1、 类型二类型二 二次函数与角度问题二次函数与角度问题 例 1、已知抛物线 2 yaxbxc 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边） ，与y 轴交于点 (0C ，3)，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线 5yx 经过D、M两点. （1） 求此抛物线的解析式； （2）连接AM、AC、BC，试比较MAB和 ACB 的大小，并说明你的理由. 【答案】解： （1）CDx 轴且点 C（0，3） ， 设点 D 的坐标为(x，3) 直线 y= x+5 经过 D 点， 3= x+5x=2 即点 D(2，3) 根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为 M（1，y） ， 又直线 y= x
2、+5 经过 M 点， y =1+5，y =4即 M（1，4） 设抛物线的解析式为 2 (1)4ya x 点 C（0，3）在抛物线上，a=1 即抛物线的解析式为 2 23yxx 3 分 （2）作 BPAC 于点 P，MNAB 于点 N 由（1）中抛物线 2 23yxx 可得 点 A（3，0） ，B（1，0） ， AB=4，AO=CO=3，AC=3 2 PAB45 ABP=45 ，PA=PB=2 2 PC=ACPA= 2 在 Rt BPC 中，tanBCP= PB PC=2 在 Rt ANM 中，M（-1，4） ，MN=4AN=2 tanNAM= MN AN=2 BCPNAM x y 8 8 3
3、4 5 6 7 2 1 75 64321 -10 -9 -1 -2 -4 -3 -5 -6 -7 -8 -8 -7 -6 -5-3-4-2 -1O 即ACBMAB 例 2、在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 3yaxbx经过点 N（2,5） ，过点 N 作 x 轴的平行线交此抛物线左侧于点 M，MN=6. （1）求此抛物线的解析式； （2）点 P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当 DMN 为 直角三角形时，求点 P 的坐标； （3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使QMN=CNM ？若存在， 求出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 【答案
4、】解： （1）3 2 bxaxy过点 M、N（2，5） ，6MN， 由题意，得 M（4，5）. . 53416 , 5324 ba ba 解得 . 2 , 1 b a 此抛物线的解析式为32 2 xxy. 2 分 （2）设抛物线的对称轴1x交 MN 于点 G， 若 DMN 为直角三角形，则3 2 1 21 MNGDGD. D1（1，2） ， 2 D（1，8）. 4 分 直线 MD1为1 xy，直线 2 MD为9xy. 将 P（x，32 2 xx）分别代入直线 MD1， 2 MD的解析式， x y P2 D2 D1 G MN C O P1 得132 2 xxx，932 2 xxx. 解得 1 1
5、 x，4 2 x（舍） ， 1 P（1,0）. 5 分 解得 3 3 x，4 4 x（舍） ， 2 P（3,12）. 6 分 （3）设存在点 Q（x，32 2 xx） ， 使得QMN=CNM. 若点 Q 在 MN 上方，过点 Q 作 QHMN， 交 MN 于点 H，则4tanCNM MH QH . 即）（44532 2 xxx. 解得2 1 x，4 2 x（舍）. 1 Q（2，3）. 7 分 若点 Q 在 MN 下方， 同理可得 2 Q（6，45）. 8 分 例 3、平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 44yaxaxac与 x 轴交于点 A、点 B，与 y 轴的正半轴交于点 C，点 A 的
6、坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为 D (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点 P 满足APB=ACB，求点 P 的坐标； (3) Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于AQB 的平分线的对称点为 A ，若2QBQA， 求点 Q 的坐标和此时QAA的面积 x y H Q MN C O 【答案】（1） 22 44(2)yaxaxaca xc， 抛物线的对称轴为直线2x 抛物线 2 44yaxaxac与 x 轴交于 点 A、点 B，点 A 的坐标为(1,0)， 点 B 的坐标为(3,0)，OB3 1 分 可得该抛物线的解析式为(1)(3)ya xx OB=OC，
