1、第六讲 不等式（组）的解法 知识点一知识点一 等式的性质等式的性质 性质性质 1：等式两边加等式两边加(或减或减)同一个数同一个数(或式子或式子)，结果仍相，结果仍相 等即：如果等即：如果 ab，那么，那么 a cb c. 性质性质 2： 等式两边乘同一个数， 或除以同一个不为等式两边乘同一个数， 或除以同一个不为 0 的数，的数， 结果仍相等即：结果仍相等即：如果如果 ab，那么，那么 acbc；如果如果 a b(c0)，那么，那么a c b c. 1方程：含有未知数的_叫方 程 2方程的解：使方程左右两边_ 的未知数的值叫方程的解(只含有一个未知 数的方程，其解也叫根) 3列方程：根据题中
2、所要求的量，设出 直接未知数或间接未知数，分析题中所给的 等量关系，列出含未知数的等式就是列方 程 知识点二知识点二 方程与方程的解方程与方程的解 等式等式 相等相等 1一元一次方程是指含有一个_， 并且未知数的最高次数是_次的整式方 程 2判断一个方程是否为一元一次方程， 一定要把它化到最简，然后再看：(1)是否只 含有一个未知数；(2)未知数的次数是1；(3)系 数不为0.只有这三个条件同时满足才是一元一 次方程 知识点三知识点三 一元一次方程及解法一元一次方程及解法 未知数未知数 一一 3一元一次方程的解法 步骤步骤 具体做法具体做法 去分母去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数在方
3、程两边都乘以各分母的最小公倍数(若若 未知数的系数含有分母，则先去分母未知数的系数含有分母，则先去分母) 去括号去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(若若 方程含有括号，则去括号方程含有括号，则去括号) 移项移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他把含有未知数的项都移到方程的一边，其他 项都移到方程的另一边，注意移项时一定要项都移到方程的另一边，注意移项时一定要 改变符号改变符号 合并同类项合并同类项 把方程化成把方程化成 axb(a0)的形式的形式 系数化系数化 为为 1 方程两边都除以未知数的系数方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程，得到
4、方程 的解的解 xb a(把一元一次方程转化成 把一元一次方程转化成“xm” 的形式的形式) 1概念：二元一次方程是指方程中含有 _个未知数，并且每个未知数的次数 是_次的整式方程二元一次方程组 是由两个二元一次方程组成的方程组 2解二元一次方程组的基本思想是 _ 3解二元一次方程组的两种基本解法： _，_ 知识点四知识点四 二元一次方程二元一次方程(组组)及解法及解法 两两 一一 消元消元 代入消元法代入消元法 加减消元法加减消元法 4图象法解二元一次方程组 (1)将二元一次方程组中的两个方程转化为 一次函数表达式 (2)在同一坐标系中作出这两个函数的图 象 (3)两图象(两条直线)的交点坐
5、标即为所求 方程的解 【注意】图象法一般得到的是方程的近 似解；当图象中的两条直线平行时，这个 方程组无解，当两条直线重合时，这个方程 组有无穷组解 1一次方程(组)解应用题的关键是将实际 问题转化成数学问题，建立方程模型 2列方程(组)解应用题的一般步骤： (1)把握题意，搞清楚什么是条件，求什 么 (2)设未知数：a.直接设未知数，问什么， 设什么，b.间接设未知数 知识点五知识点五 一次方程一次方程(组组)的应用的应用 (3)找出能包含未知数的等量关系(一般情 况下设几个未知数，就找几个等量关系) (4)列出方程(组) (5)求出方程(组)的解(注意排除增根) (6)验根(看是否符合题意
6、) (7)写出答案(包括单位、名称) 3一元一次方程应用的常见题型 常见题型常见题型 重要的关系式重要的关系式 销售打销售打 折问题折问题 利润售价成本价，利润率利润售价成本价，利润率 利润利润 成本价成本价 100% 储蓄利储蓄利 息问题息问题 利息本金利息本金利率利率期数，本息和本金利息期数，本息和本金利息 本金本金(1利率利率期数期数) 利息税利息利息税利息税率税率 贷款利息贷款额贷款利息贷款额利率利率期数期数 工程问题工程问题 工作量工作效率工作量工作效率工作时间工作时间 常见题型常见题型 重要的关系式重要的关系式 浓度问题浓度问题 浓度浓度溶质的质量 溶质的质量 体积体积 溶液的质量
