1、专题二数列的通项与求和【主干知识主干知识】1.1.必记公式必记公式(1)(1)“基本数列基本数列”的通项公式的通项公式:数列数列-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,的通项公式是的通项公式是a an n=_(nN=_(nN*).).数列数列1,2,3,4,1,2,3,4,的通项公式是的通项公式是a an n=_(nN=_(nN*).).数列数列3,5,7,9,3,5,7,9,的通项公式是的通项公式是a an n=_(nN=_(nN*).).数列数列2,4,6,8,2,4,6,8,的通项公式是的通项公式是a an n=_(nN=_(nN*).).(-1)(-1)n nn n2n+12n+12n
2、2n数列数列1,2,4,8,1,2,4,8,的通项公式是的通项公式是a an n=_(nN=_(nN*).).数列数列1,4,9,16,1,4,9,16,的通项公式是的通项公式是a an n=_(nN=_(nN*).).数列数列1,3,6,10,1,3,6,10,的通项公式是的通项公式是a an n=_(nN=_(nN*).).数列数列 ,的通项公式是的通项公式是a an n=_(nN=_(nN*).).2 2n-1n-1n n2 2n n121 1 1 1,1 2 3 41n 2(nN*)1_.n n111 11().n nkk nnk1_.2n1 2n1常用的拆项公式 其中：111()2
3、2n12n111nn1 nnn 1nn 1nn 2nn 2ad,11111111()().a ad aaa a2d aa1111.n n1 n22 n n1n1 n21n1n.nn111(nkn).knnkn n!n1!n!.若等差数列的公差为则；2.2.易错提醒易错提醒（1 1）裂项求和的系数出错裂项求和的系数出错：裂项时，把系数写成它的倒数或：裂项时，把系数写成它的倒数或者忘记系数致错者忘记系数致错.（2 2）忽略验证第一项致误忽略验证第一项致误:利用利用 求通项，忽求通项，忽略略n2n2的限定，忘记第一项单独求解与检验的限定，忘记第一项单独求解与检验.（3 3）求错项数致误求错项数致误：
4、错位相减法求和时，相减后总项数为：错位相减法求和时，相减后总项数为n+1,n+1,易错并且还易漏掉减数式的最后一项易错并且还易漏掉减数式的最后一项.1nnn 1S,n1,aSS,n2【考题回顾考题回顾】1.1.一组高考题回做！一组高考题回做！.16 年课标二理年课标二理 17Sn为等差数列为等差数列an的前的前 n 项和项和,且且a1=1,S7=28.记记 bn=lg an,其中其中x表示不超过表示不超过 x的最大整数的最大整数,如如0.9=0,lg 99=1.()求求 b1,b11,b101;()求数列求数列bn的前的前 1 000 项和项和【答案】()设an的公差为 d,据已知有 7+21
5、d=28,解得 d=1.所以an的通项公式为 an=n.b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.()因为因为 bn=所以数列所以数列bn的前的前 1 000 项和为项和为 190+2900+31=1 893.15 年课标二理年课标二理 4.已 知 等 比 数 列已 知 等 比 数 列na满 足满 足13a，13521aaa，则，则357aaa A.21 B B.42 C.63 D.84 （）设（）设nS是数列是数列na的前的前n项和，且项和，且11a ，11nnnaS S，则则nS 。n114 年课标二理年课标二理 17.17.（本小题满分（本小题满分 1212
6、 分）分）已知数列已知数列满足满足，.（）证明（）证明是等比数列，并求是等比数列，并求的通项公式；的通项公式；（）证明：（）证明：.na11a 131nnaa12na na1231112naaa+解解:（）由（）由得得,所以所以.又又，所以所以是首项为是首项为,公比为公比为3的的等比数列等比数列.，因此因此的通项公式为的通项公式为.（）由（）由（）知（）知.因为当因为当时，时，所以所以.于是于是.所以所以 131nnaa1113()22nnaa112312nnaa11322a 12na32 na312nna1231nna1n 13123nn 1113123nn112111113131(1)32
7、233nnnaaa+1231112naaa+13 年课标二理年课标二理（3）等比数列）等比数列 an 的前 的前 n 项和为项和为 Sn，已知，已知 S3=a2+10a1，a5 =9，则，则 a1=（）（A）13 （B）13 （C C）19 （D）19（5）已知等差数列）已知等差数列na的前的前 n 项和为项和为nS，555,15aS，则数，则数列列11nna a的前的前 100 项和为项和为()A.100101 B.99101 C.99100 D.101100 【其它考题回顾其它考题回顾】1.(20131.(2013新课标全国卷新课标全国卷)设首项为设首项为1,1,公比为公比为 的等比数列的