7、抛物线与 y 轴的正半轴交于点 C， OC=3，点 C 的坐标为(0,3) 将点 C 的坐标代入该解析式，解得 a=12 分 此抛物线的解析式为 2 43yxx （如图 9） 3 分 （2）作 ABC 的外接圆E，设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为点 F，设E 与抛 物线的对称轴位于 x 轴上方的部分的交点为点 1 P， 点 1 P关于 x 轴的对称点为点 2 P，点 1 P、点 2 P均为所求点.（如图 10） 可知圆心 E 必在 AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x 上 1 APB、ACB都是弧 AB 所对的圆周角， ACBBAP 1 ，且射线 FE 上的其它点 P 都不满足ACB
8、APB 由（1）可知 OBC=45 ，AB=2，OF=2 可得圆心 E 也在 BC 边的垂直平分线即直线yx上 点 E 的坐标为(2,2)E 4 分 图 9 x y O 1 D C BA 由勾股定理得 5EA 1 5EPEA 点 1 P的坐标为 1(2,2 5)P 5 分 由对称性得点 2 P的坐标为 2(2, 2 5)P 6 分 符合题意的点 P 的坐标为 1(2,2 5)P、 2(2, 2 5)P . （3） 点 B、D 的坐标分别为(3,0)B、(2, 1)D， 可得直线 BD 的解析式为3yx，直线 BD 与 x 轴所夹的锐角为 45 点 A 关于AQB 的平分线的对称点为 A ， （
9、如图 11） 若设 AA 与AQB 的平分线的交点为 M， 则有 QA QA ，AMA M，AAQM ，Q，B， A 三点在一条直线上 2QAQB， . 2QBQAQBQABA 作ANx 轴于点 N 点 Q 在线段 BD 上， Q，B， A 三点在一条直线上， sin451ANBA，cos451BN BA 点 A 的坐标为(4,1) A 点 Q 在线段 BD 上， 设点 Q 的坐标为( ,3)Q x x，其中23x QA QA ， 由勾股定理得 2222 (1)(3)(4)(3 1)xxxx 解得 11 4 x 经检验， 11 4 x 在23x的范围内 点 Q 的坐标为 111 (,) 44
10、Q 7 分 此时 1115 ()2 (1) 2244 QAAA ABQABAQ SSSAByy 8 分 例 4、已知，抛物线cbxaxy 2 与 x 轴交于点 A（2,0） 、B（8,0） ，与 y 轴交于点 C （0，4） 。直线 y=x+m 与抛物线交于点 D、E（D 在 E 的左侧） ，与抛物线的对称点交于 点 F。 （1）求抛物线的解析式； （2）当 m=2 时，求DCF 的大小； （3）若在直线 y=x+m 下方的抛物线上存在点 P，使DPF450，且满足条件的点 P 只有两 个，则 m 的值为_.（第（3）问不要求写解答过程） 【答案】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 y=a（
11、x+2）（x-8）， 抛物线与 y 轴交于点 C（0，-4）， -4=a（0+2）（0-8） 解得 a= 4 1 抛物线的解析式为 y= 4 1 (x+2)(x-8)，即 y= 4 1 x2- 2 3 x-4； （2）由（1）可得抛物线的对称轴为 x=3， m=2， 直线的解析式为 y=x+2， 直线 y=x+2 与抛物线交于点 D、E，与抛物线的对称轴交于点 F， F、D 两点的坐标分别为 F（3，5），D（-2，0） 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 M， 可得 CM=FM=MD=5， F、D、C 三点在以 M 为圆心，半径为 5 的圆上 DCF= 2 1 DMF=45 （3）由抛物线解
12、析式可知，抛物线顶点坐标为 G（3，- 4 25 ） 设 F（3，3+m），则 FG=m+3+ 4 25 ，设 D 关于对称轴的对称点为 D1， 当四边形 DGD1F 为正方形时，满足题意，此时 P 点与顶点 G 重合，或者与 D1重合， 故 DD1=FG， D 点横坐标为： x=- （ 2 1 FG-3） =- 8 134m ， 纵坐标为- （ 2 1 FG-3-m） = 8 134m ， 将 D 点坐标抛物线解析式，解得 m=- 4 5 例 5、如图，抛物线 两点轴交于与BAxbxaxy,3 2 ，与 y 轴交于点C，且 OAOCOB3 （I）求抛物线的解析式； （II）探究坐标轴上是否存
