1、 热点专题 3 信息迁移问题 信息迁移问题， 近几年来在中考中越来越频繁出现 这种题型只所以受到各大城市的追 捧， 就是因为利用它既能很好地考查学生对课程标准要求知识的掌握情况， 也能更好地考查 学生活学活用的能力， 考查学生把书本知识能否很好地迁移到实际生活和今后的学习新知识 的过程之中这样的题型一般多以解答题大题出现，涉及知识多与特殊图形或函数知识有 关对学生的自学能力要求较高 山东省中考 考试说明要求 国家课程标准要求学生能通过学习掌握一定的提出问题、 分析问题、 解决 问题的能力 掌握几种重要的数学思想类比、转化、归纳、函数等。 灵活运用所学知识，解决生活和以后学习过程中遇到的新问题
2、考向考向 1 函数的概念及性质运用函数的概念及性质运用 1. (2019 山东省威海市)（1）阅读理解 如图，点 A， B 在反比例函数 y的图象上，连接 AB，取线段 AB 的中点 C 分别过点 A， C，B 作 x 轴的垂线，垂足为 E，F，G，CF 交反比例函数 y的图象于点 D点 E，F， G 的横坐标分别为 n1，n，n1（n1） 小红通过观察反比例函数 y的图象，并运用几何知识得出结论： AEBG2CF，CFDF 由此得出一个关于，之间数量关系的命题： 若 n1，则 （2）证明命题小东认为：可以通过“若 ab0，则 ab”的思路证明上述命题 小晴认为：可以通过“若 a0，b0，且
3、ab1，则 ab”的思路证明上述命题 请你选择一种方法证明（1）中的命题 【解析】 （1）AE+BG2CF，CFDF，AE，BG，DF， + 故答案为：+ （2）方法一：+， n1， n（n1） （n+1）0， +0， + 方法二：1， + 2(2019 山东省济宁市)阅读下面的材料： 如果函数 yf（x）满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2， （1）若 x1x2，都有 f（x1）f（x2） ，则称 f（x）是增函数； （2）若 x1x2，都有 f（x1）f（x2） ，则称 f（x）是减函数 例题：证明函数 f（x）（x0）是减函数 证明：设 0x1x2， f（x1）f（x2）
4、 0x1x2， x2x10，x1x20 0即 f（x1）f（x2）0 f（x1）f（x2） 函数 f（x）（x0）是减函数 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数 f（x）+x（x0） ， f（1）+（1）0，f（2）+（2） （1）计算：f（3） ，f（4） ； （2）猜想：函数 f（x）+x（x0）是 函数（填“增”或“减” ） ； （3）请仿照例题证明你的猜想 【解析】 （1）f（x）+x（x0） ， f（3）3，f（4）4 故答案为：， （2）43，f（4）f（3） 函数f（x）+x（x0）是增函数 故答案为：增 （3）设x1x20， f（x1）f（x2）+x1x2（x1x2） （1
5、） x1x20，x1x20，x1+x20， f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2） 函数f（x）+x（x0）是增函数 3(2019 重庆市綦江县)函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类 特殊的函数展开探索画函数 y2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程 得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数 y2|x|+2 和 y2|x+2|的图象如图所 示 x 3 2 1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 2 4 6 （1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝 对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和
6、对称轴发生了变 化写出点A，B的坐标和函数 y2|x+2|的对称轴 （2）探索思考：平移函数 y2|x|的图象可以得到函数 y2|x|+2 和 y2|x+2|的图 象，分别写出平移的方向和距离 （3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数 y2|x3|+1 的图象若点（x1， y1）和（x2，y2）在该函数图象上，且 x2x13，比较 y1，y2的大小 【解析】 （1）A（0，2） ，B（2，0） ，函数y2|x+2|的对称轴为x2； （2）将函数y2|x|的图象向上平移 2 个单位得到函数y2|x|+2 的图象； 将函数y2|x|的图象向左平移 2 个单位得到函数y2|x+2|的图象；
7、（3）将函数y2|x|的图象向上平移 1 个单位，再向右平移 3 个单位得到函数y2|x 3|+1 的图象 所画图象如图所示，当x2x13 时，y1y2 4(2019 河南省)模具厂计划生产面积为 4，周长为 m 的矩形模具对于 m 的取值范围，小 亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为 x，y，由矩形的面积为 4，得 xy4，即 y；由周长为 m， 得 2（x+y）m，即 yx+满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内 交点的坐标 （2）画出函数图象 函数 y （x0） 的图象如图所示， 而函数 y
8、x+的图象可由直线 yx 平移得到 请 在同一直角坐标系中直接画出直线 yx （3）平移直线 yx，观察函数图象 当直线平移到与函数 y（x0） 的图象有唯一交点 （2， 2） 时， 周长 m 的值为 ； 在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 m 的取值范 围 （4）得出结论 若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长 m 的取值范围为 【解析】 （1）x，y都是边长，因此，都是正数， 故点（x，y）在第一象限， 答案为：一； （2）图象如下所示： （3）把点（2，2）代入yx+得： 22+，解得：m8； 在直线平移过程中，交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况
