1、初中数学九年级上册初中数学九年级上册（苏科版）（苏科版）5.2 圆的对称性（一）圆的对称性（一）圆的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形圆是轴对称图形,它有无数条对称轴它有无数条对称轴.n圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心.n一个圆绕着它的圆心旋转任意一一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度个角度,都能与原来的图形重合都能与原来的图形重合.O O 图 1 图 2 实验：将图形实验：将图形1 1中的扇形中的扇形AOBAOB绕点绕点O O逆时针旋转某个角度，得到图逆时针旋转某个角度，得到图2 2中中的图形，同学们可以通过比较前后的图形，同学们可以通过比较前后两个
2、图形，发现两个图形，发现AOBAOB与与A AOBOB、ABAB与与ABAB、有何关系？有何关系？目标导学目标导学1：圆心角圆心角 圆心角圆心角 顶点在圆心的角顶点在圆心的角(如如AOB).弦心距弦心距 过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的圆心与垂足之间的 距离距离(如线段如线段OD).DOABBA若若AOB=AOB则则AB=ABAB=AB在同圆在同圆或等圆或等圆中，中，相相等的圆等的圆心角心角所所对的对的弧弧相等相等，所对的所对的弦相等弦相等。AB=ABAB =AB AB=ABAB =AB AB=ABAB =AB 1.2.3.在在同圆或等圆同圆或等圆中，中，如果两个如果两个圆心
3、角圆心角，两条，两条弧弧，两条，两条弦弦中有一组量相等，中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组都分别相等。那么它们所对应的其余各组都分别相等。圆心角、弧、弦之间的关系ABCDOE圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ABCDO 如果如果 AB=CD，则图中有哪些弧等？则图中有哪些弧等？AB=CD AC=BD？AC=BD？AB+BC CD+BC=AC=BD 1弧弧n1n弧弧把圆心角等分成把圆心角等分成360份份,则每一份的则每一份的圆心角是圆心角是1.同时整个圆也被分成了同时整个圆也被分成了360份份.则每一份这样的弧叫做则每一份这样的弧叫做1的弧的弧.这样这样,1的圆心角对着的圆心角对着1的弧的弧
4、,1的弧对着的弧对着1的圆心角的圆心角.n 的圆心角对着的圆心角对着n的弧的弧,n 的弧对着的弧对着n的圆心角的圆心角.性质性质:圆心角的度数与它所对弧的度数相等圆心角的度数与它所对弧的度数相等.思考：能写成思考：能写成吗？吗？OABAB下面的说法正确吗下面的说法正确吗?为什么为什么?，BOAAOB根据圆心角、弧、弦、根据圆心角、弧、弦、关系定理可知：关系定理可知：BAAB如图如图,因为因为度数相等的角是等角，但度度数相等的角是等角，但度数相等的弧不一定是等弧数相等的弧不一定是等弧（除非在同圆或等圆中）。（除非在同圆或等圆中）。1 2一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的 圆心角为_。3.O
5、中，直径ABCD弦，则BOD=_。4.在 O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 _ 5.如图，AB是直径，BOC40，AOE的度数是 。12ABDBCCDDE AC=BD如图,在 O中,1=30,则2=_巩固练习巩固练习1、已知、已知A、B是是O O上的两点，上的两点，AOB=120AOB=120，C C是弧是弧ABAB的中点，试确定四边形的中点，试确定四边形OACBOACB的的形形 状，并说明理由。状，并说明理由。2、在平行四边形、在平行四边形ABCD中，以中，以A为圆心，为圆心，AB长为半径的圆分别交长为半径的圆分别交AD、BC于于F、G，交交BA的延长线于的延长线于E，求证
6、：，求证：EF=FG例1：如图在ABC中，AD，DE的度数。EDCBA例2：如图,AB,AC,BC都是O的弦，CBAO解：.OABCD（1）若若AB=2CD，那么弦，那么弦AB=2CD吗？吗？AOB=2 COD吗？吗？F.OABCD（2）若若AOB=2 COD，那么那么AB=2CD吗？吗？弦弦AB=2CD吗？吗？FOABCD2.如图，如图，AC与与BD为为 O的两条互的两条互 相垂直的直径相垂直的直径.求证：求证：AB=BC=CD=DA;AB=BC=CD=DA.AB=BC=CD=DA 证明证明:AC与与BD为为 O的两条互相垂直的直的两条互相垂直的直径径,AOB=BOC=COD=DOA=90A
