1、大學入學考試中心 109 學指定科目考試試題 學乙 作答注意事項 考試時間：80 分鐘 作答方式：選擇（填）題用 2B 鉛筆在答案卡上作答；正時，應以橡皮擦擦拭， 勿使用修正液（帶） 。 非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在答案卷上作答；正時，可以 使用修正液（帶） 。 未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨答案；或未使用黑色墨水的筆 書寫答案卷，致評閱人員無法辨認機器掃描後之答案者，其後果由考生自 承擔。 答案卷每人一張，得要求增補。 選填題作答明：選填題的題號是 A，B，C，而答案的格式每題可能同，考生 必須依各題的格式填答，且每一個號只能在一個格子畫記。請仔細 閱下面的子。 ：第 B 題的答
2、案格式是 ，而依題意計算出的答案是 8 3 ，則考生 必須分別在答案卡上的第 18 的 與第 19 的 畫記，如： ：第 C 題的答案格式是 ，而答案是 7 50 時，則考生必須分別在答案 卡的第 20 的 與第 21 的 畫記，如： 3 7 8 20 21 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 18 19 1 2 8 4 5 6 7 3 9 0 20 21 1 2 3 4 5 6 8 7 9 0 1 2 3 4 5 6 7 9 0 8 18 19 第 1 頁 109 年指考 共 7 頁 數 學 乙 - 1 - 第壹部第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占分：選擇題（單選題、多選
3、題及選填題共占 74 分）分） 一、單選題一、單選題（占占 18 分分） 說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項， 請畫記在答案卡之選擇（填）題答案區。各題答對者，得 6 分；答錯、 未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。 1. 矩陣 5 10 11 與下列哪一個矩陣相等？ (1) 10 51 (2) 10 51 (3) 15 01 (4) 10 51 (5) 10 51 2. 某畢業班由 8 位同學負責畢旅規劃，分成 A、B、C 三組，且三組分別由 3 人、 3 人、2 人組成。8 位同學每人都會被分配到其中一組，且甲、乙兩位同學一定 要在同
4、一組。這 8 位同學總共有幾種分組方式？ (1) 140 種 (2) 150 種 (3) 160 種 (4) 170 種 (5) 180 種 109 年指考 第 2 頁 數學乙 共 7 頁 - 2 - 3. 為了瞭解 IQ 和腦容量是否有關，一項小型研究利用核磁共振測量了 5 個人的腦 容量（以 10,000 像素為單位） ，連同他們的 IQ 列表如下： 已知上表中的X之平均值為94 X ，Y之平均值為97 Y ，腦容量X與 IQ Y 的相關係數為 , X Y r。根據上述表格，試判斷 , X Y r的值最可能是下列哪一個選項？ (1) , 1 X Y r (2) , 10.5 X Y r (
5、3) , 0 X Y r (4) , 00.5 X Y r (5) , 1 X Y r 二、多選題二、多選題（占（占 24 分分） 說明：第 4 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項畫記在答案卡之選擇（填）題答案區。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者， 得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。 4. 設)(xf為二次實係數多項式函數且( )0f x 沒有實根。試選出正確的選項。 (1) (0)0f (2) (1) (2)0ff (3) 若( ) 1
6、0f x 有 實 根 ， 則( )20f x 有 實 根 (4) 若( ) 10f x 有 重 根 ， 則 1 ( )0 2 f x 沒 有 實 根 (5) 若( ) 10f x 有 兩 相 異 實 根 ， 則 1 ( )0 2 f x 有 實 根 腦容量X 90 95 91 88 106 IQ Y 90 100 112 80 103 第 3 頁 109 年指考 共 7 頁 數 學 乙 - 3 - 5. 數列 12 ,a a中，其奇數項是一個公比為 1 3 的等比數列，而偶數項是一個公比為 1 2 的等比數列，且 12 3,2aa。試選出正確的選項。 (1) 4567 aaaa (2) 10
7、11 10 a a (3) lim0 n n a (4) 1 lim0 n n n a a (5) 100 1 9 n n a 6. 有一種在數線上移動一個棋子的遊戲，移動棋子的方式是以投擲一顆公正骰子 來決定，其規則如下： （一） 當所擲點數為 1 點時，棋子不移動。 （二） 當所擲點數為 3 或 5 點時，棋子向左（負向）移動該點數減 1單位。 （三） 當所擲點數為偶數時，棋子向右（正向）移動該點數的一半單位。 第一次擲骰子時，棋子以原點當起點。第二次開始，棋子以前一次棋子所在位置 為該次的起點。例如，投擲骰子二次，第一、二次分別擲出點數為5點、2點時， 該棋子先向左移動 4 單位至坐標4
8、，再向右移動 1 單位至坐標3。試選出正確 的選項。 (1) 投擲骰子一次，棋子與原點距離為 2 的機率為 1 2 (2) 投擲骰子一次，棋子的坐標之期望值為0 (3) 投擲骰子二次，棋子的坐標有可能為5 (4) 投擲骰子二次，在所擲兩次之點數和為奇數的情形下，棋子的坐標為正的機率為 4 9 (5) 投擲骰子三次，棋子在原點的機率為 3 1 6 109 年指考 第 4 頁 數學乙 共 7 頁 - 4 - 三、選填題三、選填題（占占 32 分分） 說明：1.第 A 至 D 題，將答案畫記在答案卡之選擇（填）題答案區所標示的列 號（716）。 2.每題完全答對給 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給
9、分。 A. 坐標平面上有一個多邊形區域（含邊界） ，如圖所示。若0k ，直線72xyk 與兩坐標軸圍成一個三角形區域，使得多邊形區域落在此三角形區域（含邊 界）內，則最小正實數k 7 8 。 B. 若隨機變數X的可能值為 1、2、3、4，其出現的機率()P Xk與 1 k 成正比，則 機率(3)P X 為 9 10 11 。 （化為最簡分數） O (4,0) (6,2) (1,6) (4,5) x (0,5) y 第 5 頁 109 年指考 共 7 頁 數 學 乙 - 5 - C. 一家公司僅有經理、秘書、業務三位成員，若只有秘書加薪10%，則全公司薪 資總支出增加3%；若只有業務加薪20%，
10、則全公司薪資總支出增加4%。如果 只有經理減薪15%，那麼全公司薪資總支出將減少 12 . 13 %。 D. 坐標平面上有一梯形，四個頂點分別為(0,0),(1,0),ABP Q，其中過,P Q兩點的直 線方程式為24yx，下圖為示意圖。若Q點的坐標為( ,24)aa，其中實數0a， 則梯形ABPQ的面積為 14 15 a+16 。（化為最簡分數） 以下是第貳部分的非選擇題，必須在答案卷面 作答 P Q x B(1,0) A(0,0) 109 年指考 第 6 頁 數學乙 共 7 頁 - 6 - 第貳部分：非選擇題（第貳部分：非選擇題（占占 26 分）分） 說明：本部分共有二大題，答案必須寫在
11、答案卷 上，並於題號欄標明大題號 （一、 二）與子題號（(1)、(2)、） ，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣 分甚至零分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。若因 字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因，致評閱人員無法清楚辨識，其後果由考生 自行承擔。每一子題配分標於題末。 一. 傳染病在發生初期時，由於大部分人未感染且無抗體，所以總感染人數大都以 指數形式成長。在初始感染人數為 0 P，且每位已感染者平均一天會傳染給r位 未感染者的前提下，n天後感染到此疾病的總人數 n P可以表示為 0(1 )n n PPr，其中 0 1P 且0r 。 試回答下列問題： (1) 已知
12、52 loglog 3 PP A ， 86 loglog 2 PP B ，試說明AB。 （4 分） (2) 已知某傳染病初期符合上述數學模型且每隔16天總感染人數會增加為10倍， 試求 2085 1762 PPP PPP 的值。 （5 分） (3) 承(2)，試求 2017 loglog 3 PP 的值。 （4 分） 背背 面面 還還 有 試 題有 試 題 第 7 頁 109 年指考 共 7 頁 數 學 乙 - 7 - 二. 在坐標平面上，兩平行直線 12 ,L L的斜率都是 2 且距離為 5，又點(2, 1)A是 1 L在 第四象限的一點，點B是 2 L在第二象限的一點且5AB 。已知直線 3 L的斜率為3， 通過點A且交 2 L於點C，試回答下列問題： (1) 試求直線AB的斜率。 （2 分） (2) 試求向量 AB。 （4 分） (3) 試求內積 AB AC的值。 （3 分） (4) 試求向量 AC。 （4 分）
