1、人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册数学家曾建议用这个图作为与数学家曾建议用这个图作为与“外星人外星人”联系的信号联系的信号.导入新知导入新知你知道这是你知道这是为什么吗？为什么吗？1.了解了解勾股定理勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理.2.能用勾股定理解决一些能用勾股定理解决一些简单问题简单问题.素养目标素养目标3.通过用通过用多种方法证明多种方法证明勾股定理，培养学生勾股定理，培养学生发散发散思维能力思维能力.相传两千五百年前，一次相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发毕达哥拉斯去朋友家作
2、客，发现朋友家用砖铺成的地面反映现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察一系，同学们，我们也来观察一下图案，看看你能发现什下图案，看看你能发现什么数么数量关系？量关系？探究新知探究新知知识点 1勾股定理的认识与证明勾股定理的认识与证明B2.由由这三个正方这三个正方形形A，B，C的边长构成的等腰直的边长构成的等腰直角三角形三条边长度之角三角形三条边长度之间有怎样的特殊关系？间有怎样的特殊关系？【思考思考】1.三三个正方形个正方形A，B，C 的面积有什么关系？的面积有什么关系？SA+SB=SC探究新知探究新知（图中每个小方格是（图中每个
3、小方格是1个单位面积）个单位面积）A中含有中含有_个小方格，个小方格，即即A的面积是的面积是 个单位面积个单位面积B的面积是的面积是 个单位面积个单位面积C的面积是的面积是 个单位面积个单位面积99189ABC图图1结论：结论：图图1中三个正方形中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关的面积之间的数量关系是系是:SA+SB=SC【讨论讨论】1.三个正方形三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？的面积有什么关系？探究新知探究新知【讨论讨论】2.SA+SB=SC在图在图2中还成立吗？中还成立吗？ABC图图2 2结论：结论：仍然仍然成立成立.A的面积是的面积是 个个单位面积单位面积B的面积是的面积是
4、 个单位面积个单位面积C的面积是的面积是 个个单位面积单位面积25169（图中每个小方格是（图中每个小方格是1 1个单位面积）个单位面积）探究新知探究新知你是怎样得到你是怎样得到正方形正方形C的面积的面积的？与同伴交的？与同伴交流交流流交流ABC问题问题2 式式子子SA+SB=SC能用直角三能用直角三角形的三边角形的三边a、b、c来表示吗来表示吗?问题问题4 那那么直角三角形三边么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是之间的关系式是:abccbaCBA 至至此，我们在网格中验证了此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即正方
5、形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC.a2+b2=c2a2+b2=c2问题问题1 去去掉网格结论会改变吗？掉网格结论会改变吗？问题问题3 去去掉正方形结论会改变吗？掉正方形结论会改变吗？探究新知探究新知命题命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为斜边长为c，那么那么a2+b2=c2.abc猜猜想：想：拼拼图证明图证明 是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚猜想还不能把问题彻底搞清楚.这就需要我们对一般的直角三角形进行证明下面我们就一这就需
6、要我们对一般的直角三角形进行证明下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的探究新知探究新知 以直角三角形的两条直角边以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两为边作两个正方形，把两个正方形如图个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子的样子.你能你能做到吗？试试看做到吗？试试看.赵爽拼图证明法：赵爽拼图证明法：c图图1ab黄实黄实图图2c小组活动小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形
7、形，拼成一个新的正方形.探究新知探究新知黄实黄实bbaacbab aba bacM MN NP P剪、拼过程展示：剪、拼过程展示：探究新知探究新知“赵爽弦图赵爽弦图”黄实cab探究新知探究新知S大正方形大正方形c2，S小正方形小正方形(b-a)2,S大正方形大正方形4S三角形三角形S小正方形，小正方形，证明：证明：222214.2cabbaab 毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.探究新知探究新知aaaabbbbcccca2+b2+2ab=c2+2ab