8、等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,则则()A.SA.Sn n=2a=2an n-1-1B.SB.Sn n=3a=3an n-2-2C.SC.Sn n=4-3a=4-3an nD.SD.Sn n=3-2a=3-2an n【解析解析】选选D.D.因为等比数列的首项为因为等比数列的首项为1,1,公比为公比为 ,所以所以S Sn n=3-2a=3-2an n.2323n1nn21aaa q3S21 q13，2.(20162.(2016绍兴模拟绍兴模拟)已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,且且a a3 3+a+a8 8=13,S=13,S
9、7 7=35,=35,则则a a7 7=()A.8A.8 B.9 B.9 C.10 C.10 D.11 D.11【解析解析】选选A.A.由已知条件可得由已知条件可得,所以所以a a7 7=a=a1 1+6d=2+6+6d=2+61=8.1=8.1112a9d13,a2,7(2a6d)d1,35,2解得3.3.已知数列已知数列aan n 为等差数列为等差数列,a,a1 1=1,=1,公差公差d0,ad0,a1 1,a,a2 2,a,a5 5成成等比数列等比数列,则则a a20172017的值为的值为 4.4.已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和是项和是S Sn n,若若a a1
10、 10,0,且且a a1 1+9a+9a6 6=0,=0,则则S Sn n取最大值时取最大值时n n为为()A.11A.11 B.10 B.10 C.6 C.6 D.5 D.5【解析解析】选选D.D.因为因为a a1 10,0,a a1 1+9a+9a6 6=a=a1 1+a+a6 6+8a+8a6 6 =a =a2 2+a+a5 5+8a+8a6 6 =a =a2 2+a+a6 6+a+a5 5+7a+7a6 6 =2a =2a4 4+a+a5 5+7a+7a6 6 =2(a =2(a4 4+a+a6 6)+a)+a5 5+5a+5a6 6 =5(a =5(a5 5+a+a6 6)=0,)=
11、0,所以所以a a5 50,a0,a6 60,0,即前即前5 5项和最大项和最大.5.(20165.(2016银川模拟银川模拟)某音乐酒吧的霓虹灯是用某音乐酒吧的霓虹灯是用 三个不同三个不同音符组成的一个含音符组成的一个含n+1(nNn+1(nN*)个音符的音符串个音符的音符串,要求由音符要求由音符开始开始,相邻两个音符不能相同相邻两个音符不能相同.例如例如n=1n=1时时,排出的音符串是排出的音符串是,;n=2;n=2时排出的音符串是时排出的音符串是,记这种记这种含含n+1n+1个音符的所有音符串中个音符的所有音符串中,排在最后一个的音符仍是排在最后一个的音符仍是的音的音符串的个数为符串的个
12、数为a an n,故故a a1 1=0,a=0,a2 2=2.=2.则则(1)a(1)a4 4=;(2)a(2)an n=.【解析解析】a a1 1=0,a=0,a2 2=2=2=2=21 1-a-a1 1,a a3 3=2=2=2=22 2-a-a2 2,a,a4 4=6=2=6=23 3-a-a3 3;a;a5 5=10=2=10=24 4-a-a4 4,所以所以a an n=2=2n-1n-1-a-an-1n-1,所以所以a an-1n-1=2=2n-2n-2-a-an-2n-2,两式相减得两式相减得:a:an n-a-an-2n-2=2=2n-2n-2,当当n n为奇数时为奇数时,利用
13、累加法得利用累加法得a an n-a-a1 1=2=21 1+2+23 3+2+2n-2n-2=,=,所以所以a an n=,=,同理同理,当当n n为偶数时为偶数时,利用累加法得利用累加法得a an n-a-a2 2=2=22 2+2+24 4+2+2n-2n-2=,=,所以所以a an n=,=,综上所述综上所述a an n=.=.答案答案:(1)6(1)6 (2)(2)n223n223n243n223nn2213nn2213热点考向一热点考向一 求数列的通项公式求数列的通项公式【考情快报考情快报】难度难度:中档题中档题命题指数命题指数:题型题型:在客观题、解答题中都会出现在客观题、解答题
