1、 - 1 - 北京师大附中 2017-2018 学年下学期高一年级期中考试数学试卷 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 在 ABC 中， D 是边 BC 的中点，则 ACAD? A. CB B. BC C. CB21 D. BC21 2. 在 ABC 中， AB 3， AC 4， A 150，则 ABC 的面积为 A. 3 B. 33 C. 6 D. 36 3. 下图是 500 名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这 500 名学生中测试成绩在区间 9
2、0， 100）中的学生人数是 A. 60 B. 55 C. 45 D. 50 4. 已知点 A（ 1， 2）， B（ 3， 7），向量 ABxa ),1,( ? a，则 A. 52?x ，且 AB 与 a 方向相同 B. 52?x ，且 AB 与 a 方向相同 C. 52?x ，且 AB 与 a 方向相反 D. 52?x ，且 AB 与 a 方向相反 5. 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别 为 cba, 。若 acBbca 3tan)( 222 ? ，则角 B的大小为 A. 3? B. 6? C. 3? 或 32? D. 6? 或 65? 6. 已知在 ABC 中， 10,4,3
3、 ? BCACAB ，则 BCAB? A. 43? B. 23? C. 23 D. 43 - 2 - 7. 抛掷两颗骰子，点数之积为大于 15 的偶数的概率是 A. 185 B. 92 C. 61 D. 3611 8. 从高一年级随机选取 100 名学生，对他们的期末考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示。 若用 21,pp 分别表示这 100 名学生语文，数学成绩的及格率，用 2221,ss 分别表示这 100名学生语文、数学成绩的方差，则下列结论正确的是 A. 222121 , sspp ? B. 222121 , sspp ? C. 222121 , sspp ? D. 222121
4、 , sspp ? 二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9. 在 ABC 中，角 A， B， C 所对边分别为 cba, ，且 32,3 ? Aca ，则 C _。 10. 下侧茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为 _，方差为 _。 11. 已知正方形 ABCD 的边长为 1，设 , bBCaAB ? cAC? ，则 | cba ? _。 - 3 - 12. 袋中有大小相同的黑球和白球各 1 个，每次从袋中抽取 1 个，有放回的随机抽取 3 次，则至少抽到 1 个黑球的概率是 _。 13. 设向
5、量 )1,3(?a ，则满足 a、 b 的夹角为 6? 的一个向量 b 的坐标可以是 _。 14. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴正半轴上， 2|,4 ? OBBAO ? ，设 AOB )43,2(, ? ? ，则 OA _（用 ? 表示）；若 34tan ? ，则 OBOA? _。 三、解答题：共 6 个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15. 在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 cba, ，设 CBA sin3sin,3 ? ? 。 （）若 7?a ，求 b 的值； （）求 tanC 的值。 16. 已知向量 )4,3()
6、,2,1( ? ba 。 （）若 a )( tba? ，求实数 t 的值； （）若向量 bac ? ? ，且 2? ，求 |c 的最小值。 17. 某中学从高三男生中随机抽取 100 名学生，将他们的身高数据进行整理，得到下侧的频率分布表。 组号 分组 频率 第 1 组 160， 165） 0.05 第 2 组 )170,165 0.35 第 3 组 )175,170 0.3 第 4 组 )180,175 0.2 第 5 组 185,180 0.1 合计 1.00 - 4 - （）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第 3， 4， 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名学生进行体能测试，问
7、第 3， 4， 5 组每组各应抽取多少名学生进行测试； （）在（）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生进行引体向上测试 ，求第 3 组中至少有一名学生被抽中的概率； （）试估计该中学高三年级男生身高的中位数位于第几组中，并说明理由。 18. 已知在锐角 ABC 中， )sin(23 BAbc ? （）求角 B； （）若 4?b ，求 ABC 面积的最大值。 19. 设向量 ? 2,0),s in,( c o s),s in,s in3( ?xxxbxxa（）若 | ba? ，求 x 的值； （）设函数 baxf ?)( ，求 )(xf 的最值。 20. 已知集合 ,(| 21
8、 xxXXS n ? ?， ,2,1,1,0), ? ixin ?， )2( ?nn ，对于,( 21 aaA ?， )na ， B（ , 21bb ?， nn Sb ?) ，定义 A 与 B 的差为 |,|,(| 2211 babaBA ? ? |)| nn ba ? ， A 与 B 之间的距离为 ? ?ni ii baBAd 1 |),(。 （）若 )1,1,0(),1,0,1( ? BA ，求 ),(, BAdBA? ； （）证明：对任意 nSCBA ?, ，有 （ i） nSBA ? ，且 ),(),( BAdCBCAd ? ； （ ii） ),(),(),( CBdCAdBAd 三个