8、，a2+b2=c2.证明：证明：S大正方形大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形大正方形=4S直角三角形直角三角形+S小正方形小正方形 =4 ab+c2 =c2+2ab，12探究新知探究新知aabbcca2+b2=c2.美国第二十任总统伽菲尔德的美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法总统证法”.”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：求证：a2+b2=c2.证明：证明：探究新知探究新知)(21babaS梯形,2212121cababS梯形,勾股定理勾股定理 如果直角三角形两直角边分别如果直角三角形两直角边分别为为a、b,斜边为斜边为c
9、，那么，那么222abc即直即直角三角形两直角边的平方和等于角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方.abc勾勾股股弦弦abc表示为：表示为：RtABC中，中，C=90,则则 .222cba探究新知探究新知ABCABC勾股定理给出了直角三角形三边之间的关勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方系，即两直角边的平方和等于斜边的平方.cbaa2+b2=c2a2=c2b2b2=c2-a2探究新知探究新知22bca22bac22acb公式变形公式变形求求下列图中字母所表示的正方形的面积下列图中字母所表示的正方形的面积.=625225400A22581B=144巩
10、固练习巩固练习 例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90.（1）若若a=b=5,求求c;（2）若若a=1,c=2,求求b.解解：(1)据勾股定理得据勾股定理得(2)据勾股定理得据勾股定理得CAB利用勾股定理求直角三角形的边长利用勾股定理求直角三角形的边长素养考点素养考点 1cba探究新知探究新知222255505 2;cab2222213.bca 设直角三角形的两条直角边长分别为设直角三角形的两条直角边长分别为a和和b，斜边长为斜边长为c.（1）已知）已知a=6，c=10，求求b；（2）已知）已知a=5，b=12，求求c；（3）已知）已知c=25，b=15，求求a.解：解：由勾股定理
11、得由勾股定理得52+122=c2,c=13;解：解：由勾股定理得由勾股定理得62+b2=102,b=8;解：解：由勾股定理得由勾股定理得a2+152=252,a=20.acb巩固练习巩固练习abc（1）若）若a：b=1：2 ，c=5,求求a;（2）若）若b=15，A=30,求求a,c.例例2 在在RtABC中，中，C=90.解：解：(1)设设a=x,b=2x,根据根据勾股定理勾股定理建立方程得建立方程得x2+(2x)2=52，解得解得5x，5.a(2)30,15,Ab2.ca因此设因此设a=x,c=2x,根据根据勾股定理勾股定理建立方程得建立方程得(2x)2-x2=152，解得解得5 3.x
12、5 310 3.ac，提示：提示：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程勾股定理列方程求解求解.探究新知探究新知勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长素养考点素养考点 25x（舍去）（舍去）35x（舍去）（舍去）求求出下列直角三角形中未知边的长出下列直角三角形中未知边的长度：度：68x5x13解：解：（1）由勾股定理得：由勾股定理得：=36+64 =100 x2=62+82x=10;x2+52=132 x2=132-52 =169
13、-25 =144x=12.（2）由勾股定理得：由勾股定理得：巩固练习巩固练习1.在直角三角形中在直角三角形中，若勾为，若勾为3，股为股为4，则弦为则弦为（）A5 B6 C7 D8A2.如如图，点图，点E在正方形在正方形ABCD的边的边AB上，上，若若EB1，EC2，那么那么正方形正方形ABCD的面积为（）的面积为（）A B3 C D5 35B连接中考连接中考E1.若若一个直角三角形的一个直角三角形的两直角边长两直角边长分别分别为为9和和12，则斜边则斜边的的长为（长为（）A.13 B.17 C.15 D.182.若一个直角三角形的斜边长为若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为，一条直角
14、边长为15，则则另另一直角边长为（一直角边长为（）A.8 B.40 C.50 D.363.在在RtABC中，中，C=90，若，若ab=34，c=100，则，则a=_，b=_.CA6080课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题ABCD7cm4如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形则正方形A，B，C，D的的面面积积之和为之和为_cm2 49课堂检测课堂检测 在在RtABC中中，AB4，AC3，求，求BC的长的长.解：解：本题斜边不确定，需分类讨
15、论：本题斜边不确定，需分类讨论：当当AB为斜边时，如图为斜边时，如图，当当BC为斜边时，如图为斜边时，如图，43ACB43CAB22437;BC 22435.BC 图图图图提示：提示：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行一定要进行分类讨论分类讨论，否则容易丢解，否则容易丢解.课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题勾股定理勾股定理内 容内 容在在RtABC中中，C=90,a,b为为直角边，直角边，c为斜边，
