1、 掌握等差、等比数列的基本性质：掌握等差、等比数列的基本性质：如（）如（）“成对成对”和或积相等问题；和或积相等问题；（）等差数列求和（）等差数列求和S2n-1与中项与中项an；能；能灵活运用性质解决有关问题灵活运用性质解决有关问题.如分组求和如分组求和技巧、整体运算技巧、整体运算.1.在等差数列在等差数列an与等比数列与等比数列bn中，下列中，下列结论正确的是结论正确的是()CA.a1+a9=a10,b1b9=b10B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6C.a1+a9=a4+a6,b1b9=b4b6D.a1+a9=2a5,b1b9=2b5 当当m+n=p+q时，等差数列中有时，等
2、差数列中有am+an=ap+aq,等比数列中有等比数列中有bmbn=bpbq.2.已知等比数列已知等比数列an中，有中，有a3a11=4a7，数列数列bn是等差数列是等差数列,且且b7=a7,则则b5+b9等于（等于（）CA.2 B.4 C.8 D.16 因为因为a3a11=a72=4a7，因为，因为a70，所，所以以a7=4，所以，所以b7=4.因 为因 为 bn 为 等 差 数 列，所 以为 等 差 数 列，所 以b5+b9=2b7=8，故选，故选C.3.命题命题:若数列若数列an的前的前n项和项和Sn=an+b(a1),则数列则数列an是等比数列是等比数列;命 题 命 题 :若 数 列若
3、 数 列 an 的 前的 前 n 项 和项 和Sn=an2+bn+c(a0),则数列则数列an是等差数列是等差数列;命题：若数列命题：若数列an的前的前n项和项和Sn=na-n,则数列则数列an既是等差数列，又是等比数列既是等差数列，又是等比数列.上述三个命题中，真命题有上述三个命题中，真命题有()AA.0个个 B.1个个 C.2个个 D.3个个 由命题得，由命题得，a1=a+b,当当n时，时，an=Sn-Sn-1(a-1)an-1.若若an是等比是等比,数列则数列则 =a,即即 =a,所以只有当所以只有当b=-1且且a0时，此数列时，此数列才是等比数列才是等比数列.由命题得由命题得,a1=a
4、+b+c,当当n时，时，an=Sn-Sn-1=2na+b-a.若若an是等差数列，则是等差数列，则a2-a1=2a,即即2a-c=2a,所以只有当所以只有当c=0时，数列时，数列an才是才是等差数列等差数列.由命题得，由命题得，a1=a-1,当当n时，时，an=Sn-Sn-1=a-1,显然显然an是一个常数列，即公差为是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当的等差数列，因此只有当a-10，即，即a时，时，数列数列an才又是等比数列才又是等比数列.21aa(1)a aab4.(1)等差数列的前等差数列的前n项的和为项的和为54，前，前2n项项的和为的和为60，则前，则前3n项的和为项的和为
5、 ；(2)等比数列的前等比数列的前n项和为项和为54，前，前2n项的项的和为和为60，则前，则前3n项的和为项的和为 .186023 (1)由等差数列性质由等差数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成成等差数列，则等差数列，则2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n，解得，解得S3n=18.(2)由等比数列性质由等比数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列成等比数列,则则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)，解得，解得S3n=60 .235.已知数列已知数列an、bn分别为等差、等比数列，分别为等差、等比数列，且且a1=b10，a3=b3，b1b3，则一定有，则一定有
6、a2 b2，a5 b5（填（填“”“0，b30，又，又b1b3，a2=|b2|，故，故a2b2；同理，同理，a5=2a3-a1，b5=，所以所以b5-a5=-(2b3-b1)=0,即即b5a5.132aa132bb1 3bb231bb231bb22331112bb bbb2311()bbb(方法二方法二)通项与函数关系通项与函数关系.因为因为an=dn+(a1-d)为关于为关于n的一次函数，的一次函数，bn=a1qn-1=qn为关于为关于n的类指数函数的类指数函数.当当d0，如图，如图1；当；当db2，a50d0，则，则lgan是等差数列是等差数列.(5)在等差数列在等差数列an中，当项数为偶
7、数中，当项数为偶数2n时时;S偶偶-S奇奇=;项数为奇数项数为奇数2n-1时时;S奇奇-S偶偶=，S2n-1=(2n-1)a中中(这里这里a中中即即an);S奇奇 S偶偶=(k+1)k.am+an=ap+aqnda中中(6)若等差数列若等差数列an、bn的前的前n项和分别为项和分别为An、Bn,且且 =f(n),则则 =f(2n-1).(7)“首正首正”的递减等差数列中的递减等差数列中,前前n项和的项和的最大值是所有最大值是所有 之和之和;“首负首负”的递增等的递增等差 数 列 中差 数 列 中,前前 n 项 和 的 最 小 值 是 所 有 项 和 的 最 小 值 是 所 有 之和之和.(8)
