1、2022年北大强基真题1. 已知 与 均为完全平方数且 不超过 2022 , 则正整数 的个数为 答案: 1解: 设 化简得到 , 即 ,由于 为佩尔方程 的一组解,由佩尔方程的性质知其有无穷多组解,对其任意一组解 , 由于 , 所以 为被 3 整除的正奇数.则 , 知这样的 均为正整数.由于 , 知 , 所以 ,由佩尔方程的通解知 ,由特征方程知其所对应的递推公式为 , 得 ,因此仅 满足条件, 此时 .所以这样的 为 1 个.2. 已知凸四边形 满足 , 则符合 题意且不相似的凸四边形 的个数为答案: 2解: 对凸四边形 , 由 , 有 ; 由 ,图 1: 第 2 题图有 . 故四边形 为
2、平行四边形.如图, 设对角线 中点为 . 我们下面固定对角线 , 则点 在固定的射线 上, 我们只需求出该射线上满足 的点 个数即可.记过 且与射线 相切的圆为 (易知这样圆存在且唯一), 切点为 , 由圆幂定 理知 从而 .首先说明 .该结论等价于 , 即 . 设 , 易 知 . 在 中, 由正弦定理,注意到 , 所以 , 且当 时等号不成立, 故 , 结论得证.射线 上在 的左右两侧各有一个满足 的点 , 故满足条件的形状 不同的凸四边形有两种.3. 已知正整数 不超过 2022 且满足 100 整除 , 则这样的 的个数为答案: 20解: 由于 , 所以 .显然 , 所以 , 所以 ,
3、进而得到 .设 ,则 , 由于 , 所以 , 即 .设 , 则 .则 .由欧拉定理, , 所以 .进而得到 .所以 , 所以 .因此这样的 有 20 个.4. 已知 表示不超过 的整数, 如 . 已知 , 则 答案: 321解: 记 ,则由其所对应的特征根方程知数列 满足 且 ,依次可得 , .而 , 所以 ,所以 , 所以 .5. 已知六位数 , 满足 , 则所有满足条件的六 位数之和为 . ( 不必为三位数)6. 已知整数 满足 , 则 的正整数取值 个数为答案 : 10解：由于 均为整数,所以 为整数.因此只需 , 即 .原命题即为求 小于 36 的不同取值的个数.由柯西不等式知 ,因此
4、 ,又因为 与 奇偶性相同,所以 的取值必为 10 到 34 之间的偶数.下证 不为 8 的倍数:采用反证法, 若否, 则 ,此时 要么同为偶数要么同为奇数.(i) 同为偶数：设 .此时 .因为 与 奇偶性相同,所以 不可能为 8 的倍数.(ii) 同为奇数:由于奇数的平方模 8 同余于 1 , 所以 ,所以 不可能为 8 的倍数.因此 的取值必为 10 到 34 之间的偶数且不为 8 的倍数.另一方面, 设 ,我们有 , , ,因而 的取值为所有 10 到 34 之间不为 8 的倍数的偶数,text 因此 text 的不同取值为 text 个. 7. 已知凸四边形 满足: , 则其内切圆半径
5、 取值范围为答案: 解: 先证明一个引理: 平面上四边形 的四边长分别记为 , 那么四边形 的面积其中 为四边形 的半周长 .引理的证明：在 和 中分别应用余弦定理, 有又于是可得两式平方相加, 移项可得整理即得.回到本题中, 一方面,另一方面, 欲求 最小值, 只需使得 最小, 只需使得 最大 即可. 又因为 , 所以只需令 最大即 可.设 , 有 , 易知 随 增加而增加, 随 增加而增加, 所以只需比较 和 的情况即可, 此时四边形 分 别趋向退化成边长为 和 的三角形, 经比较可得面积较小者为 . 故综上, .8. 已知 , 当 最小时, 答案: 解: 已知 ,当且仅当 时取等.此时
6、, 解得 ,所以当 取最小值时 .9. 已知复数 , 满足 与 的实部和虚部均属于 , 则 在复平面上形成轨迹的面 积为答案: 解:图 2: 第 9 题图设满足要求的复数 ,则原命题即为 与 的实部和虚部均属于 ,因此 .整理后得 ,.因此点 的轨迹所构成的图形为图中阴影区域, 其外边界为一个边长为 4 的正方形.此区域面积为 .10. 在 中, , 其外接圆半径 , 且 , 则 答案: 1解: 因为 , 所以因为 , 所以进而有 , 于是因为 , 所以 .11. 在梯形 中, 在边 上, 有 , 则 取值范围为答案: 解: , 所以 四点共圆, 于是易知 .12. 已知 , 则该方程所有实根
