1、 1 2016 2017学年度第二学期高一期中考试 数学试卷（ 19 31班） 一、选择题（每小题 5 分，共 60分） 1. 计算 =（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由题意可得： 本题选择 B选项 . 2. 在等比数列 中， 则 （ ） A. 16 B. 16 或 16 C. 32 D. 32或 32 【答案】 A 【解析】 在等比数列 中， ,所以 . =16，故选 A. 3. 已知 则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由题意可得： ， 则： ，解得： . 本题选择 D选项 . 4. 正项数列 中， ，则 （ ） A. 16 B. 8 C.
2、 2 D. 4 2 【答案】 D 【解析】试题分析：由题意 ,数列 是以 1为首项 ,公差为 3的等差数列 ,所以, 故选 D. 考点：等差数列 . 5. 如图所示，在 ABC 中，若 ，则 =( ) A. B. C. . D. E. 【答案】 C 【解析】 因为 所以由已知 ，得 化简 . 故选 C. 6. 张丘建算经 “ 女子织布 ” 问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同。已知第一天织布 5尺， 30 天共织布 390尺，则该女子织布每天增加（ ） A.尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】 B 【解析】试题分析：由题可知女子每天织布尺数呈等差数列，设为 ，首
3、项为 ，可得 ，解之得 . 考点：等差数列的性质与应用 . 7. 已知 两点， 为坐标原点，点 在第二象限，且 ，设向，则实数 =（ ） A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 【答案】 C 3 【解析】 ； 即 C( ?2, ),又 AOC= 所以： tan ，解得 =1. 故选 C. 8. 已知数列 满足 ，则前 6项和是（ ） A. 16 B. 20 C. 33 D. 120 【答案】 B 【解析】 ， a2=2a1=2， a3=a2+1=2+1=3， a4=2a3=6， a5=a4+1=7， a6=2a5=14 其前 6项之和是 1+2+3+6+7+14=33 故选 C. 9. 已知点
4、 在 ABC 所在平面内，且 ， ，且，则点 依次是 ABC 的（ ） A. 重心，外心，垂心 B. 重心，外心，内心 C. 外心，重心，垂心 D. 外心，重心，内心 【答案】 C 【解析】试题分析：因为 ，所以 到定点 的距离相等，所以 为的外心，由 ，则 ，取 的中点 ，则 ，所以 ，所以 是 的重心；由 ，得，即 ，所以 ，同理 ，所以点 为 的垂心，故选 C. 考点：向量在几何中的应用 . 10. 已知函数 的一部分图象如下图所示，如果 则4 （ ） A. A=4 B. C. D. 【答案】 D 【解析】 如图根据函数的最大 值和最小值得 求得 . 函数的周期为 ，即 . 当 时取最大
5、值，即 ， ， 所以 综上所述：答案为 D. 点睛：已知函数 的图象求解析式 (1) . (2)由函数的周期 求 (3)利用 “ 五点法 ” 中相对应的特殊点求 . 11. 已知 ABC中，内角 A、 B、 C的对边分别是 ，若 则（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】试题分析： 5 考点：正弦定理与余弦定理 点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。 12. 定义 为 个正数 的 “ 均倒数 ” ，若已知数列 的前 项的 “ 均倒数 ” 为 ，且 则 + 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：由题意得 的前 项和. ， ,故选
6、C. 考点： 与 的关系；裂项相消数列求和 . 【易错点睛】本题主要考查了 的关系；裂项相消数列求和等知识 .用裂项相消法求和应注意的问题 :利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开 的两项之差与系数相乘后与原项相等本题难度中等 . 二、填空题（每小题 5 分，共 20分） 13. 已知向量 的夹角为 ，且 ，则 =_. 【答案】 【解析】试题分析： 的夹角 ， ， ， . 考点：向量的运算 . 【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利