8、如果两等差数列有公共项，那么由它们如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数公倍数.nnABnnab(21)(21)nnnanb2121nnAB非负项非负项非正项非正项2.等比数列的性质等比数列的性质(1)当当m+n=p+q时，则有时，则有 ,特特别地，当别地，当m+n=2p时，则有时，则有aman=ap2.(2)若若an是等比数列，则是等比数列，则kan成等比数成等比数列；若列；若an、bn成等比数列，则成等比数列，则anbn、成等比数
9、列成等比数列;若若an是等比数列是等比数列,且公比且公比q-1,则则数列数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,也是也是 数列数列.当当q=-1,且且n为偶数时为偶数时,数列数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,是是常数数列常数数列0,它不是等比数列它不是等比数列.aman=apaqnnab等比等比(3)若若a10,q1,则则an为为 数列；若数列；若a11,则则an为为 数列数列;若若a10,0q1,则则an为递减数列；若为递减数列；若a10,0q1，则，则an为为递增数列；若递增数列；若q0,n=1,2,，且，且a5a2n-5=22n(n3),则当则当n1时时,log2a1+log2a3
10、+log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2 D.(n-1)2 (1)因为因为1+8+15=2，且，且n成等差数成等差数列，列，则则1+15=28，故，故8=.于是于是tan(2+14)=tan28=tan =.23433C(2)因为因为a5a2n-5=22n(n3),且且an成等比数列成等比数列,则则a1a2n-1=a3a2n-3=a5a2n-5=22n=an2.令令S=log2a1+log2a3+log2a2n-1，则则S=log2a2n-1+log2a3+log2a1,所以所以2S=log2(a1a2n-1)(a3a2n-3)(a2n-3a3)(a2n-1a1)=
11、log2(22n)n,所以所以2S=2nn，所以，所以 S=n2.本题是等差、等比的求值题，本题是等差、等比的求值题，难点是找条件和目标之间的对应关系难点是找条件和目标之间的对应关系.解题时，根据等差、等比数列的解题时，根据等差、等比数列的“成成对下标和对下标和”性质，列出方程或多个恒性质，列出方程或多个恒等式是解题的关键等式是解题的关键.一般的，对于涉及一般的，对于涉及等差、等比数列的通项公式的条件求等差、等比数列的通项公式的条件求值题，合理利用通项或相关性质进行值题，合理利用通项或相关性质进行化归是基本方法化归是基本方法.(2010湖北省模拟湖北省模拟)设数列设数列an、bn都是正项等比数
12、列，都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数分别为数列列lgan与与lgbn的前的前n项和项和,且且 =,则则logb5a5=.nnST21nn 由题知，由题知，=logb5a5 logb5a5=.99ST129129lg()lg()a aab bb9595lglgab55lglgab919919例例2 (1)等差数列等差数列an中中,a9+a10=a,a19+a20=b,求求a99+a100.(2)在等比数列在等比数列an中中,若若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求求a41a42a43a44.(1)将相邻两项和将相邻两项和a1+a2,a3+a4,a5+a6,a99+a100分
13、别记为分别记为b1,b2,b3,b50,可知可知bn成等差数列成等差数列.此数列的公差此数列的公差d=.a99+a100=b50=b5+45d=a+45=9b-8a.105105bb5ab5ab(2)(方法一方法一)a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3 =a14q6=1.a13a14a15a16=a1q12a1q13a1q14a1q15 =a14q54=8.得，得，=q48=8 q16=2.又又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43=a14q166=a14q6q160=(a14q6)(q16)10=1210=1024.4541461aqaq(方法二方法二)由性
14、质可知，依次项的积为等由性质可知，依次项的积为等比数列，设公比为比数列，设公比为q,T1=a1a2a3a4=1,T4=a13a14a15a16=8,所以所以T4=T1q3=1q3=8 q=2,所以所以T11a41a42a43a44=T1q10=1024.巧用性质，减少运算，在有关等巧用性质，减少运算，在有关等差、等比数列的计算中非常重要差、等比数列的计算中非常重要.如（）如（）（2）小题巧用性质，构造一个新的等差）小题巧用性质，构造一个新的等差或等比数列求解或等比数列求解.例例3 已知等比数列已知等比数列xn的各项为不等于的正的各项为不等于的正数，数列数，数列yn满足满足ynlogxna=2(
15、a0,a1)，设，设y3=18,y6=12.(1)求数列求数列yn的前多少项和最大的前多少项和最大,最大值为多少最大值为多少?(2)试判断是否存在自然数，使当试判断是否存在自然数，使当nM时，时，xn1恒成立？若存在，求出相应的恒成立？若存在，求出相应的M值；若不存在，值；若不存在，请说明理由；请说明理由；(3)令令an=logxnxn+1（n13,nN*），试判断数列），试判断数列an的增减性？的增减性？(1)由已知得，由已知得，yn=2logaxn.设等比数列设等比数列xn的公比为的公比为q(q)，由由yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga =2logaq,得得y
