20-22清北强基计划真题汇编.zip

北京大学 2020 年强基计划招生考试数学试题一、选择题共 20 小题;在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确选项的代号填在表格中,选对得 5 分,选错或不选得 0 分.1.正实数x,y,z,满足xyz和xy2 z,则zxy的最小值等于（）(A)34 (B)78 (C)1 (D)前三个答案都不对2.在20212019 2020的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘积都不是平方数,则最多可选因数个数为（）(A)16 (B)31 (C)32 (D)前三个答案都不对3.整数列 nn 1a满足12a1,a4,且对任意m2有2nn 1n 1aaa2n1,则2020a的个位数字是（）(A)8 (B)4 (C)2 (D)前三个答案都不对4.设,a b c d是方程43223450 xxxx的4个复根,则11112222abcdabcd数的值为（）(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)前三个答案都不对5.设等边三角形 ABC 的边长为 1,过点 C 作以 AB 为直径的圆的切线交 AB 的延长线与点D,ADBD,则三角形 BCD 的面积为（）(A)6 23 316 (B)4 23 316(C)3 22 316(D)前三个答案都不对6.设,x y z 均不为1,2k 其中k为整数,已知sin,sin,sinyzxxzyxyz成等差数列，则依然成等差数列的是（）(A)sin,sin,sinxyz (B)cos,cos,cosxyz(C)tan,tan,tanxyz (D)前三个选项都不对7.方和 19934xyxy 的整数解个数为（）(A)4 (B)8 (C)16 (D)8.从圆224xy上的点向椭圆 C:2212xy引切线,两个切点间的线段称为切点弦,则椭圆 C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）(A)2 (B)3 (C)4 (D)前三个选项都不对9.使得512xxya xy对所有正实数x,y都成立的实数a的最小值为（）(A)8 (B)9 (C)10 (D)前三个答案都不对10.设 P 为单位立方体1111ABCDABC D上的一点,则11PAPC的最小值为（）(A)22 (B)22 2 (C)222 (D)前三个答案都不对11.数列 1nna 满足 121,9aa 且对任意 1n 布 214320,nnnaaa 其（）(A)28 (B)35 (C)47 (D)前三个答案都不对12.设直线3yxm与椭圆22x12516y交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则三角形 OAB 面积的最大值为（）(A)8 (B)10 (C)12 (D)前三个答案都不对13.正整数3m 称为理想的,若存在正整数11kn使得11,kkknnnCCC构成等差数列,其中n!C!knknk为组合数,则不超过 2020 的理想数个数为（）(A)40 (B)41 (C)42 (D)前三个答案都不对14.在 ABC中,A150,122020D,D,D依 次 为 边BC上 的 点,且11223201920002000BD,D DD DDDDC设11122201920202020,BADD ADDAD，则132021242020sinsinsinsinsinsin的值为（）(A)11010 (B)12020 (C)12 21 (D)前三个答案都不对15.函数22232 3coscos52 3coscos4sin 的最大值为（）(A)23(B)2 23 (C)22 3 (D)前三个答案都不对16.方程 5412211xxxx 的实根个数为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)前三个答案都不对17.凸五边形 ABCDE 的对角线 CE 分别与对角线 BD 和 AD 交于点 F 和 G,已知BF:FD5:4,AG:GD1:1,CF:FG:GE2:2:3,CFDS和ABES分 别 为CFD和ABE的面积,则CFDABES:S的值等于（）(A)8:15 (B)2:3 (C)11:23 (D)前三个答案都不对18.设,p q均为不超过 100 的正整数,则有有理根的多项式 5f xxpxq的个数为（）(A)99 (B)133 (C)150 (D)前三个答案都不对19.