14、中都会出现考查方式考查方式:考查等差、等比数列的基本量的求解考查等差、等比数列的基本量的求解,考查考查a an n与与S Sn n的的关系关系,递推关系等递推关系等,体现方程思想、整体思想、化归与转化思想体现方程思想、整体思想、化归与转化思想的应用的应用1(1)nn2n1,.2an2，【典题典题1 1】(1)(2015(1)(2015衢州模拟衢州模拟)在数列在数列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,an+1n+1=a=an n+ln ,ln ,则则a an n=()A.2+lnnA.2+lnnB.2+(n-1)lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnC.2+nlnnD.1+n+l
15、nnD.1+n+lnn(2)(2016(2)(2016浙江五校联考浙江五校联考)已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,且且S Sn n=则则a an n=【信息联想信息联想】（1 1）看到）看到a an+1n+1=a=an n+ln +ln ，即，即a an+1n+1-a-an n=ln(n+1)=ln(n+1)-ln n-ln n，想到，想到_._.（2 2）看到前）看到前n n项和形式，想到项和形式，想到_._.1(1)n累加或累乘累加或累乘1nnn 1S,n1,aSS,n2【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.aA.an n=(a=(an n-a-an-1
16、n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1=lnn-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+=lnn-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+ln2-ln1+2=2+lnn.+ln2-ln1+2=2+lnn.(2)(2)当当n2n2时时,S,Sn n=2a=2an n=2(S=2(Sn n-S-Sn-1n-1),S),Sn n=2S=2Sn-1n-1,S,S1 1=2,=2,所以所以S Sn n=2=2n n，所以，所以a an n=n 12n12n2.，【互动探究互动探究】题题(1)(1)条件变化为条件变化为
17、:已知数列已知数列aan n 中中,a,a1 1=1,=1,2na2nan+1n+1=(n+1)a=(n+1)an n,求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.【解析解析】已知条件可化为已知条件可化为n 1nan1,a2nnn 1n 22n1n 1n 2n 31n 1aaaaaaaaaann1n22n1.2(n1)2(n2)2(n3)2 12所以【规律方法规律方法】求通项的常用方法求通项的常用方法(1)(1)归纳猜想法归纳猜想法:已知数列的前几项已知数列的前几项,求数列的通项公式求数列的通项公式,可采用可采用归纳猜想法归纳猜想法.(2)(2)已知已知S Sn n与与a an n的关系的关
18、系,利用利用a an n=求求a an n.(3)(3)累加法累加法:数列递推关系形如数列递推关系形如a an+1n+1=a=an n+f(n),+f(n),其中数列其中数列f(n)f(n)前前n n项和可求项和可求,这种类型的数列求通项公式时这种类型的数列求通项公式时,常用累加法常用累加法(叠加叠加法法).).(4)(4)累乘法累乘法:数列递推关系如数列递推关系如a an+1n+1=g(n)a=g(n)an n,其中数列其中数列g(n)g(n)前前n n项项积可求积可求,此数列求通项公式一般采用累乘法此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法叠乘法).).1nn 1S,n1SS,n2，（5 5）
19、构造法：递推关系形如）构造法：递推关系形如a an+1n+1=pa=pan n+q(p,q+q(p,q为常数为常数)可化为可化为a an+1n+1+=p(a+=p(an n+)(p1)+)(p1)的形式，利用的形式，利用 是以是以p p为为公比的等比数列求解公比的等比数列求解.(.(又配凑法或待定系数法又配凑法或待定系数法)递推关系形如递推关系形如a an+1n+1=(p=(p为非零常数为非零常数)可化为可化为的形式的形式.（取（取倒数法倒数法）qp 1qp 1nqap 1nnpaapn 1n111aap)1,0)(1 ppnfpaann（6 6）.)(:111后累加法求解后累加法求解待定系数
20、法或化为待定系数法或化为求法求法 pnfpapannnnn 11 1,22(),.nnnnnaaaanNa1.(1).在数列中求数列的通项公式（2）.已知已知an中中,a1=1 ,求通项求通项annnnnaaa112.2.已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=4,a=4,a2 2=2,a=2,a3 3=1,=1,又又aan+1n+1-a-an n 成等差数列成等差数列(nN(nN*),),则则a an n等于等于.【解析解析】由已知由已知,a,an+1n+1-a-an n 是首项为是首项为-2,-2,公差为公差为1 1的等差数列的等差数列,a an+1n+1-a-an n=-2+(
