单位）.（2）规定：（3）的幂的周期性：周期 ，（4）复数的分类： （5）复数相等：（6）共轭复数：的共轭复数，且.（7）复数的模：复数的模，（8）在复平面的象限：复数与点的象限相同.第八部分:排列组合、二项式、期望方程1. 计数原理（1）加法原理:做一件事有n类办法，则方法数.（2）乘法原理:做一件事分n步完
24、成,则方法数.2. 排列组合排列定义:n中取m，m排一排（有顺序）（1）排列公式: （2）全排列注意:，.组合定义:n中取m（无顺序）（1） 公式: 注意:，（2） 组合的性质:：若，则或 （头取大,底加1）3. 二项式（1） 二项展开式共n+1项:（2） 展开式中的通项公式:（第r+1项）（3） 二项式系数:, 二项式系数之和:；偶（奇）数项的二项式系数之和相等，即（4） 中间项的二项式系数最大.当两项的系数均为1时,各项的系数等于二项式系数。当n是偶数时，中间项仅有一项为当n是奇数时,中间项有两项和.（5） 各项的系数:是指未知数前面的系数。赋值法: 令 令 （各项的系数之和） 令由得； .4. 期望与方差 离散型随机变量的均值与方差 随机变量常用字母，表示 步骤：第一步列表； 第二步代公式 分布列的性质: ； （1）期望：（2）方差：期望方差的性质：（1）（2）（3） 常见的离散型随机变量的分布列 （1）两点分布：其中称为成功概率.若随机变量服从两点分布，则，.（2）超几何分布：在含有个特殊元素的个元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的个数记为，则有， 即：（3）二项分布：在次独立重复试验中，事件发生的概率为，设在次试验中事件发生的次数为随机变量，则有， ，即：若随机变量服从二项分布，则，.- 26 -