满足对任意n1有123nnnaa且严格递增的数列 1nna的个数为（）(A)0 (B)1 (C)无穷多个 (D)前三个答案都不对20.设函数,xyzf x y zxyyzzx，其中,x y z均为正实数，则有（）A.f 既有最大值也有最小值 B.f 有最大值但无最小值C.f 有最小值但无最大值 D.前三个答案都不对北京大学 2020 年强基计划招生考试数学试题一、选择题共 20 小题;在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确选项的代号填在表格中,选对得 5 分,选错或不选得 0 分.1.正实数x,y,z,满足xyz和xy2 z,则zxy的最小值等于(A)34 (B)78 (C)1 (D)前三个答案都不对【解析】【解析】因为2xywz,且22xywz则21122222wzwxywwxwxyxwxyxyxyyyxy111122222222xyxxyxxxyyxyyxyy当且仅当2,2xyywxywz时，等号成立，选 D2.在20212019 2020的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘积都不是平方数,则最多可选因数个数为(A)16 (B)31 (C)32 (D)前三个答案都不对【解析】【解析】因为2021404220212021202120212019 2020251013673,可以选取最小质数 2.3.5.101,673,那么剩下的单个质因数的偶数次方出现的最多只能选取一个,不放选22,再进行组合,再 5 个因数里面分别选取 2 个,3 个,4 个,5 个则一共有 32 个,则最多可以选取 32 个,故选 C3.整数列 1nna满足12a1,a4,且对任意m2有21112nnnnaaa,则2020a的个位数字是(A)8 (B)4 (C)2 (D)前三个答案都不对【解析】【解析】因为21112nnnnaaa,则2122nnnnaa a因此：221112222nnnnnnaaaaa a，则2111312222nnnnnnaaaaaaaaa 因为：22132aa a，则314a 故21113122224nnnnnnaaaaaaaaa 则142nnnaaa，欲求个位数字，则需要让na模 10.其结果为 1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4,0,从2a开始周期为 24，则2020a的个位数字是 8，所以选 A4.设,a b c d是方程43223450 xxxx的4个复根,则11112222abcdabcd数的值为(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)前三个答案都不对【解析】【解析】由题意可得2,sabcd 3pabacadbcbdcd4qabcabdacdbcd 5rabcd设11112222abcdmabcd 则1111432222mabcd，只需要11112222abcd 则222111132 1241622222222162489bcdqspabcdabcdrqps故164433n ，所以选 A 5.设等边三角形 ABC 的边长为 1,过点 C 作以 AB 为直径的圆的切线交 AB 的延长线与点D,ADBD,则三角形 BCD 的面积为(A)6 23 316 (B)4 23 316(C)3 22 316(D)前三个答案都不对【解析】【解析】如图所示，其中12OEOB,32CO,22CE 从而可得ODOEOCCE，故64OD 则64OD 故3 22 316BCDS，所以选 C6.设,x y z 均不为1,2k 其中k为整数,已知sin,sin,sinyzxxzyxyz成等差数列，则依然成等差数列的是(A)sin,sin,sinxyz (B)cos,cos,cosxyz(C)tan,tan,tanxyz (D)前三个选项都不对【解析】【解析】因为2sin()sin()sin()2sincos()xzyyzxxyzyxz则sin()coscos()sinsincos()xzyxzyyxz 则sin()cossincos(cos()2sincos cosxzyyxzxzyxz 则tantan2tanxzy，所以选 C7.