1、线性代数考试练习题带答案说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，（）表示向量与的内积，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式=4，则行列式=（ ）A.12B.24C.36D.482.设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，则矩阵X=（ ）A.A-1CB-1B.CA-1B-1C.B-1A-1CD.CB-1A-13.已知A2+A-E=0，则矩阵A-1=（ ）A.A-EB.-A-EC.A+ED.-A+E4.设是四维向量，则（ ）A.一定线性无关B.一定线性相关C.一定可以由线性表示D.一
2、定可以由线性表出5.设A是n阶方阵，若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则（ ）A.A=0B.A=EC.r(A)=nD.0r(A)(n)6.设A为n阶方阵，r(A)n，下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是（ ）A.Ax=0只有零解B.Ax=0的基础解系含r(A)个解向量C.Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量D.Ax=0没有解7.设是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，则（ ）A.是Ax=b的解B.是Ax=b的解C.是Ax=b的解D.是Ax=b的解8.设，为矩阵A=的三个特征值，则=（ ）A.20B.24C.28D.309.设P为正交矩阵，向量的内积为（）=2，则（）=（ ）A
3、.B.1C.D.210.二次型f(x1,x2,x3)=的秩为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式=0，则k=_. 12.设A=，k为正整数，则Ak=_. 13.设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1=，则矩阵A=_. 14.设向量=（6，-2，0，4），=（-3，1，5，7），向量满足，则=_. 15.设A是mn矩阵，Ax=0,只有零解，则r(A)=_. 16.设是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3）=_. 17.实数向量空间V=（x1,x2,x3）|x1-x2+x3=0的维数是_. 1
4、8.设方阵A有一个特征值为0，则|A3|=_. 19.设向量（-1，1，-3），（2，-1，）正交，则=_. 20.设f(x1,x2,x3)=是正定二次型，则t满足_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21.计算行列式 22.设矩阵A=，对参数讨论矩阵A的秩. 23.求解矩阵方程X= 24.求向量组：，的一个极大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来. 25.求齐次线性方程组的一个基础解系及其通解. 26.求矩阵的特征值和特征向量.四、证明题（本大题共1小题，6分） 27.设向量，.,线性无关，1| B | 时， A,B 一定不相似。你选择的答案：未选择错误正确
5、答案：说法正确解答参考：相似矩阵行列式值相同13.设 A是 mn 阶矩阵且线性方程组 Ax=b 有惟一解，则 mn 。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法正确解答参考：（注意：若有主观题目，请按照题目，离线完成，完成后纸质上交学习中心，记录成绩。在线只需提交客观题答案。)三、主观题(共12道小题)14.设 A是 mn 矩阵, B是 pm 矩阵，则 A T B T 是 阶矩阵。参考答案：ATBT是np阶矩阵。15.由m个n维向量组成的向量组，当mn时，向量组一定线性相关。参考答案：mn时向量组一定线性相关16.参考答案：a=6(R(A)=2|A|=0)17._。参考答案：(1234)T+k(2
6、024)T。因为R(A)=3，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为2+321，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。18.时方程组有唯一解。参考答案：当a=2时方程组无解，当a=1时方程组有无穷多个解，当a1,2时方程组有唯一解。19.参考答案：2420.参考答案：t=621.参考答案：22.参考答案：23.参考答案：24.已知方阵(1)求a,b的值；(2)求可逆矩阵P及对角矩阵D,使得参考答案：25.参考答案：本次作业是本门课程本学期的第1次作业，注释如下：一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1.下列矩阵中，不是初等矩阵。(A)(B)(C)(D)你选
7、择的答案：未选择错误正确答案：B解答参考：初等矩阵一定是可逆的。2.则。(A)(B)(C)(D)你选择的答案：未选择错误正确答案：D解答参考：A错误，因为mn，不能保证R(A)=R(A|b)；B错误，Ax=0的基础解系含有nR(A)个解向量；C错误，因为有可能R(A)=nR(A|b)=n+1,Ax=b无解；D正确，因为R(A)=n。3.A、B为n阶方阵,且A、B等价,|A|=0，则R(B)。(A)小于n(B)等于n(C)小于等于n(D)大于等于n你选择的答案：未选择错误正确答案：A解答参考：4.若A为5阶方阵且|A|=2，则|2A|=。(A)4(B)4(C)64(D)64你选择的答案：未选择错
8、误正确答案：C解答参考：5. 线性方程组 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = b m 的系数矩阵为 A,增广矩阵为 A ,则它有无穷多个解的充要条件为 。(A)R(A)=R(A)n(B)R(A)=R(A)m(C)R(A)R(A)1) 线性相关的充要条件是(A)有两个向量的对应坐标成比例(B)含有零向量(C)有一个向量是其余向量的线性组合(D)每一个向量都是其余向量的线性组合你选择的答案：未选择错误正确答案：C解答参
9、考：7. 设3阶矩阵 A的特征值为 1 , 1 , 2 ，则下列矩阵中可逆矩阵是(A)EA(B)E+A(C)2EA(D)2E+A你选择的答案：未选择错误正确答案：D解答参考：8. 设 1 , 2 , 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 Ax=0 的基础解系的是(A)1+2,2+3,1+22+3(B)1+2,2+3,31(C)1+2,2+3,3+1(D)12,0,23你选择的答案：未选择错误正确答案：C解答参考：二、判断题(判断正误，共6道小题)9.如果行列式有两行元素完全相同，则行列式为零。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法正确解答参考：10.A,B 是同阶方阵
10、，且 | AB |0 ，则 ( AB ) 1 = B 1 A 1 。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法正确解答参考：11.A 是 n阶方阵， R ，则有 | A |=| | A | 。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法错误解答参考：|A|=n|A|12.设 A是一个 n阶方阵且方程组 Ax=0 有非零解，则 |A|=0 。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法正确解答参考：13.设 A是 n阶方阵( n2 ), R ,则 | A |=| A | 。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法错误解答参考：14.若向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关，则 1 , 2 , 3 也线性相关
11、。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法错误解答参考：（注意：若有主观题目，请按照题目，离线完成，完成后纸质上交学习中心，记录成绩。在线只需提交客观题答案。)三、主观题(共13道小题)15.| 0 1 2 n1 n 0 | _。参考答案：(1)n+1n!16.行列式 | 1 2 3 12, 4 1 2 5 | = 。参考答案：017.参考答案：t=318.参考答案：0(R(AB)maxR(A),R(B)n,且AB为m阶方阵，故不可逆)19.参考答案：=3|A|=0，否则B=020.参考答案：321.参考答案：322.参考答案：(231)T23.参考答案：24.设A是反对称矩阵,E+A是可逆矩阵。是正交矩阵。参考答案：25.已知3阶方阵A可逆且求A的伴随矩阵的逆矩阵.参考答案：26.参考答案：27.参考答案：
