1、一、选择题1已知在上的函数满足如下条件：函数的图象关于轴对称；对于任意，；当时，；函数，若过点的直线与函数的图象在上恰有8个交点，在直线斜率的取值范围是（ ）ABCD2已知函数 给出下列三个结论： 当时，函数的单调递减区间为； 若函数无最小值，则的取值范围为； 若且，则，使得函数恰有3个零点,，且. 其中，所有正确结论的个数是（ ）A0B1C2D33某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需
2、到达多少个百分点？（ ）A25B35C42D504函数的单调递增区间为（ ）.A(0,+)B(-0)C(2,+)D(-2)5已知函数，若，则实数的值等于（ ）A-3B-1C1D36实数满足，则下列关系正确的是（ ）ABCD7已知函数，设（其中表示p，q中较大值，表示p，q中较小值），记的最小值为A，的最大值为B，则（ ）AB16C8aD8已知定义在R上的奇函数，当时，若对任意实数x有成立，则正数的取值范围为（ ）ABCD9已知函数（a，b为实数）在区间上最大值为M，最小值为m，则（ ）A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，但与b有关D与a无关，且与b无关10由实数x，x，|x
3、|，组成的集合中，元素最多有（ ）A2个B3个C4个D5个11若，则的元素个数为（ ）A0B1C2D312在整数集中,被所除得余数为的所有整数组成一个“类”,记为,即,;给出四个结论:（1）;（2）;（3）;（4）“整数”属于同一“类”的充要条件是“”其中正确结论的个数是（ ）A个B个C个D个二、填空题13已知，若满足，和至少有一个成立，则m的取值范围是_14已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，则函数的零点个数为_15已知函数，则关于的不等式的解集为_16定义，设.则不等式的解集是_.17已知函数，.若，使，则实数的取值范围是_.18定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是
4、上的“平均值函数”是它的一个均值点，若函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是_19若集合至多有一个元素，则的取值范围是_20已知集合，若是的两个非空子集，则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为_三、解答题21某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内（含3km）的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费.而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为20km时，折旧费为0.1元.现设一次载客的路程为xkm.（1）试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分
5、别表示为x的函数；（2）若一次载客的路程不少于2km，则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每千米的收益y取得最大值？（每千米收益计算公式为22已知函数，（1）恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，若函数的图象上存在两个不同的点与图象上的两点关于轴对称，求实数的取值范围23已知函数，.（1）当分别为奇函数和偶函数时，求的值；（2）若为奇函数，证明：对任意的、，.24已知函数；（1）若，求的值；（2）求的值25设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，已知，且时，（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并给出你的证明；（3）解不等式26已知集合，集合.(1)求；(2)若集合，且，求实数a的取值范
6、围.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1A解析：A【分析】先由条件，得到函数是周期为的周期函数；根据求出函数在一个周期上的表达式为，根据得到的周期为，其图象可由的图象压缩为原来的得到，作出的图象，结合图象，即可求出结果.【详解】因为函数是偶函数，由得，即，所以函数是周期为的周期函数；若，则；因为当时，所以时，因为函数是偶函数，所以，即，则函数在一个周期上的表达式为，因为，所以函数，故的周期为，其图象可由的图象压缩为原来的得到，作出的图象如图：易知过的直线斜率存在，设过点的直线的方程为，则要使直线与的图象在上恰有8个交点，则，因为，所以，故.故选：A.【点睛】关键点点睛：求解本题的