方和 19934xyxy 的整数解个数为(A)4 (B)8 (C)16 (D)前三个选项都不对【解析】【解析】因为：19934xyxy，则49341993 193 19 31xy 因为：4933 mod4,4191 mod4xy 则4933,19,31,1767,1,57,93,589419 xy 所以有 8 组，所以选 B8.从圆224xy上的点向椭圆 C:2212xy引切线,两个切点间的线段称为切点弦,则椭圆 C 内不与任何切点弦相交的区域面积为(A)2 (B)3 (C)4 (D)前三个选项都不对【解析】【解析】如图所示，设点2cos,2sinA 则 BC 直线方程为cos2sin1xy 由于222214xyab在点cos,sinab的切线方程为cossin=1xyab则11,2ab，由此cos2sin1xy 为椭圆的cos2sin1xy 切线系方程由椭圆2241xy的面积可得2ab，所以选 A9.使得512xxya xy对所有正实数x,y都成立的实数a的最小值为(A)8 (B)9 (C)10 (D)前三个答案都不对【解析】【解析】651251256yxxyxmxm xymm，令6256,3mmm则5129xxyxy，则5129xxyxy，则9a，所以选 B10.设 P 为单位立方体1111ABCDABC D上的一点,则11PAPC的最小值为(A)22 (B)22 2 (C)222 (D)前三个答案都不对【解析】【解析】最小值为2，所以选 D11.数列 1nna 满足 121,9aa 且对任意 1n 布 214320,nnnaaa 其(A)28 (B)35 (C)47 (D)前三个答案都不对【解析】【解析】因为214320nnnaaa，则21110310nnnnaaaa故11102 3nnnaa，则3n 时，数列为单调递减数列可求得3413,5aa,当5n 时，0na，则nS的最大值为428S，所以选 A12.设直线3yxm与椭圆22x12516y交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则三角形 OAB 面积的最大值为(A)8 (B)10 (C)12 (D)前三个答案都不对【解析】【解析】联立方程可得可得22241150254000 xmxm则2221240 2411201010,24110241224110mmABxxdSAB dmm故面积的最大值为 10，所以选 B13.正整数3m 称为理想的,若存在正整数11kn使得11,kkknnnCCC构成等差数列,其中n!C!knknk为组合数,则不超过 2020 的理想数个数为(A)40 (B)41 (C)42 (D)前三个答案都不对【解析】【解析】由题意可得11,kkknnnCCC构成等差数列则112kkknnnCCC，化简可得可得2241420nknk整理以 k 为未知量的方程方程方程224420knknn，则22nnk则 n+2 为完全平方数，则22nm，则443m若22122222mmnnmmk，因为2,1mm奇偶性相反故对于任意443m都满足题意同理同理22122222mmnnmmk，因为2,1mm奇偶性相反故对于任意443m都满足题意综上：满足题意得有 42 个，所以选 C14.在 ABC中,A150,122020D,D,D依 次 为 边BC上 的 点,且11223201920002000BD,D DD DDDDC设11122201920202020,BADD ADDAD，则132021242020sinsinsinsinsinsin的值为(A)11010 (B)12020 (C)12 21 (D)前三个答案都不对【解析】【解析】不妨设不妨设1,iiADCBDm则：11122,sinsinsinsinADADmmB 因此：122sinsinsinsinB，同理：24sinsinsinsinzt因此：20212020sinsinsin202sinsin1sin2021202120214042BmBlmBBCBCEACACACAC，所以选 D15.函数22232 3coscos52 3coscos4sin 的最大值为(A)23(B)2 23 (C)22 3 (D)前三个答案都不对【解析】【解析】已知当2时，33232f因为 223cos52 3coscos4sinf、下面证明 2222 323cos52 3coscos4sinf两边平方即证即证24sin2 2cos2 6因为24sin2 2cos4sin2 2cos2 6sin2 6两个等号不同时成立，所以24sin2 2cos2 6，所以选 D16.