1、 广州六中广州六中 20162016- -20172017 学年度上学期高一数学期末考试试题卷学年度上学期高一数学期末考试试题卷 一、选择题一、选择题 1. 已知，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意，所以故选 2. 若直线与圆相切，则 的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】试题分析：因为圆的圆心为，半径为，所以由直线 与圆 相切可得，圆心到该直线的距离为，解之得，故应 选 考点：1、直线与圆的位置关系 3. 函数的零点所在的区间（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， ， 零点定理知， 的零点在区间上 所以 选项是
2、正确的 4. 已知点的圆外，则直线与圆 的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 【答案】B 【解析】在圆外， ， 圆到直线的距离， 则直线与圆的位置关系是相交 故选 5. 当点 在圆上变动时， 它与定点相连， 线段的中点的轨迹方程是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 考点：1、中点坐标公式；2、相关点法求动点的轨迹方程 【方法点睛】动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点却随另一动点 的运动而有规律的运动， 且动点 的轨迹为给定或容易求得， 则可先将表示为的 式子，再代入 的轨迹方程，然而整理得 的轨迹方程，代入法也称相关点法一般地：定比 分点问
3、题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法 6. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题分析：，函数需向下平移 个单位，不过（0,1）点，所 以排除 A， 当时，所以排除 B， 当时，所以排除 C，故选 D. 考点：函数图象的平移. 视频 7. 已知圆锥的底面半径为 ，且它的侧面开展图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】半径为 的半径卷成一圆锥， 则圆锥的母线长为 ， 设圆锥的底面半径为 ， 则，即， 圆锥的高， 圆锥的体积， 所以 的选项是正确的 8. 已知在上的减函数，则实数 的取值范围是（ ） A
4、. B. C. D. 【答案】B 【解析】令， （ ）若，则函数，是减函数， 由题设知为增函数，需，故此时无解 （ ）若，则函数是增函数，则 为减函数， 需且，可解得 综上可得实数 的取值范围是 故选 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调， 则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性 外，还要注意衔接点的取值； （3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系， 而且要注意内外函数对应自变量取值范围. 9. 已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答
5、案】B 【解析】如图所示，原几何体为： 一个长宽高分别为 ， ， 的长方体砍去一个棱锥，底面为直角边分别为 ， 直角三角形，高 为 因此该几何体的体积 故选择 点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以 根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、 三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对 概念类的命题进行辨析 10. 已知 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，给出下列命题： 若，则； 若，且，则； 若，则； 若，且，则 其中正确命题的序号是（ ） A. B.
6、C. D. 【答案】C 【解析】当，时，则，等多种可能情况，所以不正确； 当，时，且时，或 ， 相交，所以不正确，故选 11. 定义在 的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且 ，且值（ ） A. 恒大于 B. 恒小于 C. 可正可负 D. 可能为 【答案】A 【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称， 当时，单调递增，所以当时单调递增，由， 可得，由可知， 结合函数对称性可知 选 A. 12. 已知偶函数的定义域为且，则函数 的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】令得， 作出和在上的函数图象如图所示， 由图像可知和在上有 个交点， 在上有 个零点， ，均是偶函数，
7、在定义域上共有个零点， 故选 点睛： 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、 草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称 性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分） 13. 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程 为_ 【答案】 【解析】 试题分析： 联立两条直线的方程解方程组， 求得交点的坐标为.直线 的斜率为 ，故所求直线的斜率为，根据点斜式可得所求直线的方程为.
