1、清华大学 2020 年强基计划数学试题解析1. 已知实数 满足 , 则 的最大值为 A. 1B. C. D. 答案. B.简析 1 . 由 不等式, 得.上式当 时取等号.即原式的最大值为 .2. 设 为正实数, 若一元二次方程 有实根, 则 ( )A. B. C. D. 答案. BCD.简析. 依题意, 有 .由齐次性不妨设 .(1) 首先证明: .由对称性不妨设 .则 .故 .当 时, 符合题意.即命题得证.又注意到 , 则选项 均成立.(2) 其次证明: .若 , 则命题得证.当 时, 符合题意.若 , 则 .又注意到 , 则若 , 则命题得证.若 , 此时 , 则命题得证.又注意到 ,
2、 则选项 不成立.3. 已知平面向量 满足 , 则对所有可能的 的 ( )A. 最大值为 B. 最大值为 C. 最小值为 0D. 最小值为 答案. AC.简析. 当 时, 有 .令 , 得 .由三角不等式, 得再由 Cauchy 不等式, 得当 , 且 时取等号.综上, 的最小值为 0 , 最大值为 .4. 在 中, , 设 为 中点, 现将 沿 折起, 使得四面 体 的体积为 , 则折起后 的长度可能为 ( )A. 1B. C. D. 2答案. BC.简析. 设点 在底面的射影为点 , 则注意到 , 因此满足题意的点 有两个.(1) 二面角 的平面角为钝角.由勾股定理, 得 .在 中, 由余
3、弦定理, 得则 . 在 中, 由余弦定理, 得再由勾股定理, 得 .(2)二面角 的平面角为锐角.同理, 得 .综上, 可以等于 或 .5. 已知 为椭圆 上的动点, 且 , 则 的 ( )A. 最大值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最小值为 答案. BD.简析. 设 , 则 .注意到 , 且 .则 .且当 为射线 与椭圆的交点时, 取到最大值 ; 当 为射线 与椭圆的交 点时, 取到最小值 .6. 已知 分别双曲线 的左右顶点, 为该双曲线上不同于 的任意一点, 设 的面积为 , 则 ( )A. 为定值B. 为定值C. 为定值D. 为定值答案. AC.简析. 不妨设点 在第一象限.
4、记 为双曲线的离心率, 分别表示直线 的斜率, 则考虑点 无限趋于点 , 则 .此时 .从而 不可能为定值.设 , 则注意到 , 则 .又 会随着 的取值不断变化.从而 不可能为定值.7. 设正四棱雉的侧棱与底面所成角为 , 相邻两侧面所成角为 , 则 ( )A. B. C. D. 答案. AD.简析. 为方便计算, 设 .则 .故 .作 交 于点 , 连接 , 则 .在 中, 有在 中, 由余弦定理, 得再利用万能公式, 得8. 设复数 在复平面内对应的点分别为 为坐标原点, 若 , 则 的面积为 A. 1B. C. 2D. 答案. A.简析. 注意到则$故9. 在非正 中, 分别为 的外心
5、和内心, 点 在边 上, 且 则 A. B. C. D. 四点共圆答案. D.简析. 角 可以是锐角, 也可以是针角.因此选项 均不正确.注意到 , 则 四点共圆.10. 使得 成立的最小正整数 等于 A. 3B. 4C. D. 6答案. C.简析. 注意到 , 则又 , 则 .下面证明当 时, 原不等式成立, 即利用导数易证函数不等式注意到 , 则事实上, 有而这是显然的！综上, 正整数 的最小值等于 5 .注. 亦可考虑如下处理.构造函数 .则 在区间 内单调递增.注意到 , 则即当 时, 原不等式成立.11. 已知实数 满足 , 则 )A. 只有 1 组B. 有 4 组C. 均为有理数D
6、. 答案. AD.简析. 易知 均为正实数.若 , 则 .故 , 则 , 矛盾!若 , 同理可导出矛盾!则 , 即 .注意到 , 得显然 为相等的无理数.12. 设实数 满足 , 则 的最大值为 A. 110B. 120C. 220D. 240答案. C.简析. 采用调整法. 对于每个确定的 , 将其余 固定, 则原式关于 是线性函数. 注意到线性函数只会在端点处取到最大值, 因此我们仅需考虑 取 0 或 1 的情形.不妨设 , 则上式当且仅当 或 11 时取到等号.注. 已知非负实数 均不超过 1 , 记 .(1) 当 为偶数时, 有 的最大值为 .当 时取等号.(2) 当 为奇数时, 有
7、的最大值为 .当 时取等号.13. 在平面直角坐标系中, 横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点, 且所有顶点都是格点的多边形称 为格点多边形. 若一个格点多边形的内部有 8 个格点, 边界上有 10 个格点, 则这个格点多边形的面 积为 ( )A. 10B. 11C. 12D. 13答案. C.14. 甲, 乙, 丙三位同学讨论一道数学竟赛题. 甲说: “我做错了”, 乙说: “甲做对了”, 丙说: “我做错 了”. 老师看过他们的答案并听了他们的上述对话后说: “你们只有一个人做对了, 只有一个人说 错了”. 则根据以上信息可以推断出 ( )A. 甲做对了B. 乙做对了C. 丙做对了D. 无法