16、则有为斜边，则有a2+b2=c2.注 意注 意在在直角直角三角形中三角形中看清哪个角是直角看清哪个角是直角已知两边没有指明是直角边还已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要是斜边时一定要分类讨论分类讨论课堂小结课堂小结证 明证 明人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册 这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.导入新知导入新知波平如镜一湖面，波平如镜一湖面，3尺高处出红莲尺高处出红莲.亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲尺远，花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想，湖水在此深几尺？请君动脑想
17、一想，湖水在此深几尺？2.能应用勾股定理解决能应用勾股定理解决简单的简单的实际问题实际问题.1.能应用勾股定理计算直角三角形的能应用勾股定理计算直角三角形的边长边长.素养目标素养目标3.从实际问题中从实际问题中构造直角三角形构造直角三角形解决生产解决生产、生活中、生活中的有关问题的有关问题.一个门框的尺寸如图所示，一块一个门框的尺寸如图所示，一块长长3 m，宽，宽2.2 m的长方形薄木板能否的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？从门框内通过？为什么？已知条件有哪些？已知条件有哪些？探究新知探究新知知识点 1 勾股定理解决线段长度问题勾股定理解决线段长度问题【思考思考】1.木板能横着或竖着从门
18、框通过吗？木板能横着或竖着从门框通过吗？2.这个门框能通过的最大长度是多少？这个门框能通过的最大长度是多少？不能不能.3.怎样判定这块木板能否通过木框？怎样判定这块木板能否通过木框？求出求出斜边的长斜边的长，与木板的宽比较，与木板的宽比较.探究新知探究新知小小于于AC即可即可.解：解：在在RtABC中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5AC=2.24 因因为为AC大于木板的宽大于木板的宽2.2 m，所所以木板能从门框内通过以木板能从门框内通过5探究新知探究新知如如图，池塘边有两点图，池塘边有两点A，B，点点C是与是与BA方向成直角的方向成直角的AC方方向上一
19、点，测得向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求求A，B两点间的距离两点间的距离（结果取整数）（结果取整数）.解解:巩固练习巩固练习22ABBCAC222060 24057(m).如如图，一架图，一架2.6米长的梯子米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙斜靠在一竖直的墙AO上，这时上，这时AO 为为2.4米米（1）求梯子的底端）求梯子的底端B距墙角距墙角O多少米？多少米？（2）如果梯子的顶端）如果梯子的顶端A沿墙下滑沿墙下滑0.5米，那么梯子底端米，那么梯子底端B也外移也外移0.5米吗？米吗？知识点 2勾股定理解决线段移动问题勾股定理解决线段移动问题探究新知探究新知CODBA（2）在）在RtC
20、OD中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.解：解：（1）在）在RtAOB中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB=1.探究新知探究新知答：答：梯子的底端梯子的底端B距墙角距墙角O为为1米米.答：答：梯子底端梯子底端B也外移约也外移约0.77米米.3.151.77,OD 1.77 10.77.BDODOB 我国我国古代数学著作古代数学著作九章算术九章算术中的一个问题，原文是：今有中的一个问题，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，水方池一丈，葭生其中央，出水一
21、尺，引葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？请用学过的数学知识回答这个问深、葭长各几何？请用学过的数学知识回答这个问题题.译：有一个水池，水面是一译：有一个水池，水面是一个边个边长为长为10尺的正方形，在水池正中尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面一央有一根芦苇，它高出水面一尺尺.如如果把这根芦苇拉向水池一边的果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面水面.这个这个水池的深度与这根芦水池的深度与这根芦苇的长度分别是多少？苇的长度分别是多少？A B C 巩固练习巩固练习A B C 解解：设设AB=x,则则AC=x+1，有有AB2+BC2=AC2
