1、 【典例分析】 例 1 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 和抛物线交于点 A（-4，0） ，B（0，4） ，且点 B 是抛物线的顶 点 （1）求直线AB 和抛物线的解析式 （2）点 P 是直线上方抛物线上的一点，求当PAB 面积最大时点 P 的坐标 （3）M 是直线 AB 上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点 N，使以 O、B、M、N 为顶点的四边形是 菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 思路点拨 （1）设直线的解析式为 y=kx+b，将 A（-4，0） ，B（0，4）代入得到关于 k、b 的方程组，然后解得 k、b 的值即可；设抛物线的解析式为 y=ax2+4，然
2、后将点 A 的坐标代入求得 a 的值即可； （2）过点 P 作 PQx 轴，交 AB 于点 Q设点 P（a， -+4） ，Q（a，a+4） 则 PQ=-a，然后依据三 角形的面积公式列出ABP 的面积与 a 的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可； （3）先根据题意画出图形，需要注意本题共有 4 种情况，然后依据菱形的性质、等腰直角三角形的性质以 及特殊锐角三角函数值求解即可 满分解答 抛物线的解析式为 y=- x2+4学￥科网 （2）如图 1 所示，过点 P 作 PQx 轴，交 AB 于点 Q （3）如图 2 所示：延长 MN 交 x 轴与点 C MNOB，OBOC， MNOC 来源:
3、163文库 OA=OB，AOB=90 ， BA0=45 ONAB， NOC=45 OC=ON=4=2，NC=ON=4=2 点 N 的坐标为（2，2） 如图 3 所示：过点 N 作 NCy 轴，垂足为 C OA=OB，AOB=90 ， OBA=45 ONAB， NOC=45 OC=ON=4=2，NC=ON=4=2 点 N 的坐标为（-2，-2） 如图 4 所示：连接 MN 交 y 轴与点 C 四边形 BNOM 为菱形，OB=4， BC=OC=2，MC=CN，MNOB 点的纵坐标为 2 将 y=2 代入 y=x+4 得：x+4=2，解得：x=-2， 点 M 的坐标为（-2，2） 学科￥网 点 N
4、的坐标为（2，2） 如图 5 所示： 四边形 OBNM 为菱形， NBM=ABO=45 四边形 OBNM 为正方形 点 N 的坐标为（-4，4） 综上所述点 N 的坐标为（，）或（-，-）或（-4，4）或（2，2） 考点：二次函数综合题 例 2 如图，抛物线的图象经过点 A（2，0） ，点 B（4，0） ，点 D（2，4） ，与 y 轴交于点 C，作直线 BC，连接 AC，CD （1）求抛物线的函数表达式； （2）E 是抛物线上的点，求满足ECD=ACO 的点 E 的坐标； （3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为第一象限内抛物线上一点，若以点 C，
5、M，N，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长 思路点拨 （1）用待定系数法求出抛物线解析式即可 （2）分点 E 在直线 CD 上方的抛物线上和点 E 在直线 CD 下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解 即可； （3）分CM 为菱形的边和CM 为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算 满分解答 （3）CM 为菱形的边，如图 2，在第一象限内取点 P，过点 P作 PNy 轴，交 BC 于 N，过点 P作 PMBC，交 y 轴于 M，四边形 CMPN是平行四边形，四 边形 CMPN是菱形， PM=PN， 过点 P作 PQy 轴， 垂足为 Q， OC=OB， BOC=90 ， OCB=45 ， PMC
6、=45，设点 P（m，） ，在 RtPMQ中，PQ=m，PM=m，B（4，0） ，C （ 0 ， 4 ） ， 直 线 BC 的 解 析 式 为 y= x+4 ， PN y 轴 ， N （ m ， m+4 ） ， PN=，m=0（舍）或 m=，菱 形 CMPN的边长为=学*科网 CM 为菱形的对角线，如图 3，在第一象限内抛物线上取点 P，过点 P 作 PMBC，交 y 轴于点 M，连接 CP，过点 M 作 MNCP，交 BC 于 N，四边形 CPMN 是平行四边形，连接 PN 交 CM 于点 Q，四边形 CPMN 是菱形，PQCM，PCQ=NCQ，OCB=45 ，NCQ=45 ，PCQ=45
7、，CPQ= PCQ=45 ，PQ=CQ，设点 P（n，） ，CQ=n，OQ=n+2，n=0 （舍） ，此种情况不存在，菱形的边长为 考点：1二次函数综合题；2分类讨论；3压轴题 例 3 如图，已知点 A (2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线 2 ymx2mx n上. （1）求 m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，若四边形 A ABB 为菱形， 求平移后抛物线的表达式； （3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AB 的交点为 C，试在 x 轴上找一个点 D，使得以点 B、C、D 为顶 点的三角形与ABC 相似. 思路点拨 （1）已知了抛物
8、线图象上 A、B 两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得 m、n 的值； （2） 根据A、 B的坐标， 易求得AB的长； 根据平移的性质知： 四边形A ABB 一定为平行四边形， 若四边形 A ABB 为菱形，那么必须满足 AB=BB，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛 物线解析式； （3）易求得直线 AB的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到 C 点的坐标，进而可求 出 AB、BC、AC、BC 的长，在（2）题中已经证得 AB=BB，那么BAC=BBC，即 A、B对应，若以 点 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 相似，可分两种情况考虑：BCD=
9、ABC，此时BCDABC， BDC=ABC，此时BDCABC，根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求 得不同的 BD 长，进而可求得 D 点的坐标 满分解答 （3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4， A（2，4） ，B（6，0） ，直线 AB： 1 yx3 2 . 当 x=4 时，y=1，故 C（4，1）. AC=3 5，BC=5，BC=10. 由（2）知：AB=BB=5，即BAC=BBC. 若以点 B、C、D 为顶点的三角形与ABC 相似，则： BCD=ABC，则BCDABC，可得： BCBD ABAC ，即 5BD 53 5 ，BD=3，此时 D（3，0） ； B
10、DC=ABC，则BDCABC，可得： BCB D ACAB 即 5B D 53 5 ， 5 BD 3 ，此时 D（ 5 3 ，0）. 综上所述，存在符合条件的 D 点，且坐标为：D（3，0）或（ 5 3 ，0） 学科#网 考点：1.二次函数综合题；2.平移问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理；5. 菱形的性质；6. 等腰三角形的性质；7.相似三角形的判定和性质；8.分类思想的应用 例 4 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与 轴交于 O 点、A 点，B 为抛物线上一点， C 为 y 轴上一点，连接 BC，且 BC/OA，已知点 O（0，0） ，A（6，0） ，B（3，m） ，A
11、B=. （1）求 B 点坐标及抛物线的解析式.， （2）M 是 CB 上一点，过点 M 作 y 轴的平行线交抛物线于点 E，求 DE 的最大值； （3）坐标平面内是否存在一点 F，使得以 C、B、D、F 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的 点 F 坐标；若不存在，请说明理由. 思路点拨 （1）运用勾股定理求出 m 的值，根据题意得点 B 为抛物线的顶点，设设抛物线为，即可 求解； （2）可求，设 E，则 D（，故 DE，从而可得结果； （3）设 F，根据菱形的判定分三种情况进行讨论计算即可得解. 满分解答 （1）如图，过点 B 作 BGOA 于 G， （2）可求，设 E，则 D（，
