1、2021 年清华大学强基计划笔试数学试题本试卷共 35 题, 每一道题均为不定项, 下为回忆版.1. 甲乙丙丁四人共同参加 4 项体育比赛, 每项比赛第一名到第四名的分数依次为 、 、 1 分. 比赛结束甲获得 14 分第一名, 乙获得 13 分第二名, 则 ( ).A. 第三名不超过 9 分B. 第三名可能获得其中一场比赛的第一名C. 最后一名不超过 6 分D. 第四名可能一项比赛拿到 3 分答案: 解:(1) 所有分数之和为 , 甲乙总分之和为 , 所以第 三名和第四名总分数为 13 分, 第四名的分数不超过 6 分, C 正确, 第四名至少得 4 分, A 正确.(2) 所有项目的第一名
2、和第二名分数之和为 分, 只比甲乙两人总分数 高一分, 说明只有一种情况, 甲乙包揽所有项目第一名, 总共拿到 3 个第二名和 1 个第三名.B 错误.2. 定义 , 则 . 答案: 解: 令 , 则 .其中 .容易得到, 若设 , 即 , 则 , 即 运算满足:(1) (2) 进而可得 补充说明: 看到 , 联想到 , 于是做一个 的换元准没 错.3. 已知 , 则 ( ).A. B. C. D. 答案: B.解: 容易得到 、 为 的根, 则另外 、 为 的根, 则结合 , 两个式子做比可得即补充说明: 第一次见此题是 2000 年全国高中数学联赛一试第 6 题.4. 恰有一个实数 使得
3、成立, 则实数 的取值范围为 ( ).A. B. C. D. 答案: .高考导数基本要求.5. 已知 为高斯函数, 解的组数为 ( ).A. 30B. 40C. 50D. 60答案: A解: 因为 , 则 .因此 .即因为 的可能取值为 0 和 的可能取值为 的可能取值为 , ,因此 的可能取值有 种可能性.考虑 , 其中 .因为 两两互质, 容易得到 .因此方程解的组数为 30 .6. 已知 最大公约数为 10 !, 最小公倍数为 50 !, 数对 的组数为 ( ).A. B. C. D. 答案: B.解: 设 , 则 互质, 且 . 的质因数有 、 共 15 个. 其中 能取到的质因数为上
4、述 15 个数构成集合的子集, 共 个, 取其补集情形即 可.7. 设 为常数, , 则 .A. B. 恒成立C. D. 满足条件的 不止一个答案: 解: 令 , 可得 , 因为 , 所以 .A 正确.令 , 可得 , 代入 , 可得 . 即原等式变形为 , C 正确.令 可得 , 即函数取值非负.令 可得 , 即 , 解得 , 选 B.8. 已知四面体 中, , 则 体积的最大值 为 .A. B. C. D. 答案: C.解: 如图所示, 取 中点 连结 , 设 的高为 , 则 .显然 , 设 .则 .于是等号成立条件, 当且仅当平面 与平面 垂直, 且 .9. 在 中, 为 的中点, ,
5、则 的最大值为 ( ).A. B. C. D. 答案: .解：由 , 在 、 确定的情形下, 点 的轨迹是一段圆弧.如图所示做出 的外接圆 , 显然当 时, 是 的一条切线.在四边形 中, , 求 的问题, 转化为求 的问题, 进而转化成求 或者 的问题.由切割线定理可得, ,进而 .在 中, , 设 , 则 , 根据正弦定理 可得即即 , 进而可得 .进而可得 .10. 已知非负实数 满足 , 则 的最大值为 .答案:解：对原式因式分解可得该式子关于 、 轮换对称, 只需考虑 和 两种情况. 令 (1) 若 , 此时 (2) 若 , 此时 .由 即 .令 , 则 ,解得当 时, 取得最大值,
6、 计算 .因此原式最大值为 , 此时 的各种轮换形式.11. 已知 十等分圆周, 则在其中取四点构成凸四边形为梯形个数为 ( ).A. 60B. 45C. 40D. 50答案: A解: 首先考虑梯形的形状, 将圆周十等分, 只看四条边所对圆心角的份数, 设上底为 , 腰为 , 下底为 , 则其中 .枚举可得 .将上述每个梯形旋转均有 10 个位置, 因此答案为 .12. 已知 , 设 的最大值为 , 最小值 为 , 则 .A. B. C. D. 答案: 解: 由 ,则 , 该导函数在 递减, 且 因此我们需要解出 , 使得 , 经测试 时符合. 在 单调递增, 在 单调递减. , 因此 .13
7、. 已知集合 , 且 中任意两项相加不是 5 的倍数, 求 的元素个数最大值.答案:解: 集合 模 5 余 0 最多选 1 个数,集合 模 5 余 1 和 4 最多选取一类数, 其中模 5 余 1 有 405 个, 模 5 余 4 有 404 个.集合 模 5 余 2 和 3 最多选取一类数, 两类数均有 404 个.所以 的最大值 .14. 将函数 的图象逆时针方向旋转 , 得到曲 线 . 若对于每一个旋转角 , 曲线 都是一个函数的图像, 则 的最大值为 ( ).A. B. C. D. 答案:2009 年上海高考第 14 题.15. 在平面直角坐标系中, 是坐标原点, 两定点 满足 2 , 则点集 所表示的区域的面积是 ( ) .A. B. C. D. 答案: 解:2013 年高考安徽第 9 题16. 已知 , 过 做抛物线两条切线, 交 轴于 两点, 则 外接 圆方程为 .A. B. C. D. 答案:
