1、 1 肥东高级中学 2017-2018学年 下学期第二学段考试 高一数学 第 I 卷（选择题 60分 ） 一、选择题 （本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1.在 ABC? 中，若 cos cosAabB ? ，则 ABC? 的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 2.在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc， 1s in 2 s in , c o s 3a B C C?， ABC? 的面积为 4，则 c 等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.在 ABC中，已知 2b? ， 3a? ，
2、cos A ，则 sin B等于（ ） A. 813 B. 913 C. 1013 D. 1113 4.在 ABC? 中， ,abc 分别是 ,A B C? ? ? 所对应的边， 90C? ? ? ，则 abc? 的取值范围是（ ） A. 1,2（ ） B. ? ?1, 2 C. ?1, 2? D. 1, 2? 5.下列命题中，错误的是（ ） A. 在 ABC? 中， AB? 则 sin sinAB? ； B. 在锐角 ABC? 中，不等式 sin cosAB? 恒成立； C. 在 ABC? 中，若 cos cosa A b B? ，则 ABC? 必是等腰直角三角形； D. 在 ABC? 中，
3、若 60B?， 2b ac? ，则 ABC? 必是等边三角形 6.数列 ?na 满足 111, 2 1,nna a a? ? ?则 1000a ? （ ） A. 1 B. 1999 C. 1000 D. 1 7.已知数列 ?na 是等差数列，若 2 2a? ， 3 4a? ，则 5a 等于（ ） A. 8 B. 8? C. 16 D. 16? 8.等比数列 ?na 中， 4 4a? ，则 26aa? 等于（ ） 2 A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 9.在等差数列 ?na 前 n 项和为 nS ，若 481, 4SS?，则 17 18 19 20a a a a? ? ?的值为（ ）
4、A. 9 B. 12 C. 16 D. 17 10.一个等比数列的前 n 项和为 45，前 2n 项和为 60，则前 3n 项和为（ ） A. 65 B. 73 C. 85 D. 108 11.? ? ?2 1 3 0x y x y? ? ? ? ?表示的平面区域为 ( ) A. B. C. D. 12.若 ,xy满足约束条件 0 4 0 30yxyxy? ? ?，则 2z x y?的最大值是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 0 第 II 卷（非选择题 90分） 二、填空题 （本题有 4 小题，每小题 5分，共 20 分。） 13.在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,a
5、bc， 1a? ， 3B ? ，当 ABC? 的面积等于 3 时， tanC? _ 14.在等差数列 中，公差 ，且 成等比数列，则 的值为 _ 15.已知 ，则 _ 16.已知 0a? ， 0b? ， 182+1ab?，则 2ab? 的最小值为 _ 三、解答题 （本题有 6 小题，共 70分。） 17. （本题共 12 分） 在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别 为 ,abc，且 3cos sinabAB? . （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 23a? ， 4B ? ，求 b . 18. （本题共 12 分） 已知函数 ? ? 3s in 232f x x ? ? ? 3 （
6、 ）当 0,3x ?时 ，求 ?fx的值域； （ ）已知 ABC? 的内角 ,ABC 的对边 ,abc，若 3 , 4, 522Af a b c? ? ? ? ?，求 ABC?的面积 19. （本题共 12 分） 已知等差数列 ?na 的前 n 项 和为 nS ，且 2 153, 225aS?. （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设 22nanbn?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 20. （本题共 12分） 已知数列 ?na 的前 n项和为 *111, , 2 1 ( 2 , 02n n nS a S S n n N? ? ? ? ?（ 1）求数列 ?na 的通项公式；
7、 （ 2）记 ? ?12lo g *nnb a n N?，求11nnbb?的前 n 项和 .nT 21. （本题共 12 分） 漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体 .该博物馆需要支付的 总费用由两部分组成： 罩内该种液体的体积比保护罩的容积少 0.5立方米，且每立方米液体费用 500元； 需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为 2立方米时，支付的保险费用为4000元 . （ ）求该博物馆支付总费用 y 与保护罩容积 x 之间的函数关系式； （ ）求该博物馆支付总费用的最小值 . 22. （本题共 10 分） 已
8、知函数 ? ? 2 5f x x x a? ? ? （ 1）当 4a? 时，求不等式 ? ? 2fx? 的解集； （ 2）对任意 xR? ，若 ? ? 2fx? 恒成立，求实数 a 的取值范围 4 参 考 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D A C C A D B A A C A 1.D 【解析】 由正弦定理有： s i n s i n s i n 2 s i n 2c o s c o sAB ABBA? ? ? ， 则： 22AB? 或 22AB? ， 即 ABC? 的形状是等腰三角形或直角三角形 . 本题选择 D选项 . 2.D 【解析】 因为 2asinB
9、 sinC? ， 所以由正弦定理可得 2ab c? ， 由 1cos 3C? 得223sinC? ，则 12 423S absinC c? ? ?，得 6c? ， 故选 D. 3.A 【解析】 25 1 2c o s , s i n 1 c o s 2 31 3 1 3A A A b a? ? ? ? ? ? ? ?， ， ， 由正弦定理可得 s i n 2 1 2 8s i n .3 1 3 1 3bAB a? ? ? ? 本题选择 A选项 . 4.C 【解析】 由正弦定理得： sin sin sina b cA B C?，又 sinC=1， a=csinA ， b=csinB， 所以 si
10、n sina b c A c Bcc? ,由 A+B=90 ，得到 sinB=cosA， 则 s i n s i n s i n s i n s i n c o s 2 s i n4c A c B A B A A Ac ? ? ? ? ? ? ? C=90 ， A (0,90 ), 2 ,142sin A ? ? ? ? ?， ?1, 2abc? ? ? . 本题选择 C选项 . 5.C 5 【解析】 考查 C选项：在 ABC中 , acosA=bcosB,利用正弦定理可得： sinAcosA=sinBcosB, sin2A=sin2B, A,B (0, ), 2A=2B或 2A=2 ?2B,
11、 A=B或 2AB? ，因此 ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题 . 本题选择 C选项 . 6.A 【解析】 6. 1 21nnaa? ? ? ?1 1 1 0 0 0 1 0 0 01 2 1 , 1 0 1 0 , 1nna a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 选A. 7.D 【解析】 设等差数列 an的公差为 d, a2=2,a3=?4， a1+d=2,a1+2d=?4,解得 d=?6,a1=8. 则 a5=8?64= ?16. 本题选择 D选项 . 8.B 【解析】 由等比数列的性质得 a2 a6=a42=16. 本题选择 B选项 . 9.A 【解析】
12、481, 4SS?， 114 6 1 8 28 4ad?得 ： 18d? ， 1 7 1 8 1 9 2 0 1 14 3 0 4 6 6 4 1 8 9a a a a a d a d d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故选 A. 10.A 【解析】 由等比数列的性质得： Sn,S2n?Sn,S3n?S2n成等比数列， 等比数列的前 n项和为 45，前 2n项和为 60， 45,60 ?45,S3n?60 成等比数列， (60 ?15)2=45(S3n?60)， 解得 S3n=65.本题选择 A选项 . 6 11.C 【解析】 不等式组即： 2 1 0 30xyxy? ? ? ?