7、溶液的质量 体积体积 100% 比例问题比例问题 各分量之和总量各分量之和总量 年龄问题年龄问题 两个人的年龄差不变两个人的年龄差不变 行程问题行程问题 相遇问题：全路程甲走的路程乙走的路程相遇问题：全路程甲走的路程乙走的路程 追及问题：同地不同时出发：前者走的路程追及问题：同地不同时出发：前者走的路程 追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路 程两地间距离追者走的路程程两地间距离追者走的路程 水中航行问题：顺水速度静水速度水流速水中航行问题：顺水速度静水速度水流速 度；逆水速度静水速度水流速度度；逆水速度静水速度水流速度 1分式方程的概念分式方程的概念
8、 _中含有未知数的方程叫分式方程中含有未知数的方程叫分式方程 2解分式方程解分式方程 (1)基本思想：分式方程基本思想：分式方程 去分母去分母 整式方程整式方程 将方程将方程 1 x2 4 x2 0 化为整式方程为化为整式方程为_ _. 知识点五知识点五 分式方程分式方程 分母分母 x24(x2) 0 (2)去分母解分式方程的一般步骤： 步骤步骤 做法做法 示例：示例： x x1 3 x 1 去去 分分 母母 在方程两边都乘以各分母的在方程两边都乘以各分母的 最简公分母最简公分母(若未知数的系若未知数的系 数含有分母，则先去分母数含有分母，则先去分母) x23(x1) x(x1) 去去 括括
9、号号 先去小括号，再去中括号，先去小括号，再去中括号， 最后去大括号最后去大括号(若方程含有若方程含有 括号，则去括号括号，则去括号) x23x3x2x 移项移项 把含有未知数的项移到方程把含有未知数的项移到方程 的一边，其他项移到方程的的一边，其他项移到方程的 另一边，注意移项时一定要另一边，注意移项时一定要 改变符号改变符号 x2x23xx3 步骤步骤 做法做法 示例：示例： x x1 3 x 1 合并合并 同类项同类项 把方程化成把方程化成axb(a0)的的 形式形式 2x3 系数系数 化为化为1 方程两边都除以未知数的系方程两边都除以未知数的系 数，得到方程的解数，得到方程的解xb a
10、(把 把 一元一次方程转化成一元一次方程转化成“x m”的形式的形式) x3 2 检验检验 把求得的把求得的x的值代入最简公的值代入最简公 分母中，看分母是否为分母中，看分母是否为0， 使分母为使分母为0的根是原方程的的根是原方程的 增根，否则，这个解不是原增根，否则，这个解不是原 分式方程的解分式方程的解. 将将x3 2代入 代入x(x1) 3 4 0，x3 2是 是 原方程的解原方程的解. 3.增根的产生 使原分式方程的分母为零的未知数的值是 增根 【注意】无解和增根是两个不同的概念， 无解不一定产生增根，产生增根也不一定无 解 方程 方程 a x1 1 x 0 可能产生的增根是可能产生的
11、增根是_. x1或或0 列分式方程解应用题的步骤跟其他方法解 应用题有一点不一样的是要检验两次，既要 检验求出来的解是否为_的根，又要检 验是否_ 知识点六知识点六 分式方程的应用分式方程的应用 原方程原方程 符合题意符合题意 1不等式及它的解集 (1)用_连接起来的式子，叫做不等 式 (2)不等式的解集：含有未知数的 _的全体叫做不等式的解集 【注意】把不等式的解集在数轴上表示出 来，要注意实心点和空心圈在数轴上的作用， 实心点表示“”或“”，解集含这个点， 而空心圈表示“”或“”，不含这个 点 知识点七知识点七 不等式及其性质不等式及其性质 不等号不等号 不等式的解不等式的解 2不等式的解
12、集及表示 (1)解集：能使不等式成立的未知数的值， 叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式 的所有解，组成这个不等式的解集 (2)解集在数轴上表示： 3不等式的基本性质不等式的基本性质 (1)若若ab，则，则ac_bc(或或ac_bc) (2)若若ab，且，且c0，则，则ac_bc(或或a c_ b c) (3)若若ab，且，且c0，则，则ac_bc(或或a c_ b c) 【注意】应用性质(3)时一定要_； 当乘以或除以的是字母时，要对字母分类 讨论；除以上基本性质外的其他两条性质： a.若ab，则b_a，b.若ab，bc， 则a_c. 变号变号 1一元一次不等式：只含有_个未 知数，并且未
13、知数的次数是_次的不 等式叫做一元一次不等式 2解一元一次不等式的依据：根据 _的性质求解 3一元一次不等式解法步骤：_、 _、_、_、 _. 【注意】不等式的性质是解不等式的重要 依据，在解不等式时，值得注意的是在不等 式的两边同时乘以(或除以)一个负数时，不等 号的方向一定要改变 知识点八知识点八 一元一次不等式及其解法一元一次不等式及其解法 一一 一一 不等式不等式 去分母去分母 去括号去括号 移项移项 合并同类项合并同类项 系数化为系数化为1 1一元一次不等式组的解集：不等式组 中几个一元一次不等式的解集的_部 分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组 的_ 2一元一次不等式组的解法：先
