1、2021 年北京大学强基计划笔试数学试题本试卷共 20 题, 每一道题均为单选题, 下为回忆版, 部分题目条件可能与实际考试有 所出入, 仅供参考.1. 已知 为 的外心, 、 与 的外接圆交于 、. 若 , 则 答案: 解:如图，所示, 联结 .因为 , 在 外接圆中, , 进而可得 .另外在 中, .以及 .即 .即 为直角三角形, 且 为直角边, 为第二个圆的直径.所以 .2. 方程 的正整数解 的组数为答案: 无穷解: 考虑到 , 取 即可.例如取 .此时 .3. 若实数 满足 , 则 的最小值为答案: 2解：因式分解可得 .根据柯西不等式可得 , 即 .同样地, , 即 .因此 .等
2、号成立条件为 , 其中 .4. 已知 , 则 的个位数字是答案: 5解: 由 , 可知 模 7 是三循环的, 其中 .结合 (其中 ), 可知5. 若平面上有 100 条二次曲线, 则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域, 则连通区 域数量最大值为答案: 20101解: 从第 个二次曲线开始计算, 新增加一个二次曲线变成 条的情形, 这条二次 曲线与原来每一个二次曲线最多有 4 个交点, 相当于最多新增加 个交点.(1) 如果是椭圆或者圆, 被分成 段圆弧, 相当于增加连通区域最多 个;(2) 如果是抛物线, 被分成 段曲线, 相当于最多增加连通区域 个;(3) 如果是双曲线, 被分成 段曲线
3、, 相当于最多增加连通区域 个;(4) 如果是两条直线, 明显相交直线更优, 相当于依次加入两条直线, 最多增加连通区 域 个.如果包括二次曲线的退化情形, 例如两条相交直线, 则从第一个曲线开始, 每次均引 入相交直线, 答案为 . 选取 200 条直线两两相交, 但交点不重合的情形均可.6. 已知实数 . 数列 满足: 若 , 则 , 若 , 则 . 现知 , 则可能的 的个数为答案: 解: 首先我们证明 恒成立.若 , 则 ;若 , 则 .由数学归纳法知, 对 成立, 那么有 , 其中 表示 的小数部分. 可能的 的值共有 个.7. 设 . 若 , 则 的最小值为答案: 80解: 由于
4、,那么由 可得故于是 .利用辗转相除法可以证明 ( 为大于 1 的正整数).于是, 我们有 . 令 , 代入原式则有 .而因此, 我们有继而 . 所以 . 再结合 可知, 的最小值为 80 .8. 已知 、 是三个不全相等的实数且满足 、. 则 答案: 3解: 先证明 、 均不为 0 , 若否, 不妨设 , 则由 可得 , 同理 可得 , 与 、 不全相等矛盾. 所以 、 均不为 0 .题目中三式相加容易得到 ,又因为题目中三式等价于 、,此三式相乘得到 .由 , 所以 , 即 .由于 , 所以 ,又因为题目中三式等价于 、,此三式相加得到 ,即 .由 及 得到 因为 ,所以 .9. 如图,
5、为 中 的平分线. 过 作 的垂线 , 过 作 交 于点 . 若 与 交于点 , 且 . 则 解: 延长 交于 是 的外角平分线, 结合 垂直于 易可知 为 的中点, 从而 为 的中点. 因此,故 .10. 如果一个十位数 的各位数字之和为 81 , 则称 是一个 “小猿数”. 则小猿数的个数 为答案: 48619解：设 .则其中 .令 则有其中 而该方程的非负整数解共 组.除去唯一一组不合题意的 , 故共有 个小猿数.11. 设 是与 的差的绝对值最小的整数, 是与 的差的绝对值最小的整数. 记 的前 项和为 的前 项和为 . 则 的值为答案: 1解: .故有 个 使得 于是类似地, .故共
6、有 个 使得 .则故 .12. 设正整数 , 且 是完全平方数. 则可能的 的个数为答案: 0解: .由于完全平方数模 4 余 0 或 1 , 故 被 4 整除. 从而 模 4 余 3 , 不可能是完全平方数. 故这样的 共 0 个.13. 方程 的整数解的组数为答案: 2解: 方程等价于 ,判别式 .判别式是一个平方数, 经检验只能 , 此时 .方程转化为 , 解得 或 .因此 .14. 现有 7 把钥匙和 7 把锁. 用这些钥匙随机开锁, 则 这三把钥匙不能打开对应 的锁的概率是答案: 解: 全部情形共 7 ! 种.记第 把锁所被打开的情形构成集合 .则 .由容斥原理知概率为 .15. 设
7、正整数 均不大于 2021 , 且 . 则这样的数组 个数 为答案: 3449 .解: 原式等价于 .记区间 .则 , 且 .由于 不为整数, 故 内恰有一个整数.当 时, .故所求数组 的个数是诸 之和.每个 都出现在某个 之中, 且当且仅当对于某个 时, 会出现在两个 内.因此, 所求数组个数为 .16. 有三个给定的经过原点的平面. 过原点作第四个平面 , 使之与给定的三个平面形成的 三个二面角均相等. 则这样的 的个数是答案: 1 或 4解: 若三个平面法向量共面 (记平面为 ), 则只有一个和他们均垂直的平面满足要求. 这是因为 的法向量在 上的投影必须在这三个平面法向量两两形成的角
8、的角平分线 上, 因此投影只能是零向量, 也就是 的法向量需要与 垂直.若三个平面法向量不共面, 则任意两个法向量所在基线均有两个角分面. 我们考虑第一 个平面和第二个平面的两个角分面, 以及第二个平面和第三个平面的两个角分面, 一 共可以产生四条交线, 这四条交线即为第四个平面法向量的基线. 极特殊情况, 前三个 平面如果两两垂直, 即可以考虑空间直角坐标系中 , 与他们三个夹角 一样的第四个平面法向量的方向, 即为每个卦限的中分线, 一共四条, 对应四个平面.【注】非常容易产生的一种错误是认为此题的答案仅有 4. 这是因为没有考虑三个平面 的法向量共面的情形.17. 若 为非负实数, 且
9、, 则 的最小值 为答案: 5解: .当 或 取等.18. 已知数列 满足 . 数列 满足 . 若正整数 满足 , 则 的最小值为答案: 24解: 分两步证明:(1) 先证明对任意正整数 有 ,采用数学归纳法,当 时有 显然成立,假设当 时结论成立, 即 ,则当 时, 有 所以对 结论也成立.所以对任意正整数 有 .(2) 再证明对任意正整数 有 ,当 时, 有 ,假设当 时结论成立, 即 ,则当 时, 所以对 结论也成立.所以对任意正整数 有 .此时我们由 可以得到 ,由 可以得到 ,所以满足 的 的最小值为 24 .19. 若 为非负整数, 则方程 的解有 组.答案: 85解: 显然 是满足条件的一组解, 且只要 中有 0 , 则 剩余的必须全为 0 .下面只考虑 非零的情形. 不妨设 . 则 .显然此时必有 (否则 , 矛盾). 于是命题等价 于 , 且由 , 可得 .情形 1: .则 .满足条件的解有 .情形 2: .则 或 3 . 时, (舍); 时, (舍).故此类情形无解.综上 或 .考虑到轮换性, 故共有 组解.20. 已知 , 且 , 求 的最小值.答案: 解: 原式整理可得由齐次性, 不妨设 . 则 , 即 . 因此 . 于是,故当 时等号成立. 这样的 显然是存在的
