1、2023年中考数学考前冲刺：二次函数与特殊四边形 高频压轴题（共12小题，每小题10分，满分120分）1如图，抛物线yx22x3与y轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相较于点C，顶点为D(1)直接写出A、B、C三点的坐标；(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PFDE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示PF的长，并求出当m为何值时四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系式2如图，在平面直角坐标系中，直线y2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B，(
2、1)求抛物线的解析式(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF=BF时，求sinEBA的值(3)点N是直线AC上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由3如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线经过点B，C(1)求抛物线的解析式；(2)直线交抛物线于点P、Q，抛物线的顶点为D，四边形DPEQ为菱形当时，求菱形DPEQ的面积；当点E落在内部（不含边上）时，直接写出的取值范围4如图，在平面直角坐标系中，将抛物线（其中为常数，且0
3、）关于原点对称得到抛物线，抛物线，的顶点分别为M，N(1)请直接写出抛物线的表达式；（用含有的式子表示）(2)若抛物线与轴交点从左到右依次为A，B；抛物线与轴交点从左到右依次为C，D若A，B，C，D四点从左到右依次排列，且AD=3BC，求的值；是否存在这样的，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(3)在抛物线对称轴右侧的部分任取一点G，设直线MG，NG分别与轴相交于P，Q两点，且，求的值5如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，顶点为，E为对称轴上一点，D，F为抛物线上的点（点D位于对称轴左侧），且四边形为正方形(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，求
4、正方形的面积；(3)如图2，连接，与交于点M，与y轴交于点N，若P为抛物线上一点，Q为直线上一点，且P，Q两点均位于直线下方，当是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P的坐标6如图，抛物线与轴交于A，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为(1)求抛物线的表达式；(2)当线段的长度最大时，求的值：(3)点是抛物线对称轴上的一点，点是坐标平面内的一点，是否存在点，使得以点，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由7如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在轴上，抛物线经过点
5、B，两点，且与直线DC交于一点E(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为y轴上一点，探究是否存在最小值若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点F为抛物线对称轴上一点，点Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；8如图1，抛物线yax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB8，B点横坐标为2，延长矩形OBDC的DC边交抛物线于E(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，若点P是直线EO上方的抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线EO于点M，求PM的最大值；(3)
6、如图3，如果点F是抛物线对称轴l上一点，抛物线上是否存在点G，使得以F，G，A，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由9如图，直线yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yax2+x+c经过A、B两点(1)求二次函数解析式；(2)如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作EDAB，交AB于点D，作EFAC，交AC于点F，交AB于点M，求DEM的周长的最大值；(3)在（2）的结论下，连接CM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P