14、求出这 个不等式组中各个不等式的_，再利用 _，求出这些_的公共部分 知识点九知识点九 一元一次不等式组及其解法一元一次不等式组及其解法 公共公共 解集解集 解集解集 数轴数轴 解集解集 不等式组不等式组(ab) 解集解集 在数轴表示在数轴表示 口诀口诀 xa， xb _ 同大取大同大取大 xa， xb _ 同小取小同小取小 xa， xb _ 小大、大小小大、大小 中间找中间找 xa， xb _ 大大、小大大、小 小、取不了小、取不了 3不等式组的解集情况 xa xb bxa 无解无解 1实际问题的解决过程中常会出现“至 少、至多、不少于、最大”等表示不等关系 的词语，这时就要分析这些词所表示
15、的意义， 如“至少，不少于”等表示“”，它就有最 小值；“至多，最大”等表示“”，它就有 最大值，具体用哪个不等关系，应理解清楚 题中含义 2基本步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3) 列不等式；(4)解不等式；(5)检验并写答案 知识点十知识点十 列不等式解决问题列不等式解决问题 【例1】 (2015咸宁)方程2x13的解 是( ) A1 B2 C1 D2 【思路点拨】 本题考查解一元一次方 程方程移项合并，把x系数化为1，即可求 解 【解答】 方程2x13，移项合并得： 2x4，解得：x2. 析析 精精 例例 典典 一元一次方程及解法一元一次方程及解法 D 【解答】【解答】 方法一：加减
16、消元法方法一：加减消元法 xy4， 2xy1， ，得：，得：3x3，即，即 x1，把，把 x1 代入代入得：得： y3， 则方程组的解为则方程组的解为 x1， y3. 析析 精精 例例 典典 一元二次方程及其解法一元二次方程及其解法 (热频考点热频考点) 【例【例 2】 (2014 陕西陕西)若若 x2 是关于是关于 x 的一元二次方的一元二次方 程程 x25 2ax a20 的一个根，则的一个根，则 a 的值为的值为( ) A1 或或 4 B1 或或4 C1 或或 4 D1 或或4 B 【思路点拨】【思路点拨】 本题考查解一元二次方程先将本题考查解一元二次方程先将x2 代入代入x2 5 2a
17、x a20中，即可得到关于中，即可得到关于a的一元二次方程，再的一元二次方程，再 利用因式分解法进行求解利用因式分解法进行求解 【解答】【解答】 将将x2代入方程代入方程x2 5 2 axa20，得，得(2)2 5 2 (2)aa20，整理得：，整理得：a25a40， 方法一：由公式法，得方法一：由公式法，得 a 5 5244 21 5 3 2 . 则则a 53 2 4或或a 53 2 1. 方法二：十字相乘法，得方法二：十字相乘法，得(a4)(a1)0，于是得，于是得a4 0或或a10， 解得：解得：a4或或a1. 十字相乘法，就是把一个二次三项式化 为两个因式相乘的形式.用十字相乘法把形如
18、 x2pxq的二次三项式分解因式，如下： x2pxqx2abxabxax b p q x2pxqxaxb，其中q、p、a、 b之间的符号关系：当q0时，q分解的因数 a、b同号且a，b符号与p符号相同. 当q0时，q分解的因数a、b异号其中绝 对值较大的因数符号与p符号相同. 方法：十字左边相乘等于二次项系数，右 边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一 次项系数. 1.因式分解竖直写； 2.交叉相乘验中项axbxabx； 3.横向写出两因式xa和xb. 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 【例【例 3】 (2015 黔东南黔东南)设设 x1，x2是一元二次方程是一元二次方程
19、x2 2x30 的两根，则的两根，则 x2 1 x2 2 ( ) A6 B8 C10 D12 【思路点拨】【思路点拨】 本题考查根与系数的关系根据根与系本题考查根与系数的关系根据根与系 数的关系，得到数的关系，得到x1x22，x1 x23，再变形，再变形x 2 1 x 2 2 得到得到 (x1x2)22x1 x2，然后代入计算即可，然后代入计算即可 【解答】【解答】 一元二次方程一元二次方程x22x30的两根是的两根是x1、 x2，x1x22，x1 x23，x 2 1 x 2 2 (x1x2)22x1 x2 222(3)10. C 【例4】 (2015云南)不等式2x60的 解集是( ) Ax1 Bx3 Cx3 Dx3 【思路点拨】 本题考查解一元一次不等 式利用不等式的基本性质：移项，系数化1 来解答 【解答】 移项得，2x6，两边同时除 以2得，x3. 析析 精精 例例 典典 一元一次不等式及其解法一元一次不等式及其解法 C