7、个数与所有实根乘积的比值为答案: 12解: 令 .则 , 即 , 由于 , 所以 或 或 .解得 或 或 .因而其全部解为 或 或 .由题意知, 所求值为:13. 若 为十进制数, , 记 . 已知 , 则 各位数字的平方和 200 (横线上填大于, 小于或等于).答案：小于解: 由题意知若 为 位数, 则 , 所以 至多为 40 位, 所以 ,所以 至多 15 位, 进而 ,所以 至多 6 位, 进而 ,所以 至多 3 位, 进而 ,所以 至多 2 位, 进而 也至多两位,依此类推可得 至多两位,其各位数字的平方和不超过 , 小于 200 .【注】原问题为求 各位数字的平方和, 题目中所给出
8、选项分别为 “ 730 ”, “ 520 ” 和 “ 370 ” 和 “以上答案均不正确”。14. 已知数列 满足 , 则 最接近的整数 为答案: 4解: 令 , 则 且 ,原递推即为 ,整理后即为 , 由 得 ,即 , 所以 .所以 ,另一方面, ,所以 ,综上所述, , 所以与之最接近的整数为 4 .15. 已知 是二次函数, , 且 , 则 答案: 36 .解:法一:由 , 可设 ,则由 得 ,所以 且 , 整理后即为 ,由 得 ,若 则必有 , 此时与 矛盾,所以 且 ,整理后为 ,与 相加即得 ,即 , 所以 ,所以 ,又由于在原不等式中令 可得 , 所以 , 由此解得 .所以 .法
9、二:令 , 则 , 设 .若 , 则于是 时, 存在 使得 , 矛盾; 时, 存在 使得 , 矛盾;故 , 令 , 则 .于是 , 进而 .16. 已知数列 各项均为正整数, 且 中存在一项为 3 , 可能 的数列的个数为答案: 211解: 记 , 则 ,对确定的 , 数列 各项间的大小顺序即确定,设 , 则 ,对于给定的 可唯一确定一组数列,由于 且 , 这样的数列共 个,其中不符合题设条件的数列各项均为 1 或 2 , 这样的数列有 个,综上所述, 符合要求的数列共有 个.17. 将不大于 12 的正整数分为 6 个两两交集为空的二元集合, 且每个集合中两个元素互 质, 则不同的分法有 种
10、.答案: 252解：易知 中的元素两两不互质, 因此恰好在 6 个不同的集合中。设依 次为 .此时剩余的正整数中 可以任意放在上述 6 个集合中, 5 不能放在 中, 3,9 不 能放在 或 中, 分两种情况:(1) 若 5 放入了 或 中, 有两种情况, 此时 3 与 9 可在 4 个集合中选择, 有 种 情况, 而 放入集合有 种情况.(2) 若 5 没有放入 或 中, 则 5 有 3 个集合可以选择, 进而 3 与 9 可在 3 个集合 中选择, 有 种情况, 而 放入集合有 种情况.综上所述, 不同的集合拆分方法共有 种.18. 已知 为正整数, . 其中 的系数为 10 , 则 的系
11、数的最大可能值与最小可能值之和为答案: 40解：由题意得 , 的系数为 .由柯西不等式知 ,又由于 为正整数所以 .当 时, , 因此 的最小值为 34 .另一方面, 若 为正整数, 则 ,这是因为上式展开即为 , 亦即 .所以 .当 时, , 因此 的最大值为 66 .进而我们有 的最大最小值分别为 12,28 , 所以 的系数的最大可能 值与最小可能值之和为 40 .19. 若 三边长为等差数列, 则 的取值范围是答案: 解: 不妨设三边长为 , 其中 . 此时:20. 内接于堕圆 的菱形周长的最大值和最小值之和为 ( )A. B. C. D. 以上答案均不正确结论: 粗圆内接菱形周长的最大值为 (四定点均在坐标轴上 );最小值为 (正方形, 四个顶点在对应象限角平分线上 )证明: 由椭圆内平行弦中点连线过点 , 知椭圆内接菱形的中心与椭圆中心重合.如图, 设直线 方程为 ( 为参数, 为 的倾斜角), 代入椭圆方程, 由 的 几何意义知同理, , 因此菱形的边长当 或 , 即周长最大值为当 或 , 即周长最大值为因此, 本题的答案: .