16、n为等差数列，设公差为为等差数列，设公差为d.因为因为y3=18,y6=12,所以所以d=-2,所以所以yn=y3+(n-3)d=24-2n.yk+10 yk0所以前所以前11项与前项与前12项和为最大项和为最大,其和为其和为132.1nnxx设前设前k项和为最大项和为最大,则则11k12,y12=0,(2)xn=a12-n,nN*.若若xn1，则，则a12-n1.当当a1时，时，n12，显然不成立；，显然不成立；当当0a12,所以存在所以存在M=12,13,14,当当nM时，时，xn1.(3)an=logxnxn+1=loga12-na12-(n+1)=.因为因为an+1-an=-=,又又n
17、13,所以所以an+113时，数列时，数列an为递减数列为递减数列.1112nn1011nn1112nn1(11)(12)nn 本小题主要考查等差、等比数本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及解讨论等思想方法进行分析、探索及解决问题的能力决问题的能力.在数列在数列an中，中，a1=1,a2=2,且且an+1=(1+q)an-qan-1(n2,q0).(1)设设bn=an+1-an(nN*),证明：证明：bn是等比是等比数列；数列；(2)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(3)若若a3是是a6与与a9的等差中
18、项，求的等差中项，求q的值，的值，并证明：对任意的并证明：对任意的nN*,an是是an+3与与an+6的等差中项的等差中项.(1)证明证明:由题设由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n2),得得an+1-an=q(an-an-1),即即bn=qbn-1,n2.又又b1=a2-a1=1,q0，所以所以bn是首项为是首项为1,公比为公比为q的等比数列的等比数列.(2)由由(1)知，知，a2-a1=1,a3-a2=q,an-an-1=qn-2(n).将以上各式相加将以上各式相加,得得an-a1=1+q+qn-2(n2).1+(q1)n (q=1).上式对上式对n=1显然成立显然成立.所以当所
19、以当n2时时,an=111nqq(3)由由(2)知，当知，当q=1时，显然时，显然a3不是不是a6与与a9的等的等差中项，故差中项，故q1.由由a3-a6=a9-a3，可得，可得q5-q2=q2-q8,由由q0，得，得q3-1=1-q6,整理得整理得(q3)2+q3-2=0,解得解得q3=-2或或q3=1(舍去舍去).于是于是q=-.另一方面另一方面,an-an+3=(q3-1),an+6-an=(1-q6).由可得由可得an-an+3=an+6-an(nN*).所以对任意的所以对任意的nN*,an是是an+3与与an+6的等差中项的等差中项.23211nnqqq11nqq151nnqqq11
20、nqq1.知三求二：在等差（比）数列中，知三求二：在等差（比）数列中，a1,d(q),n,an,Sn共五个量中知道其中任意共五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个三个，就可以求出其他两个.解这类问题解这类问题时，一般是转化为首项时，一般是转化为首项a1和公差和公差d(公比公比q)这两个基本量的有关运算这两个基本量的有关运算.2.巧用性质、减少运算量：在等差、巧用性质、减少运算量：在等差、等比数列的计算中，巧用性质非常重要，等比数列的计算中，巧用性质非常重要，同时树立同时树立“目标意识目标意识”，需要什么，就求，需要什么，就求什么，既要充分合理地利用条件，又要时什么，既要充分合理地利用条件
21、，又要时刻注意问题的目标，往往能取得与刻注意问题的目标，往往能取得与“巧用巧用性质性质”解题相同的效果解题相同的效果.学例1 (2009安徽卷安徽卷)已知已知an为等差数为等差数列，列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以以Sn表示表示an的前的前n项和，则使得项和，则使得Sn达到最大值的达到最大值的n是是()BA.21 B.20C.19 D.18 由由a1+a3+a5=105,得得3a3=105,即即a3=35.由由a2+a4+a6=99，得，得3a4=99，即，即a4=33.则由则由-得得d=-2，所以所以an=a4+(n-4)(-2)=41-2n.an0 an+10，解得解得19.50),则在定义域上有则在定义域上有 ,a1 ,a=1 ,0a1.(1)(1)mnmnaaaa(1)(1)axax11(1)(1)nnaaaa(1)(1)nnaaaaf(x)g(a)=1(1)a12(1)aa故对故对nN*，bn+1g(a)恒成立恒成立.又又b2n=g(a),注意到注意到0g(a)，解上式得，解上式得 =an ,取取=，即有，即有 an.22(1)nnaa12()1()1 2()g ag ag a1()1 2()()g ag ag a1()1 2()()g ag ag a1()1 2()()g ag ag a1本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来