7、关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到的图象，再由函数交点个数，利用数形结合的方法，即可求解.2C解析：C【分析】画出函数的图象，直接判断函数的单调性；分三种情况讨论函数的图象，分析函数是否有最小值，得到实数的取值范围；首先令，解出三个零点，进而判断结论.【详解】当时，画出函数的图象，如下图，由图象可知当时，函数单调递减，当时函数单调递减，但函数在时，函数并不单调递减，故不正确；当时，时，函数单调递增，并且当时，所以函数没有最小值；当时，函数的最小值是0；当时，时，函数单调递减，函数的最小值是1，当时，的最小值是0，综上可知函数的最小值是0，综上，若函数没有最小值，只需满足，故正确；对于，令
8、，当时，当时，不妨设，则，令，可得，当时，则三个零点，当时，则三个零点.综上可知正确；故选：C【点睛】思路点睛：本题考查分段函数，函数性质和函数图象的综合应用，本题的关键是对的讨论，画出函数的图象，比较容易判断前两个命题，最后一个命题的关键是解出3个零点，并能判断，从而只需验证是否即可.3C解析：C【分析】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达，8月份产量去年同期水平为，则由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点【详解】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达，8月份产量去年同期水平为，则解得该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点故选：C【点睛
9、】本题考查百分点的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4D解析：D【分析】求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果.【详解】函数的定义域为，因为函数是由和复合而成，而在定义域内单调递减，在内单调递减，所以函数的单调递增区间为，故选：D.【点睛】易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.5A解析：A【分析】先求得的值，然后根据的值，求得的值.【详解】由于，所以，在上无解，由解得，故选A.【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.6B解析：B【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得，再结合对数的运算公式，即可求解
10、.【详解】因为，可得，所以，则.故选：B.【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.7A解析：A【分析】根据，由，得到，求解.【详解】因为函数，所以，如图所示：当时，当时，因为，所以，因为，所以，所以，所以，故选：A【点睛】方法点睛：(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错8C
11、解析：C【分析】由于有绝对值，分情况考虑和，再由是奇函数画出图象，再根据考虑图象平移结合图形可得答案.【详解】由题得， 当时，故写成分段函数，化简得，又为奇函数，故可画出图像：又可看出往右平移个单位可得，若恒成立，则，即，又为正数，故解得.故选：C.【点睛】本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换，图象的平移，属于中档题.9B解析：B【解析】函数的图象是开口朝上且以直线 为对称轴的抛物线，当 或，即 ，或时，函数 在区间上单调，此时 故 的值与有关，与无关当 ，即 时，函数在区间 上递增，在 上递减，且 ，此时 故 的值与有关，与无关当，即时，函数在区间上递减，在上递增，且此时故 的值与有关，与
12、无关综上可得 的值与有关，与无关故选B【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键10A解析：A【分析】根据绝对值的定义和开平方、立方的方法,应对分三种情况分类讨论,根据讨论结果可得答案.【详解】当时，此时集合共有2个元素，当时，此时集合共有1个元素，当时，此时集合共有2个元素，综上所述，此集合最多有2个元素.故选：.【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断及根式的化简求值,其中解答本题的关键是利用分类讨论思想,对x分三种情况进行讨论,是基础题.11D解析：D【分析】化简集合、，根据补集与交集的定义写出，即可得出结论【详解】集合，3，4，5，6，或，
13、6，其中元素个数为3个故选：【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题12C解析：C【分析】根据新定义,对每个选项逐一判断,即可得到答案.【详解】对于（1）,因为,余数为,所以,故（1）正确;对于（2）,因为,所以,故（2）错误;对于（3）,因为整数集中的数被除的数可以且只可以分成五类,故,故（3）正确;对于（4）,因为整数属于同一“类”,所以整数被除的余数相同,从而被除的余数为,反之也成立,故“整数”属于同一“类”的充要条件是“”故（4）正确综上所述,正确的个数为:个.故选C【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是理解被所除得余数为的所有整数组成一个“类”,考查了分析能力和计算能力.