12、DE， 当 x= ，DE 最大= . （3）设 F， 当 CD 为菱形对角线时， 来源:Z。xx。k.Com FDBC， 学%科网 解得（舍去） ，. 当 BD 为菱形对角线时， ，（舍去） 当 BC 为菱形对角线时，D、F 均在 BC 的垂直平分线上，且 FP=PD， 则，则 D（，则 PD=3，则，。 综上所述，满足条件的 F 点共 3 个：，。 例 5 如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其对称轴交抛物线于点 D，交 x 轴于点 E，已知 OB=OC=6 （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标； （2）连接 BD，F 为抛物线上一动点，
13、当FAB=EDB 时，求点 F 的坐标； （3）平行于 x 轴的直线交抛物线于 M、N 两点，以线段 MN 为对角线作菱形 MPNQ，当点 P 在 x 轴上，且 PQ= MN 时，求菱形对角线 MN 的长 思路点拨 （1） 利用待定系数法，列方程求二次函数解析式 .(2)利用解析法，FAB=EDB， tanFAG=tanBDE，求出 F 点坐标. (3)分类讨论，当 MN 在 x 轴上方时，在 x 轴下方时分别计算 MN. 详解：学科 m n （2） 4162 4 33 yx （3） （2，2） B A O 1 1 x y 【解析】解： （1）根据题意，得： 444, 20; mmn mmn
14、2 分 解之 4 , 3 4; m n 3 分 （2）四边形AA B B 为菱形，学科#网 则 A A=BB= AB=5； 4 分 48 2 4 33 yxx = 2 416 1 33 x； 5 分 向右平移 5 个单位的抛物线解析式为 4162 4 33 yx ； 7 分来源:学,科,网 （1）本题需先根据题意把 A （-2，4）和点 B （1，0）代入抛物线 y=mx2+2mx+n 中，解出 m、n 的值即 可 （2）本题需先根据四边形 AABB 为菱形得出 y 的解析式，再把解析式向右平移 5 个单位即可得到平移后 抛物线的表达式 （3）本题需根据平移与菱形的性质，得到 A、B的坐标，再
15、过点 A作 AHx 轴，得出 BH 和 AH 的值， 再设菱形 AABB 的中心点 M，作 MGx 轴，根据中位线性质得到 MG、BG 的值，最后求出点 M 的坐标 8如图 1，抛物线 2 21yaxax，其中(0)a ，点 A（-2，m）在该抛物线上，过点 A 作直线 lx 轴，与抛物线交于另一点 B，与 y 轴交于点 C. （1）求 m 的值. （2）当 a=2 时，求点 B 的坐标. （3）如图 2，以 OB 为对角线作菱形 OPBQ，顶点 P 在直线 l 上，顶点 Q 在 x 轴上. 若 PB=2AP，求 a 的值. 菱形 OPBQ 的面积的最小值是 . 【答案】 （1）当 x=-2
16、时，y=4a-4（a-1）=4（2）点 B 的坐标为（1,4） （3） 3 2 a 菱形的最小面积=16 【解析】 （1）把 x=-2 代入抛物线 2 21yaxax即可得到 y 的值； （2）先求出抛物线表达式，然后求 出 x 的解； （3）利用抛物线的对称轴即可求出点 B 的坐标和 a 的值以及菱形 OPBQ 的面积的最小值. 解： （1）当 x=-2 时， （2）当 a=2 时，抛物线表达式为 当 y=4 时， 解得 把-2 舍去，点 B 的坐标为（1,4） （3）当点 P 在线段 AB 上时，设 CP=x，则 AP=2+x,BP=OP=4+2x 在 RtOCP 中， 解得 CP=0，C
17、B=PB=4，点 B 的坐标是（4,4） “点睛”本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是由点 A 与点 B 关于 对称轴对称求出 a 的值，会运用方程的思想解决问题，属于中考常考题型 9如图，抛物线 C1：y= 4 9 （x+3）2与 x，y 轴分别相交于点 A，B，将抛物线 C1沿对称轴向上平移，记 平移后的抛物线为 C2，抛物线 C2的顶点是 D，与 y 轴交于点 C，射线 DC 与 x 轴相交于点 E， （1）求 A，B 点的坐标； （2）当 CE：CD=1：2 时，求此时抛物线 C2的顶点坐标； （3）若四边形 ABCD 是菱形 此时抛物线 C2的解析式