8、确定谁做对了答案. D.15. 设复数 满足 , 则 的 A. 最大值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最小值为 答案. AD.简析. 依题意, 有注意到 .则复数 在复平面上表示以 为圆心, 1 为半径的圆周.故 .16. 在 中, , 点 满足 , 则 ( )A. B. C. D. 答案. ABCD.简析. 注意到又 .则 .故 .注. 利用余弦定理或旋转全等, 得 .17. 设 为锐角, 且 , 则 的最大值为 ( )A. B. C. 1D. 答案. A.简析 1 . 由积化和差公式, 得上式当 时取等号.从而 的最大值为 .简析 2 . 注意到再由 不等式, 得上式当 时取等号
9、.从而 的最大值为 .18. 设袋中装有编号从 0 到 9 的 10 个球, 随机从中抽取 5 个球, 然后排成一行, 构成的数 在首位时看 成四位数) 能被 396 整除的概率是 ( )A. B. C. D. 选C19. 已知函数 在区间 上存在零点, 则 的最小值为 A. B. eC. D. 答案. D.简析. 设函数 的零点为 , 则 .由 Cauchy 不等式, 得构造函数求其一阶导数, 得即 在区间 递增.故 的最小值为 .20. 设数列 的前 项和为 , 若数列 满足: 对任意 , 存在 , 使得 , 则 称 为 数列. 下列命题中正确的有 ( )A. 若 ,则 为 数列B. 若
10、(其中 为常数), 则 为 数列C. 若 均为 数列, 则 为等差数列D. 若 为等差数列, 则存在两个 数列 , 使得 答案. ABD.简析. 对于选项 , 取 即可.对于选项 , 取 即可.对于选项 , 取 为选项 中的数列, , 则 均为 数列, 但 不是等 差数列.对于选项 D, 取 即可.注. 数列在 2015 年清华领军计划中曾出现过.21. 已知函数 在区间 上的最大值为 , 最小值为 , 则 A. B. C. D. 答案. A.简析. 注意到则 .22. 设 分别是 轴, 轴上的动点, 若以 为直径的圆 与直线 相切, 则圆 面 积的最小值为 ( )A. B. C. D. 答案
11、. C.简析. 设 为原点, 圆 与直线 相切于点 .设点 到直线 的距离为 , 圆 半径为 .则 .上式当且仅当 三点共线时取等号.故圆 的面积 .23. 已知实数 满足 , 设 的所有可能值构成的集合为 , 则 ( )A. 为单元素集B. 为有限集,但不是单元素集C. 为无限集, 且有下界D. 为无限集, 且无下界答案. B.简析. 注意到则 或 -2 .即 为有限集, 但不是单元素集.25. 设随机变量 的概率分布列为 表示 被 3 除的余数, 则随机 变量 的数学期望 等于 A. 1B. C. D. 答案. B.简析. 注意到26. 已知数列 的前 项和 , 且实数 满足 , 则 的取
12、值范围是 A. B. C. D. 答案. A.简析. 注意到两式作差, 得若 , 则 .若 , 则 .得 .27. 等于 A. B. C. D. 答案. A.简析. 注意到则29. 已知函数 的图象如图所示, 设 是 由曲线 与直线 及 轴围成的平 面图形的面积,则在区间 上 ( )A. 的最大值是 , 最小值是 B. 的最大值是 , 最小值是 C. 的最大值是 , 最小值是 D. 的最大值是 , 最小值是 答案. D.30. 已知数列 满足 , 则 ( )A. 存在这样的数列 , 使得 B. 存在这样的数列 , 使得 C. 存在这样的数列 , 使得 D. 存在这样的数列 , 使得 答案. B
13、C.简析. 注意到对 作累加, 得又 , 则 .取 , 得 .取 , 得 .注. .31. 设多项式 的各项系数都是非负实数, 且 , 则 的常数项 的最小值为 ( )A. B. C. D. 答案. B.简析. 对 , 取此时 的常数项为 .下面证明当 时, 满足题意的 的常数项大于等于 .设多项式 , 则依次用后一个式子减去前一个式子, 得将 的表达式带入到 的表达式中, 得又 .即 .综上, 多项式 常数项的最小值为 .32. 等于 A. B. C. D. 答案. A.简析. 引入复数则又注意到则原式 .33. 已知 是集合 的子集, 且满足 , 则这样的有序组 的总 数为 A. B. C
14、. D. 答案. B.34. 设 的边长为 , 且均为正整数, 若 的面积为有理数, 则 的值可以等于 ( )A. 1B. 2C. D. 答案. CD.简析. 注意到边长为 的三角形即满足题意, 故选项 正确.对于选项 , 当 时, 则 .设 的面积为 , 则注意到 .则 不可能为完全平方数.即 不是有理数.对于选项 , 当 时, 则 或 .若 , 则 不是有理数.若 , 则半周长 .再由海伦公式, 得注意到 .则 不可能为完全平方数.即 不是有理数.注. 本题在 2016 年清华领军计划中曾出现过.35. 已知 , 则 ( )A. 存在实数解B. 共有 20 个不同的复数解C. 复数解的模长均为 1D. 存在模长大于 1 的复数解答案. BC.简析. 记 , 则若 存在实数解 .由 不等式, 得但这与 矛盾!即 不存在实数解, 又注意到则 有 20 个不同的复数解, 且模长均为 1 .