22、，可列方程，得可列方程，得x2+52=（x1）2 ，解方程得解方程得x=12.因此因此x+1=13巩固练习巩固练习答：答：这个水池的深度这个水池的深度是是12尺，尺，这根芦苇的长度是这根芦苇的长度是13尺尺.C1.如图所示如图所示，圆柱的高，圆柱的高AB=3，底面直径底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁现在有一只蚂蚁想要从想要从A处沿圆柱表面爬到对角处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离处捕食，则它爬行的最短距离是（是（）A B CD3 12323 4223 1解析：解析：把圆柱侧面展开，展开图把圆柱侧面展开，展开图如图如图所示，点所示，点A、C的最短距离的最短距离为线段为线段AC的长的
23、长22233 43()22 在在RtADC中，中，ADC=90，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，为底面半圆弧长，AD=1.5，所以，所以AC=，故选：故选：C连接中考连接中考52.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为将一根长为20cm的细木筷的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有_cm解析：解析：由题意可得：杯子内的筷子长由题意可得：杯子内的筷子长度最长为度最长为：15，则筷子露在杯子外面的筷子长则筷子露在杯子外面的筷子长度度最少最少为为：20155（cm）22912 连接中考连接中考1.求出下列直
24、角三角形中未知的边求出下列直角三角形中未知的边.22BCAC，13BCAC，AC=8AB=17课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题ABC610ABC815ABC230ABC2452.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和和8，则以斜边为边长的正方形的面积为则以斜边为边长的正方形的面积为 .15课堂检测课堂检测3.如图，在平面直角坐标系中有两点如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和和B(0，4)，求这两点间的距离，求这两点间的距离.解解：在在RtAOB中中，OA=5，OB=4,41A、B两点间的距两点间的距离为离为
25、.AB2OA2+OB252+4241,41AB=.4.一木杆在离地面一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米米处处.木杆折断之前有多高？木杆折断之前有多高？解：解：由题意可知，在由题意可知，在RtRPQ中中，PR=3，PQ=4，RQ2PR2+PQ232+4225,RQ5，PR+RQ3+58.木杆折断之前木杆折断之前有有8米米高高.课堂检测课堂检测RPQ5.如图，铁路上如图，铁路上A，B两点相距两点相距25km，C，D为两庄，为两庄，DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路，现在要在铁路AB上建一上建一个土
26、特产品收购站个土特产品收购站E，使得，使得C，D两村到两村到E站的距离相等，则站的距离相等，则E站应站应建在离建在离A站多少站多少km处处？CAEBDx25-x解：解：设设AE=x km，根据勾股定理，得根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2,BC2+BE2=CE2.又又 DE=CE,AD2+AE2=BC2+BE2.即即 152+x2=102+（25-x）2答：答：E站应建在离站应建在离A站站10km处处.x=10.则则 BE=（25-x）km,1510课堂检测课堂检测在在ABC中中，若若AC=15，BC=13，AB边上的高边上的高CD=12，则则ABC的周长为的周长为()A.32B.42C
27、.32或或42D.以上都不对以上都不对C解解析析：如图，如图，CD在在ABC内部时，内部时，AB=AD+BD=9+5=14，此此时，时，ABC的周长的周长=14+13+15=42，如图，如图，CD在在ABC 外部外部时，时，AB=AD-BD=9-5=4，此时，此时，ABC的周长的周长=4+13+15=32.综综上所述，上所述，ABC的周长为的周长为32或或42.故选故选C.课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题化化非直角三角形非直角三角形为直角三角形为直角三角形将实际问题转化为将实际问题转化为直角三角形模型直角三角形模型课堂小结课堂小结勾股定理勾股定理的应用的应用人教版人教版 数
28、学数学 八年级八年级 下册下册欣赏下面海螺的图片：欣赏下面海螺的图片：在数学中也有这样一幅美丽的在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型海螺型”图案，图案，如第七届国际数学教育大会的会徽如第七届国际数学教育大会的会徽.导入新知导入新知这个图是怎样这个图是怎样绘制出来的呢？绘制出来的呢？2.能利用勾股定理在数轴上作出表示能利用勾股定理在数轴上作出表示无理数的点无理数的点.1.会用勾股定理解决简单的实际问题会用勾股定理解决简单的实际问题，建立，建立数数形结合形结合的思的思想想.素养目标素养目标3.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的解决相应的折叠
29、问题折叠问题.在在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等学习了勾股定理后，条直角边分别相等的两个直角三角形全等学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？你能证明这一结论吗？知识点 1探究新知探究新知证明证明“HL”已知：如图，在已知：如图，在RtABC 和和RtAB C中，中，C=C=90，AB=AB，AC=AC 求证：求证：ABC AB C A B C ABC 22BCABAC ，=-=-22B CA BA C=-=-证证明：明：在在RtABC 和和RtA B C中中，C=C=90，根根据勾股定理，得据
30、勾股定理，得A B C ABC AB=AB ,AC=AC ,BC=BC ABC A B C（SSS）探究新知探究新知 -1 0 1 2 3 问题问题1 你能在数轴上表示你能在数轴上表示出出 的点吗？的点吗？呢？呢？22用同样的方法作用同样的方法作 呢？呢？3,4,5,6,7探究新知探究新知知识点 2利用勾股定理在数轴上确定无理数利用勾股定理在数轴上确定无理数提示：提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点轴上画出表示该无理数的点.【讨论讨论】根根据上面问题你能在数轴上画出表示据上面问题你能在数轴上画出表示 的的
31、点吗？点吗？13113213313?问题问题2 长长为为 的线段是的线段是直角边的长都为正整数的直角三角直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？形的斜边吗？13探究新知探究新知01234步骤：步骤：lABC1.在数轴上找到点在数轴上找到点A,使使OA=3;2.作直线作直线lOA,在在l上取一点上取一点B，使，使AB=2;3.以原点以原点O为圆心，以为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点点，则点C即为表即为表示示 的点的点.133132O探究新知探究新知也可以使也可以使OA=2，AB=3，同样可同样可以求出以求出C点点.探究新知探究新知 方法点拨利用勾股定理表
32、示无理数的方法利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直角三角形的数的直角三角形的斜边斜边.（2）以原点为圆心，以）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点存在交点，在原点，在原点左边的点左边的点表示是负无理数，在原点表示是负无理数，在原点右边右边的点的点表示是正无理数表示是正无理数.01234lABC117?探究新知探究新知利用勾股定理在数轴上确定无理数的点利用勾股定理在数轴上确定无理数的点 素养考点素养考点 1例例 在在数轴上作出表数轴上作出表示示 的点的点.1
33、7 作作法法：（1）在数轴上找到点在数轴上找到点A，使，使OA=1；（2）过点过点A作直线垂直于作直线垂直于OA，在直线上在直线上取点取点B,使使AB=4，那么，那么OB=；（3）以原点以原点O为圆心，以为圆心，以OB为半径作为半径作 弧，弧与数轴交于点弧，弧与数轴交于点C，则，则OC=.如如图，在数轴上，点图，在数轴上，点C为表示为表示 的点的点.171717如如图，点图，点A表示的实数是表示的实数是 （）（）如如图，在矩形图，在矩形ABCD中，中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点在数轴上，若以点A为圆心，对角线为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于的长为半径作弧交数轴于点点M，则
34、点则点M表表示的数为（）示的数为（）A.2 B.51 C.101 D.5CA.3 B.5 C.3 D.5D巩固练习巩固练习 在在55的正方形网格中，每个小正方形的边长都为的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请，请在给定网格中以在给定网格中以A出发分别画出长度为出发分别画出长度为 的线段的线段AB25,8，2AB5AB8ABBBB探究新知探究新知知识点 3 利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段A.A.A.A【想想一一想想】如如图为图为44的正方形网格的正方形网格,以格点与点以格点与点A为端为端点点,你能画出几条边长为你能画出几条边长为 的线段的线
35、段?10探究新知探究新知小结：小结：勾股定理与网勾股定理与网格的综合求线段长时，格的综合求线段长时，通常是把线段放在与通常是把线段放在与网格构成的直角三角网格构成的直角三角形中，利用勾股定理形中，利用勾股定理求其长度求其长度.例例 如图是由如图是由4个边长为个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为为 的线段？的线段？5解：解：如图所示，有如图所示，有8条条.素养考点素养考点 1利用勾股定理在网格上作线段利用勾股定理在网格上作线段 探究新知探究新知一个点一个点地一个点一个点
36、地找，不要漏解找，不要漏解.如如图，在图，在55正方形网格中，每个小正方形的边正方形网格中，每个小正方形的边长均长均为为1，画出一个三角形的长分别为，画出一个三角形的长分别为 .2210、ABC解：解：如图所示如图所示.巩固练习巩固练习AB 如如图，四边形图，四边形ABCD是边长为是边长为9的正方形纸片，将其沿的正方形纸片，将其沿MN折折叠，使点叠，使点B落在落在CD边上的边上的B处，点处，点A的对应点为的对应点为A，且，且BC3，求求AM的长的长.解：解：连接连接BM，MB.设设AMx，在在RtABM中，中，AB2AM2BM2.在在RtMDB中，中，MD2DB2=MB2.MBMB，AB2AM