方程 5412211xxxx 的实根个数为(A)1 (B)2 (C)3 (D)前三个答案都不对【解析】【解析】由题意可得121 11xx 当112x 时，上式恒为 1，所以选 D17.凸五边形 ABCDE 的对角线 CE 分别与对角线 BD 和 AD 交于点 F 和 G,已知BF:FD5:4,AG:GD1:1,CF:FG:GE2:2:3,CFDS和ABES分 别 为CFD和ABE的面积,则CFDABES:S的值等于()(A)8:15 (B)2:3 (C)11:23 (D)前三个答案都不对【解析】【解析】如图所示，延长 CF=CM则根据比例可得 BE/MD则12OGEGGDGM，因为G为AD的中点，因此14,225AOOGGD MDBE MDOE则25OEBE不 妨 设ABES5则AOEEGDS2,S4,因 此28433CFDS 因 此CFDABES:S815：所以选 A18.设,p q均为不超过 100 的正整数,则有有理根的多项式 5f xxpxq的个数为(A)99 (B)133 (C)150 (D)前三个答案都不对【解析】【解析】因为 5f xxpxq有有理根，则有理根必小于 0设0mxn，且,1m n，则550mpmqnn则554qnmpmn，显然|n m，因为,1m n，则1n，故5qmmp因为5100qmmp，故12m当1m 时，1100qp，所以199q，共 99 组当 m=2 时，322100qp,所以134p，共 34 组综上所述：满足条件的共 133 组，故选 BB19.满足对任意n1有123nnnaa且严格递增的数列 1nna的个数为(A)0 (B)1 (C)无穷多个 (D)前三个答案都不对【解析】【解析】因为123nnnaa，则113122 22nnnnaa 则11131252 25nnnnaa，则1113125225nnnaa，则122355nnnaa 当125a 时，满足严格递增，当125a 时，会出现正负交替，不满足，所以选 B20.设函数,xyzf x y zxyyzzx，其中,x y z均为正实数，则有（）A.f 既有最大值也有最小值 B.f 有最大值但无最小值C.f 有最小值但无最大值 D.前三个答案都不对【解析】【解析】因为2xyzxzyxzysxyyzzxxyzyzxzxy当0,1,xzy 时，2s，故无最大值而且1xyzxyzsxyyzzxxyzxyzxyz当0,1,xyz 时，1s，故无最小值，所以选 D清华大学 2020 年强基计划数学试题解析1.已知实数,x y 满足 221xy,则 22xxyy 的最大值为()A.1 B.52C.103D.2答案.B.简析 1.由 AMGM 不等式,得2222222225525(52)22252(52)xyxxxyyxyy.上式当 11,104 5104 5xy 时取等号.即原式的最大值为 52.2.设,a b c 为正实数,若一元二次方程 20axbxc 有实根,则()A.1max,()2a b cabcB.4max,()9a b cabcC.1min,()4a b cabcD.1min,()3a b cabc答案.BCD.简析.依题意,有 24bac.由齐次性不妨设 1abc.(1)首先证明:1min,()4a b cabc.由对称性不妨设 ac.则 22442baccbc.故 11244abcccccc.当 11,42acb 时,符合题意.即命题得证.又注意到 1143,则选项 CD 均成立.(2)其次证明:4max,()9a b cabc.若 49b,则命题得证.当 41,99bca 时,符合题意.若 49b,则 519acb.又注意到 24bac,则16514144400,.8199999acaaaaa 若 4,9a,则命题得证.若 10,9a,此时 5499ca,则命题得证.又注意到 1429,则选项 A 不成立.3.已知平面向量,a b c 满足|2,|1,|2|2|ababcab,则对所有可能的,|c c 的()A.最大值为 4 2B.最大值为 2 6C.最小值为 0D.最小值为 2答案.AC.简析.当 ab 时,有|2|2|abab.令 c0,得|0c.由三角不等式,得|2|2|2|2|2|.ababccabcabab再由 Cauchy 不等式,得222222|(|2|2|)2|2|2|4|16|32|4 2.cabababababc当,|2|2ab ab,且 2cab 时取等号.综上,|c 的最小值为 0,最大值为 4 2.4.在 ABC 中,1,3,2ACBCAB,设 M 为 AB 中点,现将 ABC 沿 CM 折起,使得四面 体 BACM 的体积为 212,则折起后 AB 的长度可能为()A.1 B.2C.3D.2答案.BC.