7、的坐标；如果不存在，请说明理由(4)如图2，点N的坐标是（1，0），将线段ON绕点O逆时针旋转得到ON，旋转角为（090），连接NA、NB，求NA+NB的最小值10如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且AB4(1)求这个函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；(2)点E是二次函数图像上一个动点，作直线轴交抛物线于点F（点E在点F的左侧），点D关于直线EF的对称点为G，如果四边形DEGF是正方形，求点E的坐标；(3)若射线AC与射线BD相交于点H，求AHB的大小11如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点的坐标为，直线的解析式为(
8、1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点作交抛物线于点（异于点），是直线下方抛物线上一点，过点作轴，交于点，过点作于点，连接求面积的最大值及此时点的坐标；(3)如图2，点关于轴的对称点为点，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，原抛物线的对称轴上有一动点，平面直角坐标系内是否存在一点，使得以，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由12如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(1)b_，c_；(2)若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DEy轴交BC
9、于点E，过点D作DFBC于点F，过点F作FGy轴于点G，求出DE+FG的最大值及此时点D的坐标；(3)若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由参考答案1（1）解：令y=0，则0=-x2+2x+3，解得：x=-1或3，抛物线y=-x2+2x+3与x相交于AB（点A在点B左侧），A（-1，0），B（3，0），令x=0，则y=3，抛物线与y轴相交于点C，C（0，3）（2）解：设直线BC的函数关系式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入，得，解得：，直线BC
10、的函数关系式为y=-x+3当x=1时，y=-1+3=2，E（1.2）当x=m时，y=-m+3，P（m，-m+3）在y=-x2+2x+3中，当x=1时，y=4，D（1，4）当x=m时，y=-m2+2m+3，F（m，-m2+2m+3），线段DE=4-2=2，线段PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m，PFDE，当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形由-m2+3m=2，解得m=2或m=1（不合题意，舍去）因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3S=SEPF+SCPF，即S=PFBM+PFOM=PF（B
11、M+OM）=PFOB，S=3（-m2+3m）=-m2+m（0m3）.2(1)解：直线y2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，令x=0，则y=6，令y=0，则x=-3， ，将A、C代入抛物线解析式，得： ， 抛物线解析式为：(2)由抛物线解析式可知：令y=0，作 分别交AB于H、G，设 ， ， ， ， ， ， 横坐标为 ，F在直线AC上，FG= ， ， ， ， 当时EH=6，BH=3， ， ，当时，同理可得： ，或者(3)由题意得抛物线的对称轴为 ，所以E点坐标只能是，由于N在直线AC上，M在抛物线上，设 ， 当M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形时，有以下情况：当BE为边时，由图像可得：只
12、能BN是对角线，由平行四边形对角线互相平分得两条对角线中点坐标相同，则有： ，解得： 当BE为对角线时，同理可得：，解得：，综上所述：N坐标为，3（1）解：直线经过点B，C令，则，令，则，代入，得，解得，抛物线的解析式为（2），当时，解得，四边形DPEQ是菱形，关于对称，菱形DPEQ的面积为，四边形DPEQ是菱形，关于对称，设，当在轴上时,，当在上时，当点E落在内部（不含边上）时，的取值范围为4（1）解：设抛物线c2上任意一点（x，y），则点（x，y）关于原点的对称点为（-x，-y），将点（-x，-y）代入抛物线，抛物线c2的解析式为；（2）对函数，令y=0，解得x=-1+m或x=1+m，m0