37、2MD2DB2，即即92x2(9x)2(93)2，解得解得x2.即即AM2.知识点 4 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度探究新知探究新知探究新知探究新知 方法点拨 折叠折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条设一条未知未知线段的长为线段的长为x(一般设所求线段的长为一般设所求线段的长为x)；(2)用用已知已知线段或线段或含含x的代数式的代数式表示出其他线段长；表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的的方程方程；(4)解这个方程，从而求出所求解
38、这个方程，从而求出所求线段长线段长.如图，折叠长方形如图，折叠长方形ABCD的一边的一边AD，使点，使点D落在落在BC边的边的F点处，若点处，若AB=8cm，BC=10cm，求，求EC的长的长.DABCEF解：解：在在RtABF中中,由勾股定理由勾股定理得得 BF2=AF2AB2=10282=36，BF=6cm.CF=BCBF=4cm.设设EC=xcm，则，则EF=DE=(8x)cm，在在RtECF中中,根据勾股定理根据勾股定理得得x2+42=(8x)2，解得解得 x=3.即即EC的长为的长为3cm.巩固练习巩固练习如图如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，A（4，0），），B（0，3
39、），），以点以点A为圆心，为圆心，AB长为半径画弧，交长为半径画弧，交x轴的负半轴于点轴的负半轴于点C，则点则点C坐标为坐标为_(-1，0)连接中考连接中考1.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的上的2个单位长度的位置找一个点个单位长度的位置找一个点D，然后点，然后点D做一条垂直于数轴做一条垂直于数轴的线段的线段CD，CD为为3个单位长度，以原点为圆心，以到点个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和和3
40、之间之间 B.3和和4之间之间 C.4和和5之间之间 D.5和和6之间之间 B课堂检测课堂检测D基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2.如图，网格中的小正方形边长均为如图，网格中的小正方形边长均为1，ABC的三个的三个顶点均在格点上，则顶点均在格点上，则AB边上的高为边上的高为_.8 1313课堂检测课堂检测课堂检测课堂检测20133.如图，如图，OP1，过，过P作作PP1OP且且PP11，得，得OP1 ；再过；再过P1作作P1P2OP1且且P1P21，得，得OP2 ；又过；又过P2作作P2P3OP2且且P2P31，得，得OP32；依此法继续作下去，得依此法继续作下去，得OP2012_.234
41、.如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB=8，BC=4，将矩形沿，将矩形沿AC折叠，折叠，点点D落在点落在点D处，求重叠部分处，求重叠部分AFC的面积的面积.解：解：易证易证AFD CFB(AAS)，DF=BF，设设DF=x，则，则AF=8-x，在在RtAFD中，中，AF2=DF2+AD2,(8-x)2=x2+42，SAFC=AFBC=1012课堂检测课堂检测AF=AB-FB=8-3=5，解得解得x=3.5.如图，数轴上点如图，数轴上点A所表示的数为所表示的数为a，求，求a的值的值.解：解：图中的直角三角形的两直角边为图中的直角三角形的两直角边为1和和2，斜边长为斜边长为 ，即，即-1到
42、到A的距离是的距离是 ，点点A所表示的数为所表示的数为 .2221=5551提示：提示：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长所表示的数不是斜边长.课堂检测课堂检测11173 31 22 31 32222ABCS .在在ABC中，中，AB、BC、AC三边的长分别为三边的长分别为 ,求这个三求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点），再在网格中画出格点ABC（即（即ABC三个顶点都在小
43、正方形的顶点处），如图所示这样不需三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积的高，而借用网格就能计算出它的面积51013、解：解：能 力 提 升 题能 力 提 升 题课堂检测课堂检测利用勾股利用勾股定定理作理作图图或计算或计算在在数轴上数轴上表示出表示出无 理 数 的 点无 理 数 的 点利用勾股定理解决利用勾股定理解决网 格 中网 格 中 的 问 题的 问 题利用勾股定理利用勾股定理解决解决折叠问题折叠问题及其他图形的及其他图形的计算计算通常与网格求线通常与网格求线段段长或面积长或面积结合结合起来起来通常用通常用到到方程方程思想思想课堂小结课