简析.设点 B 在底面的射影为点 D,则11326.334123B ACMACMVSBDBDBD注意到 32BD,因此满足题意的点 B 有两个.(1)二面角 BMCA 的平面角为钝角.由勾股定理,得 2222321,33DMBMBDCDBCBD.在 DMC 中,由余弦定理,得2223cos150.22DMMCCDDMCDMCDM MC 则 180150AMDAMCDMC.在 DMA 中,由余弦定理,得22272cos150.3ADMAMDMA MD 再由勾股定理,得 223ABADBD.(2)二面角 BMCA 的平面角为锐角.同理,得 2AB.综上,AB 可以等于 2 或 3.5.已知 P 为椭圆 22143xy 上的动点,且(1,1),(1,0)AQ,则|PAPQ 的()A.最大值为 43B.最大值为 45C.最小值为 43D.最小值为 45答案.BD.简析.设(1,0)R,则|4|PAPQPAPR.注意到|ARPAPRAR,且|5AR.则|45,45PAPQ.且当 P 为射线 AR 与椭圆的交点时,|PAPQ 取到最大值 45;当 P 为射线 RA 与椭圆的交 点时,|PAPQ 取到最小值 45.6.已知,A B 分别双曲线 2214xy 的左右顶点,I 为该双曲线上不同于,A B 的任意一点,设 IAB,IBAIAB 的面积为 S,则()A.tantan 为定值B.tantan22 为定值C.tan()S 为定值D.cot()S 为定值答案.AC.简析.不妨设点 I 在第一象限.记 e 为双曲线的离心率,IAIBkk 分别表示直线,IA IB 的斜率,则5111tantantantan.24IAIBekk 考虑点 I 无限趋于点 B,则 0,224.此时 tantan022.从而 tantan22 不可能为定值.设(,)I x y,则2tantan4164tan().1tantan52255 4yyyxxyx 注意到 2Sy,则 8tan()5S.又 25cot()2yS 会随着 y 的取值不断变化.从而 cot()S 不可能为定值.7.设正四棱雉的侧棱与底面所成角为,相邻两侧面所成角为,则()A.22coscoscos2B.22cos1coscos1C.tansin2D.cotsin2答案.AD.简析.为方便计算,设 2,4ABPM.则 2,2 2,3 2BMBDPB.故 2 21sin,cos33.作 BNPC 交 PC 于点 N,连接 DN,则 BND.在 PBC 中,有221134.2423PBCBCSBCPBPC BNBN在 BND 中,由余弦定理,得22222221coscos1coscos,cos217cos2cos1BNDNBDBN DN 再利用万能公式,得221tan132tancotsin17222 21tan2 8.设 复 数 12,z z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 分 别 为 12,Z Z O 为 坐 标 原 点,若 221121 21,520zzzz z,则 12OZ Z 的面积为()A.1B.3C.2D.2 3答案.A.简析.注意到211122212i52105zzzzzz 则1122212i125,sin arg.555zzzzz$故1211221sin arg1.2OZ ZzSzzz9.在非正 ABC 中,ACBC O P 分别为 ABC 的外心和内心,点 D 在边 BC 上,且 ODBP 则()A.OPDPB.OPDPC./OPACD.,B O P D 四点共圆答案.D.简析.角 C 可以是锐角,也可以是针角.因此选项 A,B,C 均不正确.注意到 MOPPBNPBD ,则,B O P D 四点共圆.10.使得 sin11 5cos1n 成立的最小正整数 n 等于()A.3B.4C.5D.6答案.C.简析.注意到 13,则7sin1 5cos4.333nn 又 n,则 5n.下面证明当 5n 时,原不等式成立,即15sin11 5cos1sin 1.45 2 利用导数易证函数不等式2 2sin,04xxx注意到 0144,则2 2sin 1144事实上,有2 21101.435 2而这是显然的！综上,正整数 n 的最小值等于 5.注.亦可考虑如下处理.构造函数()5sin5cos,0,2f xxx x.则()f x 在区间 0,2 内单调递增.注意到 4157.353arcsin5 ,则4(1)arcsin5sin1 5cos11.5ff即当 5n 时,原不等式成立.11.