13、，A（-1+m，0），B（1+m，0），对函数c2：，令y=0，解得x=1-m或x=-1-m，m0，C（-1-m，0），D（1-m，0），AD=2-2m，BC=-2-2m，AD=3BC，2-2m=3（-2-2m），m=-2；存在m，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形，理由如下：抛物线c1的对称轴为x=m，M（m，），抛物线c2的对称轴为x=-m，N（-m，-），M、N关于原点对称，A、D关于原点对称，MN为矩形的对角线，AM2+AN2=MN2，1+3+（2m-1）2+3=12+4m2，解得m=-1；（3）设G点的横坐标为t，过点G作x轴的平行线交y轴于点I，过点M作x轴的平行线交y轴于点
14、H，过点N作y轴的平行线 交GI于点K，GIMH，GM=pGP，NKy轴，GN=qGQ，t=，1+p=q，p-q=-15（1）解： 抛物线的顶点为，设该抛物线的解析式为，将代入，解得，该抛物线的解析式为，即（2）如图1，过点F作，垂足为R设，则，四边形是正方形，解得（舍去）或，正方形的面积是32（3）解：令解得： ，轴， ，设直线为 解得 则直线的解析式为设如图2，过点P，Q分别作的垂线，垂足分别为T，G是等腰直角三角形，又，点P在抛物线上，解得，点P的坐标为6解：（1）设，则，则点A、的坐标分别为、，则，解得：，故点、的坐标分别为、，则抛物线的表达式为：，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）
15、对于，令，则，故点，由点A、的坐标得，直线的表达式为：，设点的横坐标为，则点，则点，则，故有最大值时，点；轴把代入得：最大，在直角中，（3）如图，共有五个满足的P点，由菱形的性质可知，当时，即当时，即当时，设P3到x轴的距离为n则有，解得，n=即当时，即当时，即点坐标：或或或或7（1）解：由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，OA4，故点B的坐标为，把B、D两点代入抛物线的解析式得则，解得，故抛物线的表达式为；（2）解：存在，理由：DCx轴 点E与点的纵坐标相同当y5时，解得， 点E的坐标为（2，5）点E关于y轴对称点为点坐标为如图1，连接，交y轴于点P，连接EP，则此时为最小值，由点B
16、的坐标为，点坐标为设直线的表达式为ymxn，解得则直线的表达式为，当x0时，y，点P坐标为则为最小值（3）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点F的坐标为，由点B、E的坐标得，以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，当时，解得，如图2所示，当时，则，解得，如图3所示，故点的坐标为或或或8（1）解：由题意得，B（2，0），A（6，0），解得：，抛物线的解析式y（2）抛物线的解析式是：y抛物线对称轴是直线：x2，C（0，4），E（4，4），直线EO的解析式是：yx，设点P（m，），M（m，m），PM（m）（m+）2+，当m时，PM最大值是（3）当以F，G，A，C为顶点的平行四边
17、形是ACGF时，点A（6，0），C（0，4），F（2，n），点G的横坐标是：x4，当x4时，y+4，G（4，），当以F，G，A，C为顶点的平行四边形ACFG时，可得G点横坐标是x8，当x8时，y（8）2+4，G（8，），当以F，G，A，C为顶点的平行四边形AGCF时，G点横坐标是：6（2）4，当x4时，y（4）2+44，G（4，4），综上所述点G（4，）或（8，）或（4，4）9（1）解：直线yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，令x=0，则y=3；令y=0，则x=4， ，抛物线yax2+x+c经过A、B两点， ，解得： ，；（2）设，则 ， ， ， ， ，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不
18、与A、B重合）， ， ，的周长为： ，EDAB， EFAC， ， ，的周长的周长= ，的周长为：， ，时，的周长最大值为 ；（3）存在点P，由（2）可知： ，此时可得： ，抛物线的对称轴为： ，则Q点的横坐标为1， ， ，设 ，当CM为平行四边形的边时，且P点在Q点的左侧，此时： ，C点先向右平移4个单位，再向上平移个单位到M，则P点先向右平移4个单位，再向上平移个单位到Q，Q点的横坐标为1， ，将其代入抛物线解析式得： ， ，当CM为平行四边形的边时，且P点在Q点的右侧，同理可知：将Q点先向右平移4个单位，再向上平移个单位到P，此时 ，代入抛物线解析式得： ，当CM为平行四边形对角线时，由中