18、； 点 F 在抛物线 C2的对称轴上，且点 F 在第三象限，点 M 在抛物线 C2上，点 P 是坐标平面内一点，是否 存在以 A，F，P，M 为顶点的四边形与菱形 ABCD 相似，并且这个菱形以 A 为顶点的角是钝角，若存在求 出点 F 的坐标，若不存在请说明理由 【答案】 （1）A（3，0） ，B（0，4） ； （2） （3，2） （3，6） （3） 2 4 (3)5 9 yx 1 55 6 (3,) 2 F ， 2 25 (3,) 4 F， 3 5 (3,) 2 F学%科网 【解析】 试题分析： （1）利用坐标轴上点的特点，确定出点 A，B 的坐标； （2）根据锐角三角函数的意义，和抛物线
19、的平移，得到比例式，求出即可； （3）由点的移动情况判断出抛物线的移动情况； 设出点的坐标，M（3+3a，4a） ，表示出 F（3，5a） 根据点在抛物线上，求出 a，从而得到 F 的坐标 （2）由（1）得：OA=3，OB=4， tanOBA= 3 4 OA OB 来源:学 （2）m=3;不存在这样的点 P,理由见解析. 【解析】试题分析： （1）根据抛物线的顶点坐标及函数经过点（0，1） ，利用待定系数法求解即可 （2）先写出平移后的函数解析式，然后得出 A、B、C 三点的坐标，过点 A 作 AHBC 于 H，根据ABC 为等边三角形，可得出关于 m 的方程，解出即可； 求出点 D 坐标，分
20、两种情况进行讨论，PD 为对角线，PD 为边，根据菱形的性质求解即可 试题解析： （1）由题意可得， 0, 1, 2 1. abc b a c 解得 1, 2, 1. a b c 抛物线对应的函数的解析式为 2 21yxx （2） 将 2 21yxx向下平移m个单位得： 2 21yxx-m= 2 1xm， 可知A(1， -m)， B(1- m， 0)，C(1+ m，0)，BC=2m 由ABC 为等边三角形，得 3 2 2 mm，由 m0，解得 m=3 不存在这样的点 P 点 D 与点 A 关于 x 轴对称，D（1，3） 由得 BC=2 3 要使四边形 CBDP 为菱形，需 DPBC，DP=BC
21、 由题意，知点 P 的横坐标为 1+2 3， 当 x=1+2 3时，学科#网 2 21yxx-m= 2 22xx = 2 1 2 32 1 2 3293， 故不存在这样的点 P 点睛：本题属于二次函数的综合题，属于综合性较强的题目，应理清思路，对每一个知识点都应熟练掌握 并能灵活运用，求出二次函数的解析式是解此题的关键，应熟练掌握三点式和顶点式求抛物线解析式的方 法，二次函数的平移通常指的是图象的平移，应注意总结平移的规律. 20如图，已知点 A (0，4) 和点 B (3，0)都在抛物线上 （1）求 、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 D，点 B 的对应点为 C，若
22、四边形 A BCD 为菱形， 求平移后抛物线的表达式； （3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AC 的交点为点 E，试在 轴上找点 F，使得以点 C、E、F 为顶点的三 角形与 ABE 相似。 【答案】(1)（2）y=(x-4)2+(3) (3,0)，(4,0) 【解析】 (1)由 -1 分，得-2 分 (2) 四边形 ABCD 为菱形,AB=5 AD=5-1 分 y=m(x+1-5)2+n-m =(x-4)2+-2 分 （1）已知了抛物线图象上 A、B 两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得 m、n 的值 （2）根据 A、B 的坐标，易求得 AB 的长；根据平移的性质知：四边形一定为平行四边形，若四边形为菱 形，那么必须满足 AB=AD，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线 解析式 （3）易求得直线 AC 的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到 E 点的坐标，进而可求 EC、AE 的长； 所以以点 C、E、F 为顶点的三角形与ABE 相似，可分两种情况考虑：，,根据 上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的 CF 长，进而可求得 F 点的坐标