已知实数,x y z 满足 323232111931119311193xyyyzzzxx,则 )A.(,)x y z 只有 1 组B.(,)x y z 有 4 组C.,x y z 均为有理数D.,x y z答案.AD.简析.易知,x y z 均为正实数.若 xy,则 22111133xxyyzx .故 zy,则 22111133zzyyyx ,矛盾!若 xy,同理可导出矛盾!则 xy,即 xyz.注意到 332(1)331tttt,得32333213113133311933333341xxxxxxxxx 显然,x y z 为相等的无理数.12.设实数 1221,x xx 满足 01(1,2,21)ix,则 212111ikikxx 的最大值为()A.110B.120C.220D.240答案.C.简析.采用调整法.对于每个确定的 1in,将其余()jxji 固定,则原式关于 ix 是线性函数.注意到线性函数只会在端点处取到最大值,因此我们仅需考虑 ix 取 0 或 1 的情形.不妨设 1212210,1tttxxxxxx,则2121112(21)220.ikikxxtt上式当且仅当 10t 或 11 时取到等号.注.已知非负实数 12,nx xx 均不超过 1,记 112nnijijPxx.(1)当 n 为偶数时,有 P 的最大值为 2n.当 12122220,1nnnnxxxxxx 时取等号.(2)当 n 为奇数时,有 P 的最大值为 21n.当 12111122220,1nnnnxxxxxx 时取等号.13.在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点,且所有顶点都是格点的多边形称 为格点多边形.若一个格点多边形的内部有 8 个格点,边界上有 10 个格点,则这个格点多边形的面 积为()A.10B.11C.12D.13答案.C.14.甲,乙,丙三位同学讨论一道数学竟赛题.甲说:“我做错了”,乙说:“甲做对了”,丙说:“我做错 了”.老师看过他们的答案并听了他们的上述对话后说:“你们只有一个人做对了,只有一个人说 错了”.则根据以上信息可以推断出()A.甲做对了B.乙做对了C.丙做对了D.无法确定谁做对了答案.D.15.设复数 z 满足|37i|3z,则 2221 izzz 的()A.最大值为 83B.最大值为 73C.最小值为 43D.最小值为 23答案.AD.简析.依题意,有222|(1 i)(1 i)|1 i|.1 i|1 i|zzzzzzz 注意到 7i13z.则复数 z 在复平面上表示以 70,3 为圆心,1 为半径的圆周.故 2 8|1 i|,3 3z .16.在 ABC 中,90,1,3AABAC,点 P 满足|PAPBPCPAPBPC 0 ,则()A.120APCB.120APBC.|2|PBPAD.|2|PCPB答案.ABCD.简析.注意到120.|PAPBPCAPBBPCCPAPAPBPC 0 又 60PABPBAPBC.则 APBBPC.故 12APPBABBPPCBC.注.利用余弦定理或旋转全等,得 7PAPBPC.17.设,为锐角,且 sincos()sin,则 tan 的最大值为()A.24B.33C.1D.2答案.A.简析 1.由积化和差公式,得sin(2)sin()sin(2)1sinsincos()sin.233上式当 111arcsin,arcsin3423 时取等号.从而 tan 的最大值为 24.简析 2.注意到22sincossincoscoscossinsintan.1sin2sincossinsin再由 AMGM 不等式,得22sincos2tan42 2sincos上式当 2arctan2 时取等号.从而 tan 的最大值为 24.18.设袋中装有编号从 0 到 9 的 10 个球,随机从中抽取 5 个球,然后排成一行,构成的数(0 在首位时看 成四位数)能被 396 整除的概率是()A.1240B.1280C.1315D.1360选 C19.已知函数()e(1)xf xa xb 在区间 1,3 上存在零点,则 22ab 的最小值为()A.e2B.e C.2e2D.2e答案.D.简析.设函数()f x 的零点为 t,则(1)eta tb.由 Cauchy 不等式,得222222222ee(1)1(1)1.22ttatbabtabtt 构造函数22e(),1322tg tttt 求其一阶导数,得22222e33()022tttg ttt即()g t 在区间 1,3 递增.