19、点坐标公式得： ， ，代入抛物线解析式得： ，综上所述：或或；（4）在y轴上截取OH= ，连接 ， ， ，又 ， ， ， ， ，当H、 、A共线时，有最小值，且最小值为 ，在直角三角形AOH中， ，的最小值为 10解：（1）抛物线为的对称轴为直线，AB= 4，A（-1，0），B（3，0），把B（3，0）代入得，9m-6m +3 = 0，解得：m=-1，抛物线的解析式为y=-x2+2x +3；抛物线为，顶点D（1，4）；（2）如图1，连接DG交EF于点Q，D（1，4），D与G关于EF对称，EF垂直平分DG，DE = EC，DF = FG，EF/c轴，DGx轴，点E、F关于直线DG对称，DE =
20、DF，线段DG在抛物线的对称轴上，DE = DF= FG = EG，四边形DEGF是菱形；设E（n，-n2+ 2n + 3），EQ = 1-n，DQ =4-（-n2 + 2n + 3）=n2- 2n+1，又四边形DEGF是正方形，EQ = DQ，即，解得n = 0或n = 1（舍去），E（0，3）；（3）如图2，连接AC，过点H作HMx轴于M，抛物线为y =-x2 + 2x + 3，C（0，3），A（-1，0），B（3，0），AO = 1，AB = 4，OC = 3，OB = 3，OB = OC，ABC = 45，设直线AC的解析式为y=rx +3（r 0），则0=-r+ 3，r = 3，直线
21、AC的解析式为y= 3x+3，设直线BD的解析式为y =ka +b（k0），则，解得，直线BD的解析式为y=-2x +6，解方程组，解得，又，11(1)解：点B在x轴上，且点B在y=x-4上，B（8，0），A（2，0），B（8，0），都在抛物线y=ax+bx-4上，x=2，x=8是方程ax+bx-4=0的两个根，16=，=6， a=，b=，y=xx4；(2)解：ADBC，直线BC的解析式为y=x4，设直线AD的解析式为y=xb1，把A（2，0）代入得：0=+b1，解得：b1=1，直线AD的解析式为y=x+1，过点B作BGAD交点G，QRBC，QR=BG，在RtABG中，AB=10，tanBAG
22、=，由勾股定理得：BG=2， 设P（m，mm4），R（n，n4），则Q（m，m+1），QR=2，（2）2=（mn）2+(mn+5) 2， nm=2， R（m+2，m3），SPQR=（m+1m+m+4）2=m+2m+5=（m4）2+9， 当m=4时，SPQR有最大值9，P（4，6）；(3)解：点C关于x轴的对称点为点C，C（0，4），直线AC的解析式为y=2x+4，抛物线沿射线CA的方向平移2个单位长度，抛物线沿着x轴负方向平移2个单位长度，沿着y轴负方向平移4个单位长度，y=xx4=（x3）2，y=（x1）2，联立（x3）2=（x1）2-，解得x=6，M（6，4），联立x+1=xx4，解得x=
23、10或x=2，D异于点A， D（10，6），y=xx4的对称轴为直线x=3，设N（3，t），K（x，y），当DM与KN为矩形对角线时，DM的中点与KN的中点重合，8=，1=，x=13，t=2-y，DM=KN，16+100=（3x）2+（ty）2，y=1或y=3，K（13，1）或K（13，3）；当DN与MK为矩形对角线时，DN的中点与MK的中点重合，=， x=7，t=y-10，DN=MK， 49+（6t）2=（6x）2+（y+4）2， y=， K（7，）；当KD与MN为矩形对角线时，KD的中点与MN的中点重合，x=1，t=10+y，KD=MN，（x10）2+（6y）2=9+（t+4）2， y=-
24、， K（1，）；综上所述：以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形时，K点坐标为（1，）或（7，）或（13，1）或（13，3）12(1)解：将点A（1，0），B（3，0）代入yx2+bx+c，yx22x3，故答案为：2，3；(2)解：延长DE交x轴于点K，延长GF交ED于点H，如图1令x0，则y3，C（0，3），设直线BC的解析式为ykx+b，解得，yx3，设D（t，t22t3），则E（t，t3），DEt3t2+2t+3t2+3t，OBOC3，OBC45，FEHEFHGFCGCF45，FHED，FHEHDE（t2+3t），GFGHFHt（t2+3t）t2-t，GF+DEt2+3t+t2-tt2+t
25、（t）2+，当t时，GF+DE有最大值，此时D（，）；(3)解：存在点M，使四边形OMPQ为正方形，理由如下：yx22x3（x1）24，抛物线的对称轴为直线x1，设P（1，p），Q（x，y），M（m，m22m3），过点P作GHx轴，过点Q作QGGH交于G，过点M作MHGH交于点H，四边形OMPQ为正方形，QPM90，GPQ+HPM90，GPQ+GQP90，HPMGQP，QPPM，GPQHMP（AAS），GPHM，GQPH，OP是正方形的对角线，1m+x，py+m22m3，当M点在第一象限时，如图2，GP1x，HMp（m22m3），GQpy，PHm1，pym1，由可得m1m22m3，解得m，M（，）；当M点在第一象限时，如图3，GPx1，HMp（m22m3），GQpy，PH1m，py1m，由可得1mm22m3，解得m，M（，）；综上所述：M点的坐标为（，）或（，）第 30 页 共 30 页
