1、2022清华大学强基计划1. 关于方程 在灯而直角坐标系中所确定的曲线, 下列说法正确的有 ( ).A. 曲线关丁坐标轴轴对称, 也关丁原点中心对称B. 曲线只过 一个整点C. 曲线上的动点与原点的距离不超过 2D. 曲线所围区域的面积大于 2. 已知 , 求 的最大值和最小值分别为 ( )A. B. 9,1C. D. 10,13. 定义 为一个由 确定的二元函数, 且对任意实数 成立 , 则 A. 20B. 22C. -20D. -224. 已知一个正整数 在十进制表示下的数位个数为 的数位个数为 , 求 可能为 ( )A. 2020B. 2021C. 2022D. 20235. 已知实数
2、满足 , 则 的最大 值为 ( ).A. 2B. 3C. 4D. 6. 圆上不一个十边形, 任意两点连成线段, 求从中任取两条线段, 没有交点的概率为（）A. B. C. D. 9. , 则 所在的区间为( ).A. B. C. D. 10. 已知抛物线 为抛物线外一点, 、 与抛物线相切且 、 为切点, 则下列说法 中匡确的有 ( ).A. 若 的方程为 , 则 B. 若 丛标为 , 则 的方程为 C. 若 , 则 的最小值为 D. 若 , 则 的最人值为 11. 中, 平分 交 于 平分 交 于 , 已知 , 则 A. B. C. D. 12. 求 13. 为正整数, 当 为三个连续自然数
3、时, 求 最小值 (）14. 一条路上顺次有 10 蒀灯, 每蓝灯的颜色可以为黄色或监色, 且要求不能出现连续三踃监灯, 求点灯方案 的总数 ( ).15. 、 为两个正方形, 二面角 为 、 在 、 上运动, 且 , 已知边长 , 求 长度的取值范围 ( )16. 已知复数 满足 , 求 的最大值 ( )17. 在复平面内, 复数 在 和 两点连线段上运动, 复数 满足 , 若 在复平面上表 示的点用成的面积为 , 则 的可能俻为 ( )18. 对于任意实数 , H对于 , 恒有 , 则 .19. 已知阳边形 中, , 则 (用 表示).20. 已知数列 、 满足 , 求 21. 已知 为实
4、数满足 , 则这样的 有 ( ) 组A. 0B. 2C. 4D. 6参考答案1.【答案】 对于: 选项, 方程的 替换为 或 替换为 , 方程均不改变, 故曲线关于坐标抽轴对称, 也关于原点中 心对称, A 正确;对于 选项, 利用均值不等式, , 解得 , 从而 的取值仅可能 为 . 经检验得, 方程仅 一个整数解, B 正确;对于 选项, 利用均值不等式, , 解得 , 故 选项也正 确;对丁: 选项, 由于: 选项正确, 曲线所围区域的盃积不超过以原点为圆心, 2 为半径的圆的面积, 从而曲线 所围区域的面积小于 错误.2.【答案】B汔意 而由均值不等式, , 解得 , 故(1)式 ,
5、等号什 吋可取. 午是 的最小值为 1 .再由均值不等式, , 解得 , 故(1)式 , 等号在 时可取. 于是 的最大值为 9 .3.【答案】D利用 和 , 得到 .在 中, 令 得到 , 故 .故 .4.【答案】 ACD由于:正整数 在十进制表示下的数位个数为 , 故 , 从而 , 也就说朋 的数 位个数 , 故 , 模 4 不能余 1 , B 选项错误.对于 A 选项, 构造 , 则 , 此时 , 得到 满足要求.对于 C 选项, 构追 , 则 , 故 , 得到 满足要 求.对于 D 选项, 构造 , 则 , 故 , 得到 满足要求.5.【答案】C(1) 先证师下述结论: 中必存在连续三
6、项 ( 和 也算连续三项), 大小单调不增或者单调不減. 利用反 证法, 若不存佉这样的连续三项.不妢设 中的最人数为 , 则 且 .由反证假设, 且 . 故无论 大小关系如何, 或者 按照大小不增关系排序, 或者 , 按照大小不減排序, 矛盾!6.【答案】D不妨设这个十边形是正十边形, 并将十边形放到圆上考虑, 则十个项点在圆等分为 10 段弧. 顺次记十边形的 顶点为 , 任选两点连线穴有 条. 一方面, 从中任选两条线段 (考虑顺序), 具有 种选法.另一方面, 对于线段 , 这两点在圆上距离 段弧.(1)如果两点距离 1 段抓 (即这两点相邻): 则从余下 8 点中任选两点连线, 均与
7、 没有父点, 从而两条线段 没有交点的情况数为 种. 注意距离 1 段弧的两点本身有 10 种情况, 故第一类无交线段的情况数为 280 种.(2)如果两点距离 2 段弧: 则从余下 7 点中任选两点连线, 均与 没有交点, 从而两条线段没有交点的情况数为 种. 注意距离 2 段弧的两点朴身有 10 种情况, 故第一类无交线段的情况数为 210 种.(3)如果两点距离 3 段孤: 注意此时 将整个圆裁成两块, 一块有 2 两个顶点, 一块有 6 个顶点, 从每块 顶点中任选两点连线, 均与 没有交点, 从而没有交点的情况数为 种. 注意距离 3 段弧的两 点本身有 10 种情况, 故第一类无父
8、线段的情况数为 160 种.(4)如果两点距离 4 段弧: 注意此时 将整个圆裁成两块, 一块有 3 两个顶点, 一块有 5 个顶点, 从每块 顶点巾任选两点连线, 均与 没有交点, 从而没有交点的情况数为 种. 泂意距离 4 段弧的两 点本身有 10 种情况, 故第一类无交线段的情况数为 130 种.(5)如果两点距离 5 段弧: 注意此时 将整个圆裁成两块, 一块有 4 两个顶点; 另一块也是 4 个顶点, 从 每块顶点中任选两点连线, 均与 没付交点, 从而没有交点的情况数为 种. 注意距离 5 段弧 的两点本身有 10 种情况, 故第一类无父线段的情况数为 120 种. 综上所述, 所
9、求概率为 .7. 略 8. 略9.【答案】D按照 进行分类计数, 注意 .(1) , 即 , 则 是 的任意非空子集即可, 这样的 共 个;(2) , 则 是剩下 5 个元素的集合的任意子集即可, 这样的 共 个;(3) , 则 是剩下 4 个元素的集合的任意子集即可, 这样的 共 个:此类推, 直至 , 则 只能是空集, 这样的 共 个.综上. 所述, .10.【答案】 使用切点弦方程, 得到 的方程为 , 即 .对于 选项, 由切点弦方程得到 错误.对于: 选项, 将 代入切点弦方程, 得到 的方程为 , B 错误.对于 选项, 联立 方程和拋物线分程, 得到 ., 由弦长公式得到1利用点到直线距离公式, 到直线 的距离 .于是 记 , 则 , 于 是 . 两个最值分别在 和 取到, 均正确.11.【答案】A设 . 在 中, 由正弦定理, 什. 中, 由正弦定理, 代入 , 得到 ,进而 .使用和差化积公式, 得到故 ,再使用积化和学公式, 得到,于是 ,再使用和差化积公式, 得到(1) 若 , 即 , 结合 , 解得 满足要求.(2) 若 , 则 , 式子左侧小于 0 而右侧大丁 0 , 虑盾! 综上所述, .