14、二、填空题13【分析】先判断函数的取值范围然后根据和至少有一个成立则可求得的取值范围【详解】解：当时又或在时恒成立即在时恒成立则二次函数图象开口只能向下且与轴交点都在的左侧即解得实数的取值范围是：故答案为：【点睛解析：【分析】先判断函数的取值范围，然后根据和至少有一个成立则可求得的取值范围.【详解】解：，当时，又，或，在时恒成立，即在时恒成立，则二次函数图象开口只能向下，且与轴交点都在的左侧，即，解得，实数的取值范围是：故答案为：【点睛】利用指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定在时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大143【分析】根据题意求得的周期；画出的图象数形结合根据函数图
15、象交点个数即可求得零点个数【详解】当时则此时有函数是周期为2的周期函数令则由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数在解析：3【分析】根据题意，求得的周期；画出的图象，数形结合，根据函数图象交点个数即可求得零点个数.【详解】当时，则，此时有，函数是周期为2的周期函数.令，则，由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数.在同一坐标系内画出函数和函数的图象（如图所示），结合图象可得两函数的图象有三个交点，函数的零点个数为3.故答案为：.【点睛】本题考查数形结合判断函数零点个数的问题，涉及函数周期性的求解，属综合中档题.15【分析】对自变量分情况讨论即然后对各种情况分
16、别解不等式最后取并集；【详解】当时所以由此时不等式恒成立；当时则由则此时不等式恒成立；当时符合题意；当时解得综上可得不等式的解集为故答案为：【点睛】关键解析：【分析】对自变量分情况讨论，即，然后对各种情况分别解不等式，最后取并集；【详解】当时，所以由，此时不等式恒成立；当时，则，由，则此时不等式恒成立；当时，符合题意；当时，解得，综上可得，不等式的解集为故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查分别函数解不等式的问题，涉及分类讨论思想的应用，解答本题的关键是对自变量的范围进行分类，即，从而得出和的表达式，从而求解不等式，属于中档题.16【分析】利用分段函数列出不等式求解即可【详解】解：在上为单调递增
17、函数又当时当时不等式或解得或故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用函数值的求法考查转化思想以及计算能力解析：【分析】利用分段函数列出不等式求解即可.【详解】解：，在上为单调递增函数，又，当时，当时，不等式，或，解得或，故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力.17【分析】转化为可求得结果【详解】因为在上单调递增所以当时因为在上单调递减所以当时若使只要使即可即解得所以实数的取值范围为故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题可按如下规则转化：解析：【分析】转化为可求得结果.【详解】因为在上单调递增，所以当时，因为在上单调递减，所以当时
18、，.若，使，只要使即可.即，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有，则的值域是值域的子集 18【分析】根据新定义可得在区间上有解利用分离变量法即可求出答案【详解】解：设在区间上有解即在区间上有解令单调递减时单调递增所以所以实数的取值范围是故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的新定解析：【分析】根据新定义可得在区间上有解，利用分离变量法即可求出答案【详解】解：设，在区间上有解，即在区间上有解，令，单调递减，时单调递增，所
19、以，所以实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的新定义题目，解题的关键是将问题转化为在区间上有解，分离参数求解，意在考查了分析能力、数学运算.19或【分析】根据讨论方程解的情况即得结果【详解】时满足题意；时要满足题意需综上的取值范围是或故答案为：或【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数考查基本分析求解能力属中档题解析：或【分析】根据讨论方程解的情况，即得结果【详解】时，满足题意；时，要满足题意，需综上的取值范围是或故答案为：或【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.2049【分析】分中的最大数为中的最大数为中的最大数为中的最大数为四种情