21、n-1)=n-3,=-2+(n-1)=n-3,a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1=.=.答案答案:2n7n1422n7n142【加固训练加固训练】3.3.（20162016杭州模拟）等差数列杭州模拟）等差数列aan n 中，中，a a1 1=2 015,2 015,前前n n项和为项和为S Sn n,=-2,=-2，则，则S S2 2 017017的值为的值为_._.1012SS1210【解析解析】设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d d，则则所以所以 是首项为
22、是首项为2 0152 015，公差为，公差为-1-1的等差数列，的等差数列，=2 015+(n-1)(-1)=2 016-n,=2 015+(n-1)(-1)=2 016-n,S S2 2 017017=-2 017.=-2 017.答案：答案：-2 017-2 017n1Sddnan22，nSnnSn热点考向二热点考向二 求数列的前求数列的前n n项和项和 【考情快报考情快报】高频考向高频考向多维探究多维探究难度难度:中档题中档题命题指数命题指数:题型题型:客观题、解答题都可能出现客观题、解答题都可能出现考查方式考查方式:主要考查等差、等比数列前主要考查等差、等比数列前n n项和公式以及其他
23、求项和公式以及其他求和方法和方法,尤其是错位相减法及裂项相消法是高考的热点内容尤其是错位相减法及裂项相消法是高考的热点内容,常与通项公式相结合考查常与通项公式相结合考查,有时也与函数、方程等知识综合命有时也与函数、方程等知识综合命题题命题角度一命题角度一 基本数列求和、分组求和基本数列求和、分组求和【典题典题2 2】设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n(nN(nN*),),数列数列aa2n-12n-1 是首是首项为项为1 1的等差数列的等差数列,数列数列aa2n2n 是首项为是首项为2 2的等比数列的等比数列,且满足且满足S S3 3=a=a4 4,a,a3 3+a+
24、a5 5=a=a4 4+2.+2.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(2)(2)求求S S2n2n.【信息联想信息联想】(1)(1)看到数列看到数列aa2n-12n-1 是等差数列、是等差数列、aa2n2n 是等比是等比数列数列,想到想到_._.(2)(2)看到求看到求S S2n2n,想到想到_._.等差、等比数列的通项公式等差、等比数列的通项公式等差、等比数列前等差、等比数列前n n项和分组求和项和分组求和【规范解答规范解答】(1)(1)设等差数列的公差为设等差数列的公差为d,d,等比数列的公比为等比数列的公比为q,q,则则a a1 1=1,a=1,a2 2=2,a=
25、2,a3 3=1+d,a=1+d,a4 4=2q,a=2q,a5 5=1+2d,=1+2d,所以所以解得解得d=2,q=3.d=2,q=3.所以所以a an n=(kN=(kN*).).(2)S(2)S2n2n=(a=(a1 1+a+a3 3+a+a2n-12n-1)+(a)+(a2 2+a+a4 4+a+a2n2n)=(1+3+5+=(1+3+5+2n-1)+(2+2n-1)+(23 30 0+2+23 31 1+2+23 3n-1n-1)4d2q(1d)(12d)22q，n12n,n2k1,2 3,n2kn2n2 1 312n1 nn13.21 3命题角度二命题角度二 裂项相消求和裂项相消
26、求和【典题典题3 3】已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,S,S5 5=35,a=35,a5 5和和a a7 7的等的等差中项为差中项为13.13.(1)(1)求求a an n及及S Sn n.(2)(2)令令b bn n=(nN=(nN*),),求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和.2n4a1【信息联想信息联想】(1)(1)看到等差数列、等差中项看到等差数列、等差中项,想到等差数列的想到等差数列的_._.(2)(2)看到看到b bn n=的结构的结构,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和,想到想到_._.基本量、基本公式基本量、基本