9、数中至少有一个是偶数； （）对于 ,( 21 aaA? ? ,(), 21 bbBan ? ? nn Sb ?), ，再定义一种 A 与 B 之间的运算，并写出两条该运算满足的性质（不需证明）。 - 5 - 【试题答案】 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D D C B A C 二、填空题 9. 6? ； 10. 91， 4.7； 11. 2 12. 87 ； 13. )0,3( 14. )cos(sin2 ? ?OA ； 2512? 。 三、解答题 15.（）解：因为 CB sin3sin ? ，由正弦定理 ? BbAa sinsin Ccsin ， 得 cb
10、3? 。 由余弦定理 Abccba cos2222 ? 及 7,3 ? aA ? ， 得 bccb ? 227 ，所以 73)3( 222 ? bbb ， 解得 3?b 。 （）解：由 3?A ，得 CB ? 32? ， 所以 CC sin3)32sin( ? ， 即 CCC s in3s in21c o s23 ? ， 所以 CC sin25cos23 ? ，所以 53tan ?C 。 16.（） 1；（） 52 。 17. 解：（）因为第 3， 4， 5 组共有 60 名学生，所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6名学生，每组学生人数分别为： 第 3 组： 66030? 3 人；第 4
11、 组： 66020? 2 人；第 5 组： 66010? 1 人。 所以第 3， 4， 5 组分别抽取 3 人， 2 人， 1 人。 （）设第 3 组 3 位同学为 A1， A2， A3，第 4 组 2 位同学为 B1， B2，第 5 组 1 位同学为 C1， - 6 - 则从 6 位同学中抽两位同学的情况分别为： （ A1， A2），（ A1， A3），（ A1， B1），（ A1， B2），（ A1， C1），（ A2， A3），（ A2， B1），（ A2， B2），（ A2，C1），（ A3， B1），（ A3， B2），（ A3， C1），（ B1， B2），（ B1， C1），（
12、B2， C1）。共有 15 种。 其中第 4 组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为： （ A1， A2），（ A1， A3），（ A1， B1），（ A1， B2），（ A1， C1），（ A2， A3），（ A2， B1），（ A2， B2），（ A2，C1），（ A3， B1），（ A3， B2），（ A3， C1），共有 12 种可能。 所以，第 4 组中至少有一名学生被抽中的概率为 0.8。 答：第 4 组中至少有一名学生被抽中的概率为 0.8。 （）第 3 组 18.（） 3? （） 34 。 19. （）因为 | ba? ，所以 22 | ba ? ，所以 xxxx 222
13、2 s inc o ss in)s in3( ? ， 所以 21sin ?x ，又因为 ? 2,0?x，所以 6?x （） 212c o s212s i n2 3s i nc o ss i n3)( 2 ? xxxxxbaxf 2162sin ? ? ?x当 ? 2,0?x时， ? 65,662 ?x，所以当 262 ?x 时 ， 即 3?x 时，? ?62sin ?x 取最大值 1， )(xf 的最大值为 23 。 当 662 ? ?x 时，即 0?x 时， )(xf 的最小值为 0。 20. 解：（）因为 )1,1,0(),1,0,1( ? BA ，所以 2),(),0,1,1( ? BA
14、dBA 。 （）（ i）设 ,( 21 aaA? ? ,(), 21 bbBan ? ? ,(), 21 ccCbn ? ? nn Sc ?), ， 因为 1,0, ?ii ba ，故 2,1(,1,0| 1 ? iba i ，?， n）， 即 |,|,(| 2211 babaBA ? ? nnn Sba ? |)|, 。 又 ,2,1),1,0(, ? icba iii ?， n。 当 0?ic 时，有 | iiiiii bacbca ? ； 当 1?ic 时，有 |)1()1(| iiiiiiii babacbca ? ； 故 ? ?ni ii BAdbaCBCAd 1 ),(|),(-
15、7 - （ ii）设 ,( 21 aaA? ?， ,(), 21 bbBan ? ?， ,(), 21 ccCbn ? ? nn Sc ?), ， 记 hCBdlCAdkBAd ? ),(,),(,),( 记 ,0,0(?O ? nS?)0, ，由（ i）可知： kABOdABAAdBAd ? ),(),(),( ， lACOdACAAdCAd ? ),(),(),( ， hACABdCBd ? ),(),( ， 即 | ii ab? 中 1 的个数为 k， | ii ac? 中 1 的个数为 2,1(, ?il ，? ),n 设 t 是使 1| ? iiii acab 成立的 i 的个数，则有 tlkh 2? ， 由此可知， hlk, 不可能全为奇数，即 ),(),(),( CBdCAdBAd 三个数中至少有一个是偶数。 （）如可定义 A B 2211 ,( baba ，? nnn Sba ?), ，则 A B B A，（ A B） C A（ B C）。 -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