9、， 联立y和yx+并整理得：x 2 mx+40， m 2440 时，两个函数有交点， 解得：m8； （4）由（3）得：m8 5. (2019 辽宁省大连市)把函数 2 1: 23 (0)Cyaxaxa a的图象绕点( ,0)P m旋转180， 得到新函数 2 C的图象，我们称 2 C是 1 C关于点P的相关函数 2 C的图象的对称轴与x轴交 点坐标为( ,0)t （1）填空：t的值为 （用含m的代数式表示） （2）若1a ，当 1 2 x t剟时，函数 1 C的最大值为 1 y，最小值为 2 y，且 12 1yy，求 2 C的 解析式； （3）当0m 时， 2 C的图象与x轴相交于A，B两点（
10、点A在点B的右侧） 与y轴相交于 点D把线段AD原点O逆时针旋转90，得到它的对应线段A D ，若线A D 与 2 C的图象 有公共点，结合函数图象，求a的取值范围 【解析】 （1） 22 1: 23(1)4Cyaxaxaa xa， 顶点(1, 4 )a围绕点( ,0)P m旋转180的对称点为(21,4 )ma， 2: (21)24Cya xma ，函数的对称轴为：21xm， 21tm， 故答案为：21m ； （2）1a 时， 2 1: (1)4Cyx， 当 1 1 2 t 时， 1 2 x 时，有最小值 2 15 4 y ， xt时，有最大值 2 1 (1)4yt ， 则 2 12 15
11、(1)41 4 yyt ，无解； 3 1 2 t剟时， 1x 时，有最大值 1 4y ， 1 2 x 时，有最小值 2 2 (1)4yt， 12 1 1 4 yy（舍去） ； 当 3 2 t 时， 1x 时，有最大值 1 4y ， xt时，有最小值 2 2 (1)4yt， 2 12 (1)1yyt， 解得：0t 或 2（舍去0)， 故 22 2: (2)44Cyxxx； （3）0m ， 2 2: (1)4Cya xa， 点A、B、D、A、D的坐标分别为(1,0)、( 3,0)、(0,3 )a、(0,1)、( 3 ,0)a， 当0a 时，a越大，则OD越大，则点D越靠左， 当 2 C过点A时，
12、2 (0 1)41yaa，解得： 1 3 a ， 当 2 C过点D时，同理可得：1a ， 故： 1 0 3 a 或1a； 当0a 时， 当 2 C过点D时，31a，解得： 1 3 a ， 故： 1 3 a； 综上，故： 1 0 3 a 或1a或 1 3 a 考向考向 2 特殊几何图形的性质运用特殊几何图形的性质运用 1(2019 山东省东营市)如图 1，在 RtABC中，B90，AB4，BC2，点D、E分别 是边BC、AC的中点，连接DE将CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为 （1）问题发现 当0时， ；当180时， （2）拓展探究 试判断：当 0360时，的大小有无变化？请仅就图 2 的情
13、形给出证明 （3）问题解决 CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长 【解析】 （1）当0时， RtABC中，B90， AC2， 点D、E分别是边BC、AC的中点， AEAC，BDBC1， 如图 11 中， 当180时，可得ABDE， ， 故答案为：， （2）如图 2， 当 0360时，的大小没有变化， ECDACB， ECADCB， 又， ECADCB， （3）如图 31 中，当点E在AB的延长线上时， 在 RtBCE中，CE，BC2， BE1， AEAB+BE5， ， BD 如图 32 中，当点E在线段AB上时， 易知BE1，AE413， ，BD， 综上所述，
14、满足条件的BD的长为 2(2019 山东省威海市) （1）方法选择 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，ABBCAC求证：BDAD+CD 小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DMAD，连接AM 小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DNAD 请你选择一种方法证明 （2）类比探究 探究 1 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，BC是O的直径，ABAC试用 等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论 探究 2 如图， 四边形ABCD是O的内接四边形， 连接AC，BD 若BC是O的直径， ABC30， 则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是
15、 （3）拓展猜想 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD若BC是O的直径，BC：AC：AB a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 【解析】 （1）方法选择：ABBCAC， ACBABC60， 如图，在BD上截取DEMAD，连接AM， ADBACB60， ADM是等边三角形， AMAD， ABMACD， AMBADC120， ABMACD（AAS） ， BMCD， BDBM+DMCD+AD； （2）类比探究：如图， BC是O的直径， BAC90， ABAC， ABCACB45， 过A作AMAD交BD于M， ADBACB45， ADM是等腰直角三角形， AMAD，AM
16、D45， DMAD， AMBADC135， ABMACD， ABMACD（AAS） ， BMCD， BDBM+DMCD+AD； 探究 2 如图，若BC是O的直径，ABC30， BAC90，ACB60， 过A作AMAD交BD于M， ADBACB60， AMD30， MD2AD， ABDACD，AMBADC150， ABMACD， ， BMCD， BDBM+DMCD+2AD； 故答案为：BDCD+2AD； （3）拓展猜想：BDBM+DMCD+AD； 理由：如图，若BC是O的直径， BAC90， 过A作AMAD交BD于M， MAD90， BAMDAC， ABMACD， ， BMCD， ADBACB，
