1、20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次 方程的概念方程的概念、解法及应用解法及应用，而一元二次方程的根的而一元二次方程的根的 判断式及根与系数的关系判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函在高中教材中的二次函 数数、不等式及解析几何等章节有着许多应用不等式及解析几何等章节有着许多应用本节本节 将对将对一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式、根与系数的关系根与系数的关系进进 行阐述行阐述 20202020年年7 7月月1010日星期五
2、日星期五 一、一元二次方程的根的判断式一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程一元二次方程 ，用配方法将，用配方法将 其变形为：其变形为： 2 0 (0)axbxca 2 2 2 4 () 24 bbac x aa (1) 当当 时，方程有两个不相等的实数根：时，方程有两个不相等的实数根： 2 40bac 2 4 2 bbac x a (2) 当当 时，方程有两个相等的实数根：时，方程有两个相等的实数根： 2 40bac 1,2 2 b x a (3) 当当 时，方程没有实数根时，方程没有实数根 2 40bac 根的判别式根的判别式 2 4bac 20202020年年7 7月月1010日星期
3、五日星期五 一、一元二次方程的根的判断式一、一元二次方程的根的判断式 【例例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：不解方程，判断下列方程的实数根的个数： 222 (1)2310 (2)4912 (3)5(3)60xxyyxx 说明：说明：在求判断式时在求判断式时，务必先把方程变形为一元二务必先把方程变形为一元二 次方程的一般形式次方程的一般形式 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 一、一元二次方程的根的判断式一、一元二次方程的根的判断式 【例例2】已知关于的一元二次方程已知关于的一元二次方程 ，根据根据 下列条件下列条件，分别求出的范围：分别求出的范围： (1) 方程有
4、两个不相等的实数根；方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相方程有两个相 等的实数根等的实数根 (3) 方程有实数根；方程有实数根； (4) 方程无实数根方程无实数根 2 320xxk 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 一、一元二次方程的根的判断式一、一元二次方程的根的判断式 【例例3】已知实数已知实数 、满足、满足 ， 试求试求 的值的值 22 210xyxyxy ,x y ,x y 22 (2)10xyxyy 由于由于 是实数，所以此方程有实数根，因此：是实数，所以此方程有实数根，因此： x 222 (2)4(1)300yyyyy 解：解：把方程看作是关于把方
5、程看作是关于 的方程，整理得：的方程，整理得： x 代入原方程得：代入原方程得： 2 2101xxx 综上知：综上知： . 1,0xy 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 二、一元二次方程的根与系数的关系二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程一元二次方程 的两个根为：的两个根为： 2 0 (0)axbxca 22 12 44 , 22 bbacbbac xx aa 22 12 22222 1222 44 22 44()(4)4 22(2 )4 bbacbbacb xx aaa bbacbbacbbacacc xx aaaaa 说明：说明：一元二次方程根与系数的关系由
6、十六世纪的法国数学家一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家 韦达发现韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理所以通常把此定理称为韦达定理上述定理成立的上述定理成立的 前提是前提是 0 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 二、一元二次方程的根与系数的关系二、一元二次方程的根与系数的关系 【例【例 4 4】若若 12 ,x x是方程是方程 2 220090xx的两个根，试求下列各式的值：的两个根，试求下列各式的值： (1) (1) 22 12 xx； (2) (2) 12 11 xx ； (3) (3) 12 (5)(5)xx； (4) (4) 12 |xx 解：解：由
7、题意，由题意，由由根与系数的关系得：根与系数的关系得： 1212 2,2009xxx x . (1) 2222 121212 ()2( 2)2( 2009)4022xxxxx x . (2) 12 1212 1122 20092009 xx xxx x . (3) 121212 (5)(5)5()2520095( 2)251974xxx xxx . (4) 222 12121212 |()()4( 2)4( 2009)2 2040xxxxxxx x. 说明：说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 222 121212 ()2xxx
8、xx x， 12 1212 11xx xxx x ， 22 121212 ()()4xxxxx x， 2 121212 |()4xxxxx x， 22 12121212 ()x xx xx xxx， 333 12121212 ()3()xxxxx xxx等等韦达定理体现了整等等韦达定理体现了整 体代换思想体代换思想 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 二、一元二次方程的根与系数的关系二、一元二次方程的根与系数的关系 【例例5】已知两个数的和为已知两个数的和为4，积为积为12，求这两个数求这两个数 解：解：法一法一 设这两个数分别是设这两个数分别是x，y，则则 4 12 xy
9、 xy 1 1 2 6 x y 或或 2 2 6 2 x y . . 因此，这两个数是因此，这两个数是2 2 和和 6 6 法二法二 由韦达定理知，这两个数是方程由韦达定理知，这两个数是方程x 2 2 4 4x12120 0 的两个根的两个根 解方程得：解方程得：x1 12 2，x2 26 6 所以，这两个数是所以，这两个数是2 2 和和 6 6 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 二、一元二次方程的根与系数的关系二、一元二次方程的根与系数的关系 说明：说明：务必要注意方程有两实根的条件务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满即所求的字母应满 足足 0 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 二、一元二次方程的根与系数的关系二、一元二次方程的根与系数的关系
