1、 黄冈市黄冈市 20172017 年秋季高一年级期末考试年秋季高一年级期末考试 数学试题数学试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1. 已知集合，则集合 的真子集个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】，所以真子集有 3 个。故选 D。 2. 已知幂函数，若在其定义域上为增函数，则 等于（ ） A. 1， B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】，解得。故选
2、C。 3. 如图，设全集，则图中阴影部分表示的集合 为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】阴影部分为， 所以，故选 D。 4. 已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图所示,设扇形OAB中,圆心角AOB=2,过 0 点作OCAB于点C, 延长OC，交弧AB于D点， 则AOD=BOD=1,AC=AB=1， 弧AB长. 故选：C. 5. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 的对称中心是 C. 是奇函数 D. 的对称轴是 【答案】B 【解析】定义域内不单调，且不具
3、有奇偶性，对称性，所以 A、C、D 错误； 对称中心：，得，所以 B 正确； 故选 B。 6. 向一杯子中匀速注水时， 杯中水面高度 随时间 变化的函数的大致图像如图所示， 则 杯子的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是运算增长，所以只有 A 满足。 故选 A。 7. 已知非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】依题意，由得 BC 垂直于 BC 边上中学为等腰三角形，AB， AB 为腰，再由得.所以为等边三角形，选 D. 8.
4、若， 定义在 上的奇函数满足:对任意的且 都有，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意，在 上单调递减， 又，所以， 所以，故选 B。 9. 要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 【答案】A 【解析】左移 个单位，得到，再右移个单位，得到， 所以总的是左移 个单位，故选 A。 10. 已知 是三角形内部一点， 且， 则的面积与的面积之比 为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 由题意， 是的重心，所以的面积与的面积之比为 。故选 A。 点
5、睛：本题考查平面向量的应用。由重心的结论：若，则 是的重心， 本题中构造， 是的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值。 11. 已知函数，若当时，恒成立，则实数 的取值范 围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】是奇函数，单调递增，所以，得， 所以，所以，故选 D。 点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性应用。本题中，结合函数的奇偶性和单调性的特点， 转化得到，分参，结合恒成立的特点，得到，求出参数范围。 12. 函数的定义域为 ， 若满足:在 内是单调函数； 存在区间， 使在区间上 的值域为，那么就称函数为“减半函数”，若函数是“减半函 数”，则 的取值范围为（ ） A.
6、B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意，是单调递增的， 所以，即有两个不同的实根，则，令， 则在有两个实根，则。 故选 D。 点睛：本题考查函数单调性的应用，已知零点个数求参数题型。首先考查复合函数的单调性， 复合函数具有“同增异减”的性质，所以本题函数为增函数，转化得到有两个 不同的实根，通过换元、分参，求出参数范围。 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 在平面直角坐标系中，角 的终边经过点，则_ 【答案】 【解析】 14. 已知函数，则_ 【答案】4 【解
7、析】 15. 已知函数的图像关于点对称， 且在区间上是单调函数， 则 的值为_ 【答案】 【解析】函数的图象关于点对称，故 ， 在区间上是单调函数，故得到： 两者取交集得到 的值为 。 故答案为： 。 点睛：点睛：这个题目考查了三角函数的图像和性质；这种题目一般应用图像的对称性，轴对称性 和点对称性，再就是单调性，由单调性就可以得到周期的大概范围，解决这类题目还要注意 结合函数的图像的整体性质。 16. 若定义在 上的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得 对任意实数 都成立，则称是一个“特征函数”则下列结论中正确命题序号为 _ 是常数函数中唯一的“特征函数”； 不是“特征函数”； “特征函