27、公式2n4a1裂项裂项相消求和相消求和【规范解答规范解答】(1)(1)设等差数列的公差为设等差数列的公差为d,d,因为因为S S5 5=5a=5a3 3=35,a=35,a5 5+a+a7 7=26,=26,所以所以解得解得a a1 1=3,d=2,=3,d=2,所以所以a an n=3+2(n-1)=2n+1(nN=3+2(n-1)=2n+1(nN*),),S Sn n=3n+=3n+2=n2=n2 2+2n(nN+2n(nN*).).(2)(2)由由(1)(1)知知a an n=2n+1,=2n+1,所以所以b bn n=所以数列所以数列bbn n 的前的前n n项和项和T Tn n=11
28、a2d7,2a10d26,n n122n4111,a1n n1nn1111111n(1)()()1.223nn1n1n1 命题角度三命题角度三 错位相减求和错位相减求和【典题典题4 4】已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,公差公差d0,d0,且且S S3 3+S+S5 5=50,a=50,a1 1,a,a4 4,a,a1313成等比数列成等比数列.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(2)(2)设设 是首项为是首项为1,1,公比为公比为3 3的等比数列的等比数列,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和T Tn n.nnba【
29、现场答案现场答案】【纠错析因纠错析因】找出以上答案的错误之处找出以上答案的错误之处,分析错因分析错因,并给出正确并给出正确答案答案.提示提示:以上解题过程中出错之处是以上解题过程中出错之处是-后所得式子最后一项的后所得式子最后一项的符号写错符号写错,应是减号应是减号,从而导致结果出错从而导致结果出错.【规范解答规范解答】（1 1）依题意得）依题意得所以所以a an n=a=a1 1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即即a an n=2n+1(nN=2n+1(nN*).).11211113 24 53ad5ad50,22a3daa12d,a3
30、,d2,解得(2)=3(2)=3n-1n-1,b bn n=a=an n3 3n-1n-1=(2n+1)=(2n+1)3 3n-1n-1,T Tn n=3+5=3+53+73+73 32 2+(2n+1)+(2n+1)3 3n-1n-13T3Tn n=3=33+53+53 32 2+7+73 33 3+(2n-1)+(2n-1)3 3n-1n-1+(2n+1)+(2n+1)3 3n n-得得-2T-2Tn n=3+2=3+23+23+23 32 2+2+23 3n-1n-1-(2n+1)3-(2n+1)3n n=3+2=3+2 -(2n+1)3 -(2n+1)3n n=-2n=-2n3 3n
31、n,所以所以T Tn n=n=n3 3n n(nN(nN*).).nnban 13 1 31 3【规律方法规律方法】1.1.分组求和的常见方法分组求和的常见方法(1)(1)根据等差、等比数列分组根据等差、等比数列分组.(2)(2)根据正号、负号分组根据正号、负号分组.(3)(3)根据数列的周期性分组根据数列的周期性分组.2.2.裂项后相消的规律裂项后相消的规律(1)(1)裂项系数取决于前后两项分母的差裂项系数取决于前后两项分母的差.(2)(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多裂项相消后前、后保留的项数一样多.3.3.错位相减法的关注点错位相减法的关注点(1)(1)适用题型适用题型:等差数列等差
32、数列aan n 乘以等比数列乘以等比数列bbn n 对应项对应项(a(an nb bn n)”型数列求和型数列求和.(2)(2)步骤步骤:求和时先乘以数列求和时先乘以数列bbn n 的公比的公比.把两个和的形式错位相减把两个和的形式错位相减.整理结果形式整理结果形式.命题角度命题角度：一是一是考查等差、等比数列的基本量的求解考查等差、等比数列的基本量的求解,考查考查an与与 Sn的关系的关系,递推关系等递推关系等,体现方程思想、整体思想、化归与体现方程思想、整体思想、化归与转化思想的应用转化思想的应用；另一方面另一方面考查等差、等比数列前考查等差、等比数列前 n 项和公式项和公式以及其他求和方法以及其他求和方法,尤其是错位相减法及裂项相消法是高考的热尤其是错位相减法及裂项相消法是高考的热点内容点内容,常与通项公式相结合考查常与通项公式相结合考查,有时也与函数、方程等知识综有时也与函数、方程等知识综合命题合命题 预计 2017 年对该部分的考查会延续前几年的命题方向，并有适度的创新，但全部考查 2 道客观题的可能性较大