故 22ab 的最小值为 2(1)eg.20.设数列 na 的前 n 项和为 nS,若数列 na 满足:对任意 n,存在 m,使得 nmSa,则 称 na 为 T 数列.下列命题中正确的有()A.若 21122nnnan,则 na 为 T 数列B.若 nana(其中 a 为常数),则 na 为 T 数列C.若 ,nnbc 均为 T 数列,则 nnnabc 为等差数列D.若 na 为等差数列,则存在两个 T 数列 ,nnbc,使得 nnnabc答案.ABD.简析.对于选项 A,取 1mn 即可.对于选项 B,取(1)2n nm 即可.对于选项 C,取 nb 为选项 A 中的数列,0ncn,则 ,nnbc 均为 T 数列,但 na 不是等 差数列.对于选项 D,取 11(2),(1)nnbn a cnad 即可.注.T 数列在 2015 年清华领军计划中曾出现过.21.已知函数 2e()sineexxxf xx 在区间 2,2 上的最大值为 M,最小值为 m,则()A.2MmB.1MmC.2MmD.1Mm答案.A.简析.注意到2e2e()()sinsin()2.eeeexxxxxxf xfxxx则 2Mm.22.设,A B 分别是 x 轴,y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 240 xy 相切,则圆 C 面 积的最小值为()A.5B.25C.45D.答案.C.简析.设 O 为原点,圆 C 与直线 240 xy 相切于点 D.设点 O 到直线 240 xy 的距离为 d,圆 C 半径为 r.则 225rCOCDdr.上式当且仅当,O C P 三点共线时取等号.故圆 C 的面积 245Sr.23.已知实数,a b 满足 3331abab,设 ab 的所有可能值构成的集合为 M,则()A.M 为单元素集B.M 为有限集,但不是单元素集C.M 为无限集,且有下界D.M 为无限集,且无下界答案.B.简析.注意到333222(1)3(1)0(1)()(1)(1)0.ababababab 则 1ab 或-2.即 M 为有限集,但不是单元素集.25.设随机变量 X 的概率分布列为 1()(1,2,3,),2kP xkkY 表示 X 被 3 除的余数,则随机 变量 Y 的数学期望 EY 等于()A.1 B.87C.97D.32答案.B.简析.注意到23011111812012228718nnEY 26.已 知 数 列 na 的 前 n 项 和 1(1)32nnnnSan,且 实 数 t 满 足 10nntata,则 t 的取值范围是()A.3 11,4 4B.3 11,4 5C.3 11,5 4D.3 11,5 5答案.A.简析.注意到11111(1)321(1)(1)32nnnnnnnnSanSan 两式作差,得11111(1)1(1).2nnnnnnaaa 若 2n,则 1112nna.若 2|n,则 132nna.得 123 11,4 4ta at .27.212limarctannnkk 等于()A.34B.C.45D.32答案.A.简析.注意到22(1)(1),.1(1)(1)kkkkkk则2112limarctanlim(arctan(1)arctan(1)3limarctan(1)arctan2.4244nnnnkknkkknn 29.已知函数()f x 的图象如图所示,设()()S t atb 是 由曲线()yf x 与直线,xa xt 及 x 轴围成的平 面图形的面积,则在区间 ,a b 上()A.()fx 的最大值是()fa,最小值是()f cB.()fx 的最大值是()f c,最小值是()f bC.()S t 的最大值是()S a,最小值是()S cD.()S t 的最大值是()S c,最小值是()S b答案.D.30.已知数列 0120:,A a aa 满足 010,1(1,2,20)iiaaai,则()A.存在这样的数列 A,使得 01200aaaB.存在这样的数列 A,使得 01202aaaC.存在这样的数列 A,使得 012010aaaD.存在这样的数列 A,使得 012012aaa答案.BC.简析.注意到222211111,120.2iiiiiaaaaai 对 i 作累加,得20222221202021100021211.222iiiiiiiiaaaaaPa又 221a,则 0,12P.取 0123161718210,1,0,1,0,1,2,5aaaaaaaa ,得 2P.