1、第3章 因式分解 3.3 公式法第1课时学习目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化 思想（重点）2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进 行因式分解（难点）a米米b米米b米米a米米(a-b)情境引入如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？a2-b2=(a+b)(a-b)用平方差公式进行因式分解一想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a,b两数的平方差的形式)(baba-+=22ba-)(22bababa-+=-整式乘法因式分解因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的
2、差的乘积.平方差公式：辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2-()2的形式.两数是平方，两数是平方，减号在中央减号在中央（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2-(x2+y2)y2-x2（4）-x2+y2（5）x2-25y2(x+5y)(x-5y)（6）m2-1(m+1)(m-1)2(1)49;x 例1 分解因式：22(2)3x(23)(23);xx22(2)()().xpx qaabb(+)(-)a2 -b2 =解:(1)原式=2x32x2x33()()()()xpx qxpx q(2)原式(2)
3、().xp q p q 整体思想22()()xpx q典例精析方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.分解因式：(1)(ab)24a2；(2)9(mn)2(mn)2.针对训练(2m4n)(4m2n)解：(1)原式(ab2a)(ab2a)(ba)(3ab)；(2)原式(3m3nmn)(3m3nmn)4(m2n)(2mn)若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.)(22bababa-+=-2015220142=（2mn）2-(3xy)2=(x+z)2-(y+p)2=例2 分解因式：443(
4、1);(2).xya bab解：(1)原式(x2)2-(y2)2(x2+y2)(x2-y2)分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.(x2+y2)(x+y)(x-y);(2)原式ab(a2-1)分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.ab(a+1)(a-1).方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止分解因式：(1)5m2a45m2b4；(2)a24b2a2b.针对训练(a2b)(a2b1).5m2(a2b2)(ab)(ab)；解：(1)原式5m2(a4b4
5、)5m2(a2b2)(a2b2)(2)原式(a24b2)(a2b)(a2b)(a2b)(a2b)例3 把x3y2-x5 因式分解.解：x3y2-x5=x3(y2-x2)=x3(y+x)(y-x)分析:x3y2-x5有公因式 x3，应先提出公因式，再用公式进行因式分解.问题：能直接用公式分解因式吗？又如：把-4ax2+16ay2因式分解解：-4ax2+16ay2=-4a(x2-4y2)=-4a(x+2y)(x-2y)例4 已知x2y22，xy1，求x-y，x，y的值xy2.解：x2y2(xy)(xy)2，xy1，联立组成二元一次方程组，解得1,23.2xy 方法总结：在与x2y2，xy有关的求代
6、数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.例5 计算下列各题：(1)1012992；(2)53.524-46.524.解：(1)原式(10199)(10199)400；(2)原式4(53.5246.52)=4(53.546.5)(53.546.5)41007=2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.例6 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n2=8n，n为整数，8n被8整
7、除，方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()Aa2(b)2 B5m220mnCx2y2 Dx29D2.分解因式(2x+3)2-x2的结果是（）A3(x2+4x+3)B3(x2+2x+3)C(3x+3)(x+3)D3(x+1)(x+3)D3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（）A-21 B21 C-10 D10A4.把下列各式分解因式：=_;=_;=_;(4)-a4+16=_.(4a+3b)(4a-3b)4ab9xy(y+2x)(y-2x)(4+a2)(2+a)(2-a)5.若将 2xn-8
8、1分解成 4x2+9 2x+3 2x-3，则n的值是_.46.已知4m+n=40，2m-3n=5求 m+2n2-3m-n2的值原式=-405=-200解：原式=m+2n+3m-n m+2n-3m+n=4m+n 3n-2m=-4m+n（2m-3n，当4m+n=40，2m-3n=5时，7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积解：根据题意，得6.8241.626.82(21.6)26.823.22(6.83.2)(6.8 3.2)103.636(cm2)答：剩余部分的面积为36 cm2.8.(1)992-1能否被100整除吗？解：(1)因为 992-1=(99+1)(99-1)=10098，所以，(2n+1)2-25能被4整除.(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？所以992-1能否被100整除.(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)=(2n+6)(2n-4)=2(n+3)2(n-2)=4(n+3)(n-2).平 方 差公 式 分解 因 式公式a2-b2=(a+b)(a-b)步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
