1、 1 2016-2017 学年江苏省南通市通州区高一（下）期末数学试卷 一、填空题（共 14小题，每小题 5分，满分 70分） 1设集合 A=1， 2， B=（ a+1， 2），若 A B=1， 2， 3，则实数 a的值为 2若向量 =（ 2， 1）， =（ 4， x），且 ，则 x的值为 3在 ABC中，已知 AB=2， AC=3， A=120 ，则 ABC的面积为 4函数 f（ x） =lg（ 2 x x2）的定义域为 5若指数函数 f（ x） =（ a 1） x是 R上的单调减函数，则实数 a的取值范围是 6已知直线 x y=0与圆（ x 2） 2+y2=6相交于 A， B两点，则弦 A
2、B 的长为 7已知两曲线 f（ x） =cosx与 g（ x） = sinx的一个交点为 P，则点 P到 x轴的距离为 8已知长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB=AD=2 AA1=4，则该长方体外接球的表面积为 9如图， D， E分别是 ABC 的边 AC， BC上的点，且 = ， = 若 = +（ ， R），则 + 的值为 10如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长均为 2， DEF为平行于棱柱底面的截面，O1， O分别为上、下底面内一点，则六面体 O1DEFO的体积为 11将函数 f（ x） =sinx （ 0 6）图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x）的图象若g
3、（ x）图象的一个对称中心为（ ， 0），则 f（ x）的最小正周期为 12在 ABC中，已知 AB=AC=4， BC=2， B的平分线交 AC于点 D，则 ? 的值为 13已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） =x2 3x若方程 f（ x） +xt=0恰有两个相异实根，则实数 t的所有可能值为 14在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A（ 2a， 0）（ a 0），直线 l1： mx y 2m+2=0与直线2 l2： x+my=0（ m R）相交于点 M，且 MA2+MO2=2a2+16，则实数 a的取值范围是 二、解答题（共 6小题，满分 90分） 15已
4、知 tan（ ） = （ 1）求 tan 的值； （ 2）求 cos2 的值 16在四棱锥 P ABCD 中，已知 DC AB， DC=2AB， E为棱 PD的中点 （ 1）求证： AE 平面 PBC； （ 2）若 PB PC， PB AB，求证：平面 PAB 平面 PCD 17如图，在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 1 的正 OAB 的顶点 A， B 均在第一象限，设点 A在 x轴的射影为 C， AOC= （ 1）试将 ? 表示 的函数 f（ ），并写出其定义域； （ 2） 求函数 f（ ）的值域 18如图，海平面某区域内有 A， B， C 三座小岛，岛 C 在 A 的北偏东 70 方向
5、，岛 C 在 B的北偏东 40 方向，且 A， B两岛间的距离为 3海里 （ 1）求 B， C两岛间的距离； （ 2）经测算海平面上一轮船 D 位于岛 C的北偏西 50 方向，且与岛 C相距 3 海里，求轮船在岛 A的什么位置（注：小岛与轮船视为一点） 3 19在平面直角坐标系 xOy中，圆： x2+y2=4，直线 l： 4x+3y 20=0 A（ ， ）为圆 O内一点，弦 MN 过点 A，过点 O作 MN 的垂线交 l于点 P （ 1）若 MN l 求直线 MN 的方程； 求 PMN的面积 （ 2）判断直线 PM与圆 O的位置关系，并证明 20已知函数 f（ x） =a|x b|+1，其中
6、a， b R （ 1）若 a 0， b=1，求函数 f（ x）的所有零点之和； （ 2）记函数 g（ x） =x2 f（ x） 若 a 0， b=0，解不等式 g（ 2x+1） g（ x 1）； 若 b=1， g（ x）在 0， 2上的最大值为 0，求 a的取值范围 4 2016-2017 学年江苏省南通市通州区高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（共 14小题，每小题 5分，满分 70分） 1设集合 A=1， 2， B=（ a+1， 2），若 A B=1， 2， 3，则实数 a的值为 2 【考点】 1D：并集及其运算 【分析】 由并集定义得 a+1=3，由此能求出实数 a的
7、值 【解答】 解： 集合 A=1， 2， B=（ a+1， 2）， A B=1， 2， 3， a+1=3，解得实数 a 的值 2 故答案为： 2 2若向量 =（ 2， 1）， =（ 4， x），且 ，则 x的值为 2 【考点】 9K：平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 利用向量共线定理即可得出 【解答】 解： ， 4 2x=0，解得 x= 2 故答案为： 2 3在 ABC中，已知 AB=2， AC=3， A=120 ，则 ABC的面积为 【考点】 HP：正弦定理 【分析】 由已知利用三角形面积公式求解即可得答案 【解答】 解： AB=2， AC=3， A=120 ， S ABC= AB?