13、在点P，使得以点 CAP, 为顶点的三角形为直角三角形？ 若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由； （III）直线 1 3 1 xy 交 y 轴于D点，E为抛物线顶点若DBC， 求,CBE 的值 【答案】解： （I） 3, 03 2 点轴交与抛物线Cybxaxy ，且OAOCOB3 )0 , 3(,0 , 1BA 代入 3 2 bxaxy ，得 1 2 03 0339 a b ba ba 32 2 xxy （II）当 1 90,PAC时 可证 AOP 1 ACO 3 1 ta nta n 11 A C OAOPAOPRt中， ) 3 1 , 0( 1 P 同理: 如图当 )0 , 9(90
14、 22 PCAP时， 当 )0 , 0(90 33 PACP时， 综上，坐标轴上存在三个点P，使得以点 CAP, 为顶点的三角形为直角三角形，分别 是 ) 3 1 , 0( 1 P )0 , 9( 2 P ， )0 , 0( 3 P （III） 1 ,0, 1 3 1 Dxy得由 4, 132 2 Exxy，得顶点由 52, 2, 23BECEBC 为直角三角形BCEBE,CEBC 222 3 1 tan CB CE 又 3 1 tan OB OD DBODOBRt中 DBO 45OBCDBO 例 6、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y=ax28ax16a 6 经过点 B（0
15、，4）. 求抛物线的解析式； 设抛物线的顶点为 D，过点 D、B 作直线交 x 轴于点 A，点 C 在抛物线的对 称轴上，且 C 点的纵坐标为-4，联结 BC、AC.求证：ABC 是等腰直角三角形； 在的条件下， 将直线 DB 沿 y 轴向下平移， 平移后的直线记为 l ， 直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，是否存在直线 l，使ABC 是直角三角形，若存 在求出 l 的解析式，若不存在，请说明理由 D C A B Ox y 图（1） D C A B Ox y 备用图 【答案】解：由题意知：4616a 解得：a 8 1 抛物线的解析式为：4 8 1 2 xxy-1 分 证明 ：由抛
16、物线的解析式知:顶点 D 坐标为（4,6） 点 C 的纵坐标为4，且在抛物线的对称轴上 C 点坐标为(4，4) 设直线 BD 解析式为：04kkxy 有：44-6k， 2 1 k BD 解析式为4 2 1 xy 直线 BD 与 x 轴的交点 A 的坐标为（8,0） 过点 C 作 CEy轴于点 E，则 CE=4，BE=8 又OB=4，OA=8, CE=OB,BE=OA,CEB=BOA=90 CEBBOA(SAS)-2 分 CB=AB, 1=2 2+3=90 ，2+3=90 1+3=90 ，即ABC=90 ABC 是等腰直角三角形-3 分 存在.当CAB=90时，如图 1 所示， 3 2 1 E
17、D C A B Ox ABAB OAB=BAO 易证:ECA=OAB ECA=BAO tanBAO= 2 1 tanECA= 2 1 EA=2 A坐标为(2,0) 直线 l 解析式为1 2 1 xy-5 分 当ACB=90时，如图 2 所示， 过点 C 作 CEy轴于点 E， 易证 AFC BEC AF=BE 由tanBAO= 2 1 设 B坐标为（0，n） 有 2 1 44 n n 3 8 n B坐标为（0， 3 8 ） 直线 l 解析式为 3 8 2 1 xy-7 分 例 7、已知：抛物线 yx22xm-2 交 y 轴于点 A（0，2m-7） 与直线 y2x 交于点 B、 C（B 在右、C
18、 在左） （1）求抛物线的解析式； （2） 设抛物线的顶点为 E， 在抛物线的对称轴上是否存在一点 F， 使得BFECFE， 若存在，求出点 F 的坐标，若不存在，说明理由； （3）射线 OC 上有两个动点 P、Q 同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒 A D C E A B O x y B 图图 1 A E D C F A B O x y B 图图 2 25个单位长度的速度沿射线 OC 运动，以 PQ 为斜边在直线 BC 的上方作直角三角 形 PMQ（直角边分别平行于坐标轴） ，设运动时间为 t 秒，若 PMQ 与抛物线 y x22xm-2 有公共点，求 t 的取值范围 【答案】解：
19、 （1）点 A（0，2m-7）代入 yx22xm-2，得 m=5 抛物线的解析式为 yx22x3 2 分 （2）由 xy xxy 2 32 2 得 32 3 y x ， 32 3 y x B（32, 3） ，C（32, 3 ） B（32, 3）关于抛物线对称轴1x的 对称点为)32, 32( B 可得直线CB的解析式为32632xy， 由 1 32632 y xy ，可得 6 1 y x )6 , 1 (F 5 分 （3）当)2,2(ttM在抛物线上时，可得0324 2 tt， 4 131 t， 当)2,(ttP在抛物线上时，可得3 2 t，3t， y x O 舍去负值，所以 t 的取值范围是3 4 131 t8 分