8、试题解析：由方程组，得交点， 因为所求直线垂直于直线，故所求直线的斜率， 由点斜式得所求直线方程为，即. 点睛：本题主要考查两条直线的交点坐标的求法，考查直线的一般方程化为斜截式方程的方 法， 考查两条直线的位置关系中的垂直关系.要求两条直线的交点， 则需联立两条直线的方程， 利用代入消元法或者加减消元法求得交点的坐标.如果两条直线垂直，则它们斜率的乘积为 . 14. 若函数是幂函数，则函数（其中，）的图象过定点 的坐标为_ 【答案】 【解析】若函数是幂函数，则， 则函数（其中，） ， 令，计算得出：， 其图象过定点 的坐标为 【答案】 【解析】若任意，存在，使得成立， 只需， ，在该区间单调
9、递增，即， 又，在该区间单调递减，即， 则， 16. 如图，在四面体中，平面，是边长为 的等边三角形，若， 则四面体外接球的表面积为_ 【答案】 【解析】设的中心为 ， 作交的中垂线于 ， 为外接球的中心， 四面体外接球的表面积为： 点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为 平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解 (2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一 般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，总共
10、小题，总共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设集合， （ ）若，求 （ ）当，求实数 的取值集合 【答案】 （1）（2） 【解析】试题分析：易得 （1）由 ；（2） ， 然后利用分类讨论思想对、和 分三种情况进行讨论. 试题解析：集合 （1）若，则，则 （2）， 当，即时，成立； 当，即时， （i）当时，要使得， 只要解得，所以 的值不存在； （ii）当时，要使得， 只要解得 综上， 的取值集合是 考点：集合的基本运算. 18. 已知圆 经过，两点，且圆心 在直线上 （ ）求圆 的方程 （ ）过的直线 与圆 相交于，
11、且，求直线 的方程 【答案】 （1）（2） 【解析】试题分析： （1）先求 AB 中垂线方程，再与直线联立方程组解得圆心，根 据圆心到圆上点距离等于半径，最后写出圆标准方程（2）设直线点斜式方程，根据垂径定理 解得圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求斜率，得直线方程 试题解析： （ ）圆心 在直线上， 设圆 的圆心为，半径为 ， 又圆 过点，两点， ， 则圆 的方程为 （ ）设直线 的方程为，则， ， 圆心到直线的距离为， 则直线 的方程为 19. 如图所示，在直三棱柱中，点 是的 中点 （ ）求证：平面 （ ）求直线与平面所成角的正切值 【答案】 （1）见解析（2） 【解析】试题分析：
12、（1）根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论 （2）过 作于 ，再根据面面垂直得就是二面角的平面角最后根据 解三角形得直线与平面所成角的正切值 试题解析： （ ）解：证明：连接交于 点， 由已知四边形为矩形， 为的中点，又 为的中点， 连接，则， 而面，面， 面 （ ）解：依题设侧面， 则在侧面内过 作于 ， 连接，由面知， 就是二面角的平面角 在中， ，即二面角的正切值为 20. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网” 养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 （单位： 千克/年） 是养殖密度 （单 位：尾/立方米）的函数当 不超过
13、 尾/立方米时， 的值为 千克/年；当时， 是 的一次函数，且当时， （ ）当时，求 关于 的函数的表达式 （ ）当养殖密度 为多大时， 每立方米的鱼的年生长量 （单位： 千克/立方米） 可以达到最大？ 并求出最大值 【答案】 （1）（2）当养殖密度为尾/立方米时，鱼的年生长 量可以达到最大，最大值约为千克/立方米 【解析】试题分析： （1）根据题意分段求解析式，利用待定系数法求一次函数解析式，最后 按分段函数形式书写（2）按一次函数与二次函数性质分别求最大值，最后取两者最大值 试题解析： （ ）当时，；当时， 设，显然该函数的区间上是减函数， 由已知得，解得， 故函数 （ ）依题意并由（ ）
14、可得 ， 当时，为增函数，故； 当时， 所以，当时，的最大值为 当养殖密度为尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大， 最大值约为千克/立方米 21. 如图，在四棱锥中，是正方形，平面， ， ， 分 别是，的中点 （ ）求四棱锥的体积 （ ）求证：平面平面 （ ）在线段上确定一点，使平面，并给出证明 【答案】 （1） （2）见解析（3）当为线段的中点时，满足使平面 【解析】试题分析： （1）根据线面垂直确定高线，再根据锥体体积公式求体积（2）先寻找线 线平行，根据线面平行判定定理得线面平行，最后根据面面平行判定定理得结论（3）由题意 可得平面，即，取线段的中点，则有，而，根据线面垂 直判定定理得
15、平面 试题解析： （ ）解：平面， （ ）证明： ， 分别是，的中点 ， 由正方形， ， 又平面，平面， 同理可得：， 可得平面， 又， 平面平面 （ ）解：当为线段的中点时，满足使平面， 下面给出证明：取的中点，连接， ， 四点 ， ， ，四点共面，由平面， ， 又， 平面， ， 又为等腰三角形， 为斜边的中点， ， 又， 平面，即平面 点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条 件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组， 若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参 数
16、)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. 22. 定义在 上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则 称是 上的有界函数，其中称为函数的上界，已知函数 （）若是奇函数，求 的值 （）当时，求函数在上的值域，判断函数在上是否为有界函数，并 说明理由 （）若函数在上是以 为上界的函数，求实数 的取值范围 【答案】 （1）（2）是（3）或 【解析】 试题分析：（1） 根据奇函数定义得， 解得 的值 （2） 先分离得 再根据单调性求值域，最后根据值域判定是否成立（3）转化为不等式恒成 立，再分离变量得最值，最后根据最值求实数 的取值范围 试题解析：解： （ ）由是奇函数，则， 得，即， ， （ ）当时， ，满足 在上为有界函数 （ ）若函数在上是以 为上界的有界函数，则有在上恒成立 ， 即， ，化简得：， 即， 上面不等式组对一切都成立， 故， 或
