1、 黄山市黄山市 2017201720182018 学年度第一学期期末质量检测学年度第一学期期末质量检测 高一数学试题高一数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. . 请在答题卷的相应区域答题请在答题卷的相应区域答题 . .） 1. 已知集合，若，则的值为 A. 4 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】试题分析：可知，或，所以故选 A 考点：交集的应用 2. 已知 角终边经过点，则的值分别为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，所以，选 C. 3. 若向量，则下列结论正确的是 A. B
2、. C. D. 【答案】D 【解析】，所以，所以，选 D. 4. 下列选项中，与最接近的数是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，该值接近，选 C. 5. 如图，向量 ， ，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底 ， 表示 为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题设有，所以，选 C. 6. 设全集, ,则图中阴影部分表示的集合为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，阴影部分表示的集合为，选 B. 7. 已知六边形是边长为 1 的正六边形，则的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，选 D. 8. 函数的图象的横坐标和纵坐标同时扩大为原来
3、的 3 倍，再将图象向右平移 3 个单 位长度，所得图象的函数解析式为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函数的图像的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的 3 倍，所得图像的解析式 为，再向右平移 3 个单位长度，所得图像的解析式为，选 D. 9. 设函数，且在上单调递增，则的大小关系为 A . B. C. D.不能确定 【答案】B 点睛：题设中的函数为偶函数，故根据其在上为增函数判断出，从而得到另一侧 的单调性和，故可以判断出. 10. 在直角梯形中, , , ,动点 从点 出发，由 沿边运动（如图所示）, 在上的射影为 ，设点 运动的路程为 ,的 面积为 ，则的图象大致是 A. B.
4、C. D. 【答案】D 【解析】根据题意可得到 ，由二次函数和一次 函数的图象可知的图象只能是 D，故选 D. 【方法点睛】本题主要考查阅读能力、分段函数的解析式，属于难题. 与实际应用相结合的 题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类 问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能转化为数学模型进行解答. 理解 本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏. 11. 已知函数在内是减函数，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设有为减函数，且，恒成立，所以 ，解得，选 B. 12. 形如的函数因
5、其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生 动地称为“囧函数”.若函数 且有最小值， 则当时的“囧 函数”与函数的图象交点个数为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】当时，而有最小值，故.令 ，其图像如图所示： 共 4 个不同的交点，选 C. 点睛：考虑函数图像的交点的个数，关键在于函数图像的正确刻画，注意利用函数的奇偶性 来简化图像的刻画过程. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 请在答题卷的相应区域答题请在答题卷的相应区域答题 . .） 13. 已知函数，则的值为_. 【答案】
6、【解析】，填 . 14. 在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则 下一步可以断定该根所在区间为_. 【答案】 【解析】令，故下一 步可以断定根所在区间为，填. 15. 已知，点 在线段的延长线上，且，则点 的坐标是 _. 【答案】 【解析】因为 在的延长线上，故共线反向，故，设，则 ，解得， 的坐标为，填. 点睛：注意根据条件确定两个向量是共线同向还是共线反向. 16. 给出以下四个结论： 若函数的定义域为，则函数的定义域是； 函数（其中，且）的图象过定点； 当时，幂函数的图象是一条直线； 若，则的取值范围是； 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是. 其中所有
7、正确结论的序号是_. 【答案】 【解析】 对于， 因为， 所以的定义域为， 令， 故 即的定义域为，故对；对于，当，图像恒过定点，故错； 对于，要求，故的图像是两条射线；对于，原不等式等价于，故 （无解） 或， 故， 故对； 对于， 实数应满足， 解得，故对，综上，正确结论的序号为. 点睛： （1）抽象函数的定义域是一个难点，一般地，如果已知的定义域为 ，的 定义域为 ，那么的定义域为；如果已知的定义域为 ，那么的 定义域可取为. （2）形如的复合函数，如果已知其在某区间上是单调函 数，我们不仅要考虑在给定区间上单调性，还要考虑到其在给定区间上总有 成立. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大
8、题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出必要的文字说明、解答过程或演算解答应写出必要的文字说明、解答过程或演算 步骤步骤. .请在答题卷的相应区域答题请在答题卷的相应区域答题 . .） 17. （1）化简：； （2）已知，求的值. 【答案】 （1）-1（2）-3 【解析】试题分析： （1）根号下是，开方后注意，而 ，从而所求值为. （2）利用诱导公式原式可以化简为 ，再分子分母同时除以，就可以得到一个关于的分式，代入其值就可以得到 所求值为. 解析： （1） . （2）. 18. 设向量，且与 不共线. （1）求证：； （2）若，求 的值. 【答案】 （1）见解析（2）或
9、. 【解析】试题分析： （1）利用坐标计算即可.（2）由模相等可以得到， 从而得到，结合 的范围有或. 解析： （1）由题意可得 . ,. . （2）因为向量与模相等，所以 ，.由于 ，解得，,所以或. 19. 设函数为常数，且的部分图象如图所示. （1）求函数的表达式； （2）求函数的单调减区间； （3）若，求的值. 【答案】 （1）（2）（3） 【解析】试题分析： （1）由图可以得到，故，而的图像过，故而 ，结合得到.（2）利用复合函数的单调性来求所给函数的单调减区 间， 可令， 解得函数的减区间为. （3） 由 得，而，所以. 解析： （1）根据图象得，又 ，所以. 又过点，所以 ，又，
10、所以得：. （2）由得：.即函数的单调减区间为 . （3）由，得，所以. . 20. 在区间 上，如果函数为增函数，而函数为减函数，则称函数为“弱增”函数. 试证明：函数在区间上为“弱增”函数. 【答案】见解析 【解析】试题分析：根据定义，只要证明函数在是单调减函数即可，这可以通 过单调减函数的定义去证明. 证明：设任意，且，由于 ， 所以在区间上，为增函数. 令，则有： . 由于，则且， 故. 故在区间上，函数为减函数. 由“弱增”函数的定 义可知，函数在区间上为“弱增”函数. 21. 已知，函数. （1）当时，证明是奇函数； （2）当时，求函数的单调区间； （3）当时，求函数在上的最小值.
11、 【答案】 （1）见解析（2）增区间为，减区间为（3）当时， ；当时， 解析： （1）若，则，其定义域是一切实数.且有，所 以是奇函数. （2）函数，因为，则函数在区间递减，在区间递 增 ，函数在区间递增.综上可知，函数的增区间为，减区 间为. （3）由得. 又函数在递增，在递减， 且，. 若，即时，； 若，即时，. 综上，当时，；当时，. 点睛：带有绝对值符号的函数，往往可以通过讨论代数式的正负去掉绝对值符号，从而把原 函数转化为分段函数，每一段上的函数都是熟悉的函数，讨论它们的单调性就可以得到原函 数的单调性. 22. 如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道 （
12、， 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口 是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记. （1）试将污水净化管道的总长度 (即的周长)表示为的函数，并求出定义域； （2）问当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度. （提示：.） 【答案】 （1），定义域为.（2）当或时所铺设的管 道最短，为米. 【解析】试题分析： （1）如图，因为都是直角三角形，故可以得到 ， 也就是， 其中. （2） 可变形为， 令后，则有，其中，故 取的最大值米. 解析： （1）. 由于，所以，故.管道的总长度 ，定义域为. (2) . 设，则，由于 ，所以. 因为在内单调递 减，于是当时， 取的最大值米. （此时或）. 答：当或时所铺设的管道最短，为米. 点睛：在三角变换中，注意之间有关系，如 ，三者中知道其中一个，必定可以求出 另外两个.