17、BACNAD90， ADMACB， ， DMAD， BDBM+DMCD+AD 故答案为：BDCD+AD 3(2019 吉林省)性质探究 如图，在等腰三角形ABC中，ACB120，则底边AB与腰AC的长度之比为 理解运用 （1）若顶角为 120的等腰三角形的周长为 8+4，则它的面积为 ； （2）如图，在四边形EFGH中，EFEGEH 求证：EFG+EHGFGH； 在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN若FGH120，EF10，直接写出线段MN 的长 类比拓展 顶角为 2的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 （用含的式子表示） 【解析】 作CDAB于D，如图所示： 则ADCBDC90， AC
18、BC，ACB120， ADBD，AB30， AC2CD，ADCD， AB2AD2CD， ； 故答案为：； 理解运用 （1）解：如图所示： 同上得：AC2CD，ADCD， AC+BC+AB8+4， 4CD+2CD8+4， 解得：CD2， AB4， ABC的面积ABCD424； 故答案为：4 （2）证明：EFEGEH， EFGEGF，EGHEHG， EFG+EHGEGF+EGHFGH； 解：连接FH，作EPFH于P，如图所示： 则PFPH，由得：EFG+EHGFGH120， FEH360120120120， EFEH， EFH30， PEEF5， PFPE5， FH2PF10， 点M、N分别是FG
19、、GH的中点， MN是FGH的中位线， MNFH5； 类比拓展 解：如图所示：作ADBC于D， ABAC， BDCD，BADBAC， sin， BDABsin， BC2BD2ABsin， 2sin； 故答案为：2sin 4(2019 山东省青岛市)问题提出： 如图，图是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图是一张 ab 的方格 纸（ab 的方格纸指边长分别为 a，b 的矩形，被分成 ab 个边长为 1 的小正方形，其中 a 2，b2，且 a，b 为正整数） 把图放置在图中，使它恰好盖住图中的三个小正方 形，共有多少种不同的放置方法？ 问题探究： 为探究规律，我们采用一般问题特殊
20、化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后 得出一般性的结论 探究一： 把图放置在 22 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放 置方法？ 如图，对于 22 的方格纸，要用图盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放置 方法 探究二： 把图放置在 32 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放 置方法？ 如图，在 32 的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 2方格，依据探究一的结论 可知，把图放置在 32 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 248 种不同的放置方法 探究三： 把图放置在 a2 的方格纸中，使它恰好盖
21、住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放 置方法？ 如图，在 a2 的方格纸中，共可以找到 个位置不同的 22 方格，依据探究一的 结论可知，把图放置在 a2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法 探究四： 把图放置在 a3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放 置方法？ 如图，在 a3 的方格纸中，共可以找到 个位置不同的 22 方格，依据探究一的 结论可知，把图放置在 a3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法 问题解决： 把图放置在 ab 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放
22、置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图 ） 问题拓展： 如图，图是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图是一个长、宽、高分别为 a，b，c（a2，b2，c2，且 a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了 abc 个棱长 为 1 的小立方体在图的不同位置共可以找到 个图这样的几何体 【解析】 探究三： 根据探究二，a2 的方格纸中，共可以找到（a1）个位置不同的 22 方格， 根据探究一结论可知，每个 22 方格中有 4 种放置方法，所以在a2 的方格纸中，共可以 找到（a1）4（4a4）种不同的放置方法； 故答案为a1，4a4； 探究四： 与探究三相比，本题矩形的宽
23、改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a1）条边 长为 2 的线段， 同理，边长为 3，则有 312 条边长为 2 的线段， 所以在a3 的方格中，可以找到 2（a1）（2a2）个位置不同的 22 方格， 根据探究一，在在a3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a2） 4（8a8）种不同的放置方法 故答案为 2a2，8a8； 问题解决： 在 ab 的方格纸中，共可以找到（a1） （b1）个位置不同的 22 方格， 依照探究一的结论可知，把图放置在 ab 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方 形，共有 4（a1） （b1）种不同的放置方法； 问题拓展： 发现图示是棱长为 2 的正方体中的一部分，利用前面的思路， 这个长方体的长宽高分别为 a、b、c，则分别可以找到（a1） 、 （b1） 、 （c1）条边长为 2 的线段， 所以在 abc 的长方体共可以找到 （a1）（b1）（c1） 位置不同的 222 的正方体， 再根据探究一类比发现，每个 222 的正方体有 8 种放置方法， 所以在 abc 的长方体中共可以找到 8（a1） （b1） （c1）个图这样的几何体； 故答案为 8（a1） （b1） （c1）