13、 ?或 2 1 0 30xyxy? ? ? ? ?， 据此可得，不等式组表示的平面区域如选项 C所示 . 本题选择 C选项 . 12.A 【解析】 绘制不等式组表示的可行域，观察可得目标函数在点 ? ?4,0B 处取得最大值28z x y? ? ? . 本题选择 A选项 . 13. 23? 【解析】 由题意 1 sin 323ac ? ? ，即 3 344 cc? ? ?，则11 1 6 2 1 4 1 32b ? ? ? ? ? ? ?，所以由余弦定理 1 1 3 1 6 1c o s 2 1 1 3 1 3C ? ? ? ，所以1 1 2sin 1 1 3 1 3C ? ? ?，所以 ?
14、?23ta n 1 3 2 313C ? ? ? ? ?，应填答案 23? 。 14.3； 【解析】 由题意可得： ，即： 整理可得： . 15. 7 【解析】 因为 所以 【解析】 由题意可得： ? ?211 1 8211 16 110211 16 110 2219,ababababbaabba? ? ? ? ? ? ? ? ?16.8 则 2ab? 的最小值为 9 1 8? . 当且仅当 3,52ab?时等号成立 . 17.(1) 3? ;(2) 22. 【解析】 （ 1）由正弦定理可得， sin 3sincos sinAB? ， 所以 tanA 因为 A为三角形的内角，所以 A . （
15、2） a 2 ， A ， B ， 由正弦定理得， b 2 18.（ ） 0, 3?；（ ） 334ABCS ?. 【解析】 （ ） 0,3x ? 2,3 3 3x ? ? ? ? ?8 33s in 2 ,3 2 2x ? ? ? ? ?， 得 ? ? 3s in 2 0 , 332f x x ? ? ? ? ? ?（ ） 33s in2 3 2 2AfA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， sin 03A ? ? ?0,A ? 3A ? 4, 5a b c? ? ? 由余弦定理得 3bc? 334ABCS ?19.（ ） 21nan?（ ） 212 22433nnnT b
16、b b n n? ? ? ? ? ? ? ? ? 【解析】本试题主要是考查了等差数 列的前 n项和的求解和通项公式的运用。 （ 1）设数列 ?na 的公差为 d，依题意得： 113, 1 5 1 41 5 2 2 5 ,2adad?解得 1 1, 2,ad? 得到通项公式。 （ 2）由（ ）得 1 422 nnbn? ? ?，然后利用分组求和得到结论。 （ ）设数列 ?na 的公差为 d，依题意得： 113, 1 5 1 41 5 2 2 5 ,2adad?解得 11, 2,ad? 数列 ?na 的 通 项 公 式21nan? 4 分 （ ）由（ ）得 1 422 nnbn? ? ?， ? ?
17、 ? ?212 1 4 4 4 2 1 22 nnnT b b b n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6分 9 1 224 4 2 246 3 3n nn n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? 12分 20.（ 1） 12n na? ?*nN? ;（ 2） 1nn? 【解析】 （ 1）当 2n? 时，由 121nnSS?及1 12a?，得 21SS?，即 1 2 12 2 1a a a? ? ? ，解得2 14a? 又由 121nnSS?， 可知 121nnSS? ?， - 得 12 nnaa? ? ，即 ? ?1 1 22nna a n? ?且 1n? 时， 2112
18、aa? 适合上式， 因此数列 ?na 是以 12 为首项，公比为 12 的 等比数列，故 12n na? ?*nN? （ 2）由（ 1）及12lognnba? ?*nN? ，可知12 1log 2nnbn?， 所以 ? ?11 1 1 111nnb b n n n n? ? ? ?， 故2 2 3 11 1 1nn n nT b b b b b b ? ? ? ? ?1 1 1 1 112 2 3 1nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 11nnn? 21.（ ） 80005 0 0 2 5 0yx x? ? ? （ ）博物馆支付总费用的最小值为 3750元 【