8、数”至少有一个零点； 是一个“特征函数” 【答案】 【解析】当时，任何常函数都是“特征函数”，所以错误； 对任意的 不能恒成立， 不是“特征 函数”，所以正确； 成立，则与异号，由又函数是连续的，所以在至少存在一 个零点，所以正确； ，则 满足时，对任意 恒成立满足，所以正 确。 所以正确的是。 点睛：本题考查函数性质的应用。本题中需要学生理解“特征函数”的定义，并能在选项 的判断中利用定义进行判断，对学生的数学能力要求极高，并在判断过程中能够联系学过的 函数性质，加以应用。 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解解答应写出文字说明、证明过
9、程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 已知平面上三个向量，其中 （1）若且，求 的坐标； （2）若，且，求 与 的夹角 的余弦值 【答案】 （1）c c =(3，6)或（-3，-6） ； （2） . 【解析】 试题分析： （1） 根据， 设， 利用 列方程求出 的值即可； （2） 由 可求出，结合，根据数量积为 ，求出的值,再求 与 夹角 的 余弦值. 试题解析： （1）因为，所以设， ，所以 =(3,6)或（-3， -6） （2）因为，所以 ， 所以，所以. 18. （1）计算的值； （2）已知，求和的值 【答案】 （1）； （2） . 【解析】试题分析： （1）
10、利用公式计算； （2）利用齐次的弦化切技巧计算。 试题解析： (1)(1)原式=2+= = = = = - - （2 2）， . . 19. 若函数，的部分图像如下图所示 （1）求函数的解析式及其对称中心； （2）若将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数的图 像，求函数在区间上的单调区间 【答案】 （1）， 对称中心为； （2） 增区间： 减区间：. 【解析】试题分析： （1）观察图象，利用周期、最值、特殊点，求得，并求 对称中心； （2）将图象进行变换，得到，利用整体思想求值域。 试题解析： （1）由图得， ，解得，于是由T=，得 ，即， ，kZ，即，kZ， 又
11、，所以，即 (2) 由已知条件得， 20. “菊花”型烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂通过 研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度 （单位：米）与时间 （单位：秒）存在函数关系， 并得到相关数据如下表： （1） 根据表中数据， 从下列函数中选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度 与时间 的 变化关系：，先简单说明选取的理由，再确定此函数解析 式； （2）利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求此时烟花距地面的高度 【答案】 （1）； （2）烟花冲出后是爆裂的最佳时刻，此时距地面高度 为 25 米. 【解析】试题分析： （1）由表中数据分析可知，烟花距地面的高
12、度随时间的变化呈先上升再 下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有 y2可能满足，设 h（t）=at 2+bt+c，利用待定系数 法将表格所提供的三组数据代入，列方程组求出函数解析式； （2）由二次函数的图象与性质，求出即可 试题解析： （1）由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给 定的三类函数中，只有可能满足，故选取该函数 设，有解得 所以 （2），得烟花冲出后是爆裂的最佳时刻，此时距地面高度为 25 米 21. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数上是减函数，在上 是增函数 （1）用函数单调性定义来证明上的单调性； （2）已知，求函数的值域； （3）
13、对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得 成立，求实数 的值 【答案】 （1）见解析； （2）； （3）. 【解析】试题分析： （1）利用单调性的定义证明单调递减； （2）构造函数得 ，换元求得值域为； （3）由（2）知的值域为 ，的值域是的值域的子集，所以. 试题解析： （1）证明：设-=-= -， 故函数 （2）， 设 则 则， 由已知性质得， 当，即时， 单调递减；所以减区间为； 当，即时， 单调递增；所以增区间为； ，得的值域为 （3）由（2）知的值域为， 又为减函数，故 由题意知， 的值域是的值域的子集， 点睛：本题考查对勾函数的性质及函数性质的应用。函数任意型和存在型成立问
14、题中，学会 最值的处理。本题中任意和存在都有，则通过分析，得到的值域是的值域的子集，通 过集合包含关系解题。 22. 已知为奇函数，为偶函数，且 （1）求及的解析式及定义域； （2）若关于 的不等式恒成立，求实数 的取值范围 （3） 如果函数， 若函数有两个零点， 求实数 的取值范围 【答案】 （1）见解析； （2）； （3）. 【解析】 试题分析： （1），； （2） 恒成立， 则， 利用换元， 解得；（3） 要使 有两个零点，即使得有一个零点，即 ，所以 试题解析： （1）因为是奇函数，是偶函数， 所以， ， 令 取代入上式得， 即， 联立可得， （2）因为，所以， 设，则 ，因为的定义域为， ， 所以， 即， ， 因为关于 的不等式恒成立，则，故 的取值范 围为. (3) 要使有两个零点， 即使得有一个零点， （t=0 时x=0，y只有一个零点） 即