取 012320210,1,0,1,0,1aaaaaa ,得 10P.注.2002mod4iia.31.设多项式()f x 的各项系数都是非负实数,且(1)(1)(1)(1)1ffff,则()f x 的常数项 的最小值为()A.12B.13C.14D.15答案.B.简析.对 x,取23(1)(1)()1(1).26xxf xx 此时()f x 的常数项为 13.下面证明当 3n 时,满足题意的()f x 的常数项大于等于 13.设多项式 0()nkkkf xa x,则0123(1),(1),(1)(1),(1)(1)(2).nnnnkkkkkkkkfafkafk kafk kka依次用后一个式子减去前一个式子,得0122341(1),(2),(1)(3).2nnnkkkkkkaka ak ka ak kka将 2a 的表达式带入到 0a 的表达式中,得2023344(1)(2)2(1)2.2nnkkkkkkaaakaaa又 23(1)(2)(1)(2)32kkk kkk.即 011(1)33af.综上,多项式()f x 常数项的最小值为 13.32.53 10sin arctan1 arcsinarccos510 等于()A.1B.7 210C.3 25D.22答案.A.简析.引入复数1231i2i3i,22551010zzz则12353 10arctan1arg,arcsinarg,arccosarg.510zzz又注意到1 231i2i3ii.22551010z z z则原式 sin12.33.已知,A B C 是集合 1,2,2020 的子集,且满足 ABC,则这样的有序组(,)A B C 的总 数为()A.20203B.20204C.20205D.20206答案.B.34.设 ABC 的边长为,a b c,且均为正整数,若 ABC 的面积为有理数,则 a 的值可以等于()A.1 B.2 C.3D.4答案.CD.简析.注意到边长为 3,4,5 的三角形即满足题意,故选项 CD 正确.对于选项 A,当 1a 时,则 bc.设 ABC 的面积为 S,则2211411244bSb 注意到 2413mod4b .则 241b 不可能为完全平方数.即 S 不是有理数.对于选项 B,当 2a 时,则 cb 或 1cb.若 cb,则 2212112Sbb 不是有理数.若 1cb,则半周长 232bp.再由海伦公式,得2232323231212921.22224bbbbbbSbb 注意到 2121293mod4bb.则 212129bb 不可能为完全平方数.即 S 不是有理数.注.本题在 2016 年清华领军计划中曾出现过.35.已知 105105111()2f zzzzz,则()A.()0f z 存在实数解B.()0f z 共有 20 个不同的复数解C.()0f z 复数解的模长均为 1D.()0f z 存在模长大于 1 的复数解答案.BC.简析.记 551tzz,则2133()20(2,2).24tf ztt 若()0f z 存在实数解 0z.由 AMGM 不等式,得55005500112zzzz但这与(2,2)t 矛盾!即()0f z 不存在实数解,又注意到25105551101i,|1.22tttzztzzzz 则()0f z 有 20 个不同的复数解,且模长均为 1.2021 年北京大学强基计划笔试数学试题本试卷共 20 题,每一道题均为单选题,下为回忆版,部分题目条件可能与实际考试有 所出入,仅供参考.1.已知 O 为 ABC 的外心,AB、AC 与 OBC 的外接圆交于 D、E.若 DEOA,则 OBC答案:4解:如图，所示,联结 BE.因为 DEOC,在 OBC 外接圆中,DBEOBC,进而可得 DBOEBC.另外在 O 中,2AOBACB.以及 2180AOBOBD.即 22180BCEEBC.即 EBC 为直角三角形,且 BC 为直角边,BC 为第二个圆的直径.所以 4OBC.2.方程 345yfd 的正整数解(,)y f d 的组数为答案:无穷解:考虑到 1222nnn,取 0(mod3),0(mod4),1(mod5)nnn 即可.例如取 6024,Nnkk.此时 345208156125222kkk.3.若实数,a b c d 满足 1abbccdda,则 2222234abcd 的最小值为答案:2解：因式分解可得()()1ac bd.根据柯西不等式可得 222131()3acac,即 22233()4acac.同样地,2221124()24bdbd,即 22242