7、B=BC=CD=DA(圆心角定理圆心角定理)分析分析证明证明分析：要想证明在圆里面有关弧、弦相等，根据这分析：要想证明在圆里面有关弧、弦相等，根据这节课所学节课所学 的圆心角定理，应先证明什么相等？的圆心角定理，应先证明什么相等？如图，AB是 O的直径，C是 O上一点，OD是半径，且OD/AC求证：CDBD如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB=AC，AD是是 O的直的直径，试判断弦径，试判断弦BD和和CD是否相等，并说明理由是否相等，并说明理由.解析：要判断解析：要判断BD与与CD是否是否相等，途径有二：一看相等，途径有二：一看BD与与CD是否相等，二看是否相等，二看BOD与与COD是否相等。
8、是否相等。显然，两条途径均可。显然，两条途径均可。3,如图如图:在圆在圆O中，已知中，已知AC=BD，试说明：试说明：（1）OC=OD （2）AE=BFFECOABD图 如图，MN为半圆O的直径，半径OAMN,D为OA的中点，过点D作BC/MN，求证：(1)四边形ABOC为菱形；(2)MNB=BAC.如图，点O是EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD.ABCDOEFP 例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？创新探究创新探究 1.1.如图，在如图，在O O中，弦中，弦AB=CDAB=CD，ABAB的延长线的延长线与与CDCD
9、的延长线相交于点的延长线相交于点P P，直线，直线OPOP交交O O于点于点E E、F.F.你以为你以为APEAPE与与CPECPE有什么大小关系？为什有什么大小关系？为什么？么？A AE EC CN NM MB BD DP PO O图2.已知已知A,B是是 O上的两点上的两点,AOB=1200,C是是 的中点的中点,试确定四边形试确定四边形OACB的形状的形状,并说明理由并说明理由.AB 1、一条弦把圆分成、一条弦把圆分成1：3两部分，则优弧两部分，则优弧所对的圆心角为所对的圆心角为_。3 3：等边三角形：等边三角形ABCABC内接于内接于 O,连结连结OA、OB、OC延长延长AO，分别交，
10、分别交BC于点于点P，BC于点于点D，连结连结BD,CD.(1)判断四边形判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，是哪一种特殊四边形，并说明理由。并说明理由。（2）若）若 O的半径为的半径为r,求等边三角形的边长？求等边三角形的边长？4：顺次连结：顺次连结 O的两条直径的两条直径Ac和和BD的端点，所得的四边形是什么特殊四的端点，所得的四边形是什么特殊四边形？如果要把直径为边形？如果要把直径为30cm的圆柱形的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长果这根原木长15m，问锯出地木材地，问
11、锯出地木材地体积为多少立方米？体积为多少立方米？如图，如图，O中两条相等的弦中两条相等的弦AB、CD分别分别延长到延长到E、F，使，使BE=DF。求证：求证：EF的垂直平分线必经过点的垂直平分线必经过点O。FENMODCBA图综合应用 如图，AB是 O的直径，C，D是圆上两点，且AB4，ACCD1，求BD的长.ODCBA试一试 1.如图，AB是 O的直径，弦PQ交AB于点M，且PMOM，求证：2.如图，O的半径OP5，E是OP上的点，且EP2，MN经过点E，ME EN1 2，OFMN于F，求OF的长.AP=13BQQPMOBAFENPMO1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。2.在在同圆或等圆同圆或等圆中，中，如果两个如果两个圆心角圆心角，两条，两条弧弧，两条，两条弦弦中有一组量相等，中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组都分别相等。那么它们所对应的其余各组都分别相等。圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。3.