44、堂小结人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？古埃及人曾用下面的方法得到直角：古埃及人曾用下面的方法得到直角：用用13个等距的结个等距的结,把一根绳子把一根绳子分成等长的分成等长的12段段,然后以然后以3个结，个结，4个结，个结，5个结的长度为边长，个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是中一个角便是直角直角.导入新知导入新知1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆互逆命题、互逆定理的概念、关系及勾股数命题、互逆定理的概念、关系及勾股数.2.能证明
45、勾股定理的能证明勾股定理的逆定理逆定理，能利用勾股定，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.素养目标素养目标 据说据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角古埃及人曾用如图所示的方法画直角.这种方法对吗？这种方法对吗？探究新知探究新知知识点 1勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理345三边分别为三边分别为3，4，5，满足关系：满足关系：32+42=52，则该三角形是直角三角形则该三角形是直角三角形 探究新知探究新知问题问题1 用用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？量角器量一量，它们都是直角三角形吗？018015012090603072425513121
46、7815是是做一做：做一做：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形别以这些数为边长画出三角形(单位：单位：cm).).5，12，13；7，24，25；8，15，17 探究新知探究新知 下下面有三组数分别是一个三角形的三边长面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:5,12,13;7,24,25;8,15,17.问问题题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？这三组数在数量关系上有什么相同点？5,12,13满足满足52+122=132,7,24,25满足满足72+242=252,8,15,17满足满足82+152=17
47、2.问题问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？32+42=52，满足满足.a2+b2=c2探究新知探究新知问题问题4 据据此你有什么猜想呢此你有什么猜想呢?由上面几个例子，我们猜想：由上面几个例子，我们猜想：命题命题2 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,c满足满足a2+b2=c2,那么那么这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形.探究新知探究新知我觉得这个猜想不我觉得这个猜想不准确，因为测量结准确，因为测量结果可能有误差果可能有误差.我也觉得猜想不严我也觉得猜想不严谨，前面我们只取谨，前面我们只取了几组数据，不能了几组数据，不能由
48、部分代表整体由部分代表整体.已知已知：如：如图，在图，在ABC中，中，AB=c，BC=a，CA=b，并并且且 .ABbcab证明：证明：作作A1B1C1,在在ABC和和A1B1C 1中，中，Ca222cba求求证：证：C=90.使使C1=90,根据根据勾股定理勾股定理，则，则有有C=C1 =90.探究新知探究新知BAB1C1=a，C1A1=b.A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2.a2+b2=c2,A1B1=c，AB=A1B1.ABC A1B1C1.A1C1B1AB=A1B1.CA=C1A1,BC=B1C1,符号语言：符号语言：在在ABC中，中，若若a2+b2=c2则则ABC是
49、是直角三角形直角三角形.探究新知探究新知 如如果三角形的三边长果三角形的三边长a、b、c满足满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：bcCaBA探究新知探究新知 方法点拨 勾勾股定理的逆定理是直角三角形的股定理的逆定理是直角三角形的判定判定定理定理，即已知三角形的三边长，且满足两条，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边较小边的平方和等于的平方和等于最长边最长边的平方，即可判的平方，即可判断此三角形为直角三角形断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应最长边所对应的角为直角的角为直角.例例1 下面以下面以a,b,c为边长的三角
50、形是不是直角三角形？如果是为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么那么哪一个角是直角哪一个角是直角？(1)a=15 ，b=8 ，c=17;解解：(1)152+82=289，172=289，(2)a=13，b=14 ，c=15.(2)132+142=365，152=225，总结总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看角形，只要看两条较小边长的平方和两条较小边长的平方和是否等于是否等于最大边长的平方最大边长的平方.探究新知探究新知素养考点素养考点 1利用勾股定理的逆定理判断直角三角形利用勾股定理的逆定理判断直角三角形15