8、AC?sinA= = 故答案为： 4函数 f（ x） =lg（ 2 x x2）的定义域为 （ 2， 1） 【考点】 33：函数的定义域及其求法 【分析】 根据函数 y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可 【解答】 解：函数 f（ x） =lg（ 2 x x2）， 5 2 x x2 0， 即 x2+x 2 0， 解得 2 x 1， 函数 f（ x）的定义域为（ 2， 1） 故答案为：（ 2， 1） 5若指数函数 f（ x） =（ a 1） x是 R上的单调减函数，则实数 a的取值范围是 （ 1， 2） 【考点】 48：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【分析】 根据指数函数的图
9、象和性质，列出不等式求出 a的取值范围 【解答】 解：指数函数 f（ x） =（ a 1） x是 R上的单调减函数， 0 a 1 1， 解得 1 a 2； 实数 a的取值范围是（ 1， 2） 故答案为：（ 1， 2） 6已知直线 x y=0与圆（ x 2） 2+y2=6相交于 A， B两点，则弦 AB 的长为 4 【考点】 J9：直线与圆的位置关系 【分析】 先求出圆心为 C（ 2， 0），半径 r= ，再求出圆心 C（ 2， 0）到直线 x y=0 的距离 d= = ，从而弦 AB的长 |AB|=2 ，由此能求出结果 【解答】 解：圆（ x 2） 2+y2=6的圆心为 C（ 2， 0），半径
10、 r= ， 圆心 C（ 2， 0）到直 线 x y=0的距离 d= = ， 直线 x y=0与圆（ x 2） 2+y2=6 相交于 A， B两点， 弦 AB 的长 |AB|=2 =2 =4 故答案为： 4 7已知两曲线 f（ x） =cosx 与 g（ x） = sinx 的一个交点为 P，则点 P 到 x 轴的距离 为 【考点】 H7：余弦函数的图象； H2：正弦函数的图象 6 【分析】 由题意根据 cosx= sinx，求得 x 的值，可得 y 的值，从而得到点 P 到 x 轴的距离为 |y|的值 【解答】 解：两曲线 f（ x） =cosx与 g（ x） = sinx 的一个交点为 P，
11、设点 P 的坐标为（ x，y）， 由 cosx= sinx， 可得 tanx= ， x=k + ， k Z， y= ， 点 P到 x轴的距离为 |y|= ， 故答案为： 8已知长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB=AD=2 AA1=4，则该长方体外接球的表面积为 24 【考点】 LG：球的 体积和表面积； LR：球内接多面体 【分析】 由长方体的对角线公式，算出长方体对角线 AC1的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积 【解答】 解： 长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB=3， AD=4， AA1=5， 长方体的对角线 AC1= =2 ， 长
12、方体 ABCD A1B1C1D1的各顶点都在同一球面上， 球的一条直径为 AC1，可得半径 R= ， 因此，该球的表面积为 S=4R 2=4 （ ） 2=24 故答案为： 24 9如图， D， E分别是 ABC 的边 AC， BC上的点，且 = ， = 若 = +（ ， R），则 + 的值为 【考点】 9H：平面向量的基本定理及其意义 7 【分析】 = = + = + = . ， ，即可求得 + 【解答】 解： = = + = + = ， 则 += 故答案为： 10如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长均为 2， DEF为平行于棱柱底面的截面，O1， O分别为上、下底面内一点，则六
13、面体 O1DEFO的体积为 【考点】 LF：棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 六 面体的体积为上下两个棱锥的体积和，根据体积公式化简即可得出答案 【解答】 解：设三棱锥 O1 DEF的高为 h1，三棱锥 O DEF的高为 h2，则 h1+h2=AA1=2， VO DEF+V = + = S DEF?（ h1+h2） = = 故答案为： 11将函数 f（ x） =sinx （ 0 6）图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x）的图象若g（ x）图象的一个对称中心为（ ， 0），则 f（ x）的最小正周期为 【考点】 HJ：函数 y=Asin（ x + ）的图象变换 【分 析】 求出 g（ x）的
14、解析式，利用对称中心得出 ，再代入周期公式得出答案 【解答】 解： g（ x） =f（ x ） =sin （ x ） =sin（ x ）， g（ ） =sin（ ） =0， 8 即 =k ， k Z， =3k ，又 0 6， =3 ， f（ x）的最小正周期为 T= 故答案为 12在 ABC中，已知 AB=AC=4， BC=2， B的平分线交 AC 于点 D，则 ? 的值为 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】 由余弦定理求得 cosA，可得 ? =4 4 =14，再由内角平分线定理，可得 AD=，再由向量的加减 运算和数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值 【解答
15、】 解：由余弦定理可得 cosA= = = ， 可得 ? =4 4 =14， 由 BD为 ABC的平分线，可得 = = =2， AD= ， 即有 ? = ?（ ） = ?（ ） = 2 ? = 16 14= 故答案为： 13已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f（ x） =x2 3x若方程 f（ x） +x9 t=0恰有两个相异实根，则实数 t的所有可能值为 1， 1 【考点】 54：根的存在性及根的个数判断 【分析 】 求出 f（ x）的解析式，分离参数可得 t=f（ x） +x，作出 g（ x） =f（ x） +x 的函数图象，根据图象可得 t= 1 【解答】 解：当 x 0 时， f（ x） = f（ x） =（ x2+3x） = x2