7、用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用 . 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、6 线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解 决列出方程组求解未知数 . 14. 若 _。 【答案】 【解析】 cos = ， . 故答案为： . 15. 已知等比数列 是递增数列， 是 的前 项和，若 是方程 的两个根，则 _。 【答案】 63 考点： 1一元二次方程的根与系数的关系； 2等比数列 16. 右表给出一个三角形数阵，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，记第行第列的数为 ，则 _ . 【答案】 【解
8、析】 由题意， a11=， 每一列成等差数列， ， 从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等， . 7 三、解答题（共 70分） 17. 已知 （ 1）若 的夹角为 ，求 ; （ 2）若向量 互相垂直，求 的值。 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1）由 ， 结合已知条件利用向量的数量积公式能求出结果 （ 2）由向量互相垂直的性质得 ， 由此能求出 k的值 试题解析： （ 1） . （ 2）由题意可得： 即 点睛：平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将 模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识
9、，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度 . 18. 已知向量 与 互相垂直，其中 . （ 1）求 和 的值 ; （ 2）若 ，求 的值 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析：（ ） (1) ， sin 2cos 0，即 sin 2cos ， 又 sin 2 cos2 1， 4cos 2 cos2 1，即 cos2 ， sin 2 ， 又 ， sin ， cos . 6分 （ ） 5cos( ) 5(coscos sinsin) cos 2 sin 3 cos ， 8 cos sin ， cos 2 sin2 1 cos2 ，即 cos2
10、. 0 ， cos . 12分 考点：向量坐标运算位置关系及三角函数公式 点评：若 则 ，用到的三角函数公式有， 19. 等差数列 中， . （ 1）求 的通项公式 ; （ 2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1）由题意，根据等差数列的通项公式 ，列出关于首项 ，公差 的方程组，再解方程组，从而求出数列 的通项公式；（ 2）由（ 1）可得数列 的通项公式，根据其通项公式特点 ，可利用裂项相消法进行运算即可 . 试题解析：（ 1）设等差数列 的公差为 ，则 . 因为 ，所以 ， . ，所以 ， 解得 ，所以 的通项公式为 . （ 2） ，
11、 所以 . 20. 如图，某公司要在 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 米，长为 80 米，设 在同一水平面上，从 看 的仰角分别为 . （ 1）若 ，求 的长。 （ 2）设计中 是铅垂方向（ 垂直于 ） ，若要求 ，问 的长至多为多少？ 【答案】 （ 1） ；（ 2） 的长至多约为 米 . 9 【解析】 试题分析：（ 1）利用正弦定理求解即可； （ 2）利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论 试题解析： （ 1） . （ 2） 解得 的长至多约为 米。 21. 已知函数 . （ 1）求 的单调递增区间 ; （ 2）在 ABC中，三内角 A,B,C的对边分别为 ,已
12、知 成等差数列。且 ，求 的值 . 【答案】 （ 1） 的单调递增区间为 ；（ 2） . 【解析】试题分析：（ 1）由函数 ，利用 三角函数的二倍角公式，以及角的和差的正余弦公式，即可化为一个角的三角函数的形式，再根据三角函数的单调递增区间求出相应的 x的取值范围 . （ 2） 试题解析：（ 1） 由 得，故 的单调递增区间是 （ 2） 10 于是 ，故 ，由 成等差数列得： ， . 由 得 ，由余弦定理得，于是 考点： 1.三角函数变换 .2.三角函数性质 .3.三角形 .4.平面向量 .5.等差数列 . 22. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足. （ 1）求数列 的通项公式 ; （ 2）设 是数列 的前 项和， ，试问 是否存在最 大值？若存在，求出 最大值，若不存在，请说明理由。 【答案】 （ 1） ， ；（ 2） 存在最大值为 . 【解析】 试题分析： （ 1）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项 ， 由 得 为等比数列，应用等比数列的通项即可求出 ； （ 2）运用错位相减法求出前 n 项和 ，化简 ，运用相邻两项的差 ，判断的增减性，从而判断 是否存在最大值 试题解析： （ 1）由 得 由题意知