20、况根据题意列举出满足条件的集合即可得出结果【详解】当中的最大数为即时；所以满足题意的集合对的个数为个；当中的最大数为即时；即满足题解析：49【分析】分中的最大数为，中的最大数为，中的最大数为，中的最大数为，四种情况，根据题意列举出满足条件的集合，即可得出结果.【详解】当中的最大数为，即时，；所以满足题意的集合对的个数为个；当中的最大数为，即时，；即满足题意的集合对的个数为个；当中的最大数为，即时，即满足题意的集合对的个数个；当中的最大数为，即时，即满足题意的集合对的个数为个；所以总共个数为49个【点睛】本题主要考查集合的应用，灵活运用子集的概念，用列举法表示集合即可，属于常考题型.三、解答题2
21、1（1），；（2）100km.【分析】（1）根据在3km以内（含3km）的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费求得F，设折旧费，由路程为20km时，折旧费为0.1元.代入求得k，再根据运输成本包含固定费用，二是燃油费和折旧费求得C.（2）根据，结合（1）求得y，再根据分段函数的最值的求法求解.【详解】（1）由题意得：，.即.设折旧费，将代入，得，解得.所以.（2）因为，所以，当时，由基本不等式，得，当且仅当时取等号.当时，由y在上单调递减，当时，得.综上所述，该市出租汽车一次载客路程为100km时，每千米的收益y取得最大值.【点睛】方法点睛：(1)很多实际问题中，
22、变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值22（1）；（2）.【分析】（1）讨论、满足恒成立情况下的取值范围，取并集；（2）由题意知关于y轴对称的函数为必与在上有两个不同的交点，利用二次函数的性质求的取值范围【详解】（1）当时，在上有，故不符题意；若有对称轴为，要使恒成立，当时，且 ，即或或，解得；当时，即仅需即可，无解；综上，有；（2）时，关于y轴对称的函数为，由题意知与有两个不同的交点.由时，令，整理得，
23、令，即在上有两个不同的零点，而，解得，【点睛】思路点睛：存在两点关于y轴对称点在上，将其转化为函数交点问题.确定关于y轴对称的函数解析式.有、有两个不同交点.结合二次函数的性质求参数的范围.23（1）为奇函数时，为偶函数时，；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义列等式即可求得的值；（2）根据函数解析式分别求得，即可证明结论.【详解】（1）由，解得，得函数的定义域为，当为奇函数时，即，整理可得，因为上式恒成立，所以，所以；当为偶函数时，即，整理得，因为上式恒成立，所以，所以.综上，当为奇函数时，当为偶函数时，；（2）由（1）知，所以.【点睛】方法点睛：已知函数
24、的奇偶性求参数值一般思路是：（1）利用函数的奇偶性的定义转化为（偶函数）或（奇函数），从而建立方程，使问题获得解决；（2）取一对互为相反数的自变量的函数值，建立等式求出参数的值，但同时要对此时函数的奇偶性进行验证.24（1）1；（2）1010【分析】（1）根据的表达式，求出的表达式，再进行分式通分运算，可得（2）设，再把的表达式运用加法交换律改写成，把两式相加利用求出的值【详解】（1），（2）设，则，两式相加得：由（1）得：，.【点睛】本题考查指数幂运算，分式运算，利用函数的性质进行式子求值，考查运算求解能力.25（1）； （2）函数单调递增，证明见解析； （3）或.【分析】（1）利用赋值法，
25、即可求得所求的函数值，得到答案；（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可；（3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，函数对任意的正实数x，y都有恒成立，令，可得，所以，令，可得，即，解得.（2）函数为增函数，证明如下：设且，令，根据题意，可得，即，又由时，因为，可得，即，即，所以函数在上的单调性.（3）由题意和（1）可得，又由不等式，即，可得，解得或，即不等式的解集为或.【点睛】求解函数有关的不等式的方法及策略：解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：将函数不等式转化为的形式；根据函
26、数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.26(1)；(2)或.【分析】(1)由已知条件分别计算出集合和集合,然后再计算出的结果.(2)由已知条件,则分类讨论和两种情况,求出实数的取值范围.【详解】(1)已知集合,则,解得,即,集合,解得,即,所以(2)因为集合,且,由(1)得,则当时,即,当时,得,综上,或.【点睛】本题考查了集合的交集运算和子集运算,在含有参量的子集题目中需要注意分类讨论,尤其不要漏掉空集情况,然后求解不等式组得到结果.本题较为基础.
