1、 新人教版高一数学下学期期末高频考点专题： 正弦、余弦定理解三角形 题型一：正弦定理解三角形 典例 1、在ABC中，若2 sinbaB，则A等于_ 2、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的外接圆的 半径是3，3a ，则A （ ） A30 B60 C60或120 D30或150 题型二：三角形解的个数 典例 1、在ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ） A.10,45 ,60bAC B.6,5,60acB C.7,5,60abA D.14,16,45abA 2、在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若 0 10,15,A30ab，则
2、此 三角形（ ） A无解 B有一解 C有两解 D解的个数不确定 3、在ABC中，角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，若6 3,4 3, 6 cbB ，则 ABC( ) A无解 B有一解 C有两解 D解的个数无法确定 4、如果满足，AB=8，AC=k 的三角形 ABC 有两个，那么实数 k 的取值范围是 （ ） A B C D 题型三：余弦定理解三角形 典例 1、在ABC中， 222 3abcbc，则A _. 2、已知ABC的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若2abc，35cb， 则=A_ 3、已知ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 222 abc
3、bc，4bc ， 则ABC的面积为_； 题型四：判断三角形形状 典例 1、 已知三角形 ABC， 如果 222 sinsinsinABC， 则该三角形形状为 （ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上选项均有可能 2、 已知ABC的内角A BC， ，的对边分别为abc， ，sinsinaAbB， 则ABC 一定为（ ） A等腰三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D等腰直角三角形 3、在ABC中，内角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c.若 sincoscosABC abc ，则 ABC是（ ） A等腰直角三角形 B有一个内角是30的直角三角形 C等边三角形 D有一个内
4、角是30的等腰三角形 跟踪训练 1、在ABC中，: :3:5:7a b c，那么ABC是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D非钝角三角形 2、 在ABC中， 内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c.若32ab， 则 22 2 2sinsin sin BA A 的值为（ ） A 1 9 B 1 3 C1 D 7 2 3、已知ABC的三内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若2 coscbA,则此三 角形必是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 4、 在ABC中， a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边， 若 sincosc
5、os abc ABC ， 则ABC 是( ) A等边三角形 B钝角三角形 C等腰直角三角形 D任意三角形 5、 在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 2 7a ， 4b ， 120A，则c_. 6、在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知： (2,1)m ， ( cos, coscos)ncC aBbA 且m n ，求角C _. 7、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知60A，2 3b ， 为使此三角形有两个，则a满足的条件是（ ） A02 3a B0b,角 B 为小于60的锐角，即三角形只 有一解； 对于 D， sin4 2
6、 sin1 7 bA B a ，又 ab,角 B 为锐角或钝角，即三角形有两 解，故选 D 2、在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若 0 10,15,A30ab，则此 三角形（ ） A无解 B有一解 C有两解 D解的个数不确定 【答案】 ： C 【解析】 ： 利用正弦定理求sinB，与sin A比较的大小，判断 B 能否取相应的锐角或钝角. 由 0 10,15,A30ab及正弦定理，得 1015 sin30sinB o ， 3 sinsin 4 BA，B 可取 锐角；当 B 为钝角时，sin sin()BA ，由正弦函数在(, ) 2 递减，BA， 可取.故选 C
7、. 【点睛】本题考查正弦定理，解三角形中何时无解、一解、两解的条件判断，属 于中档题. 3、在ABC中，角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，若6 3,4 3, 6 cbB ，则 ABC( ) A无解 B有一解 C有两解 D解的个数无法确定 【答案】 ： C 【解析】 ： 求得 sin3 3cB ， 根据b c ， 即可判定 ABC 有两解， 得到 【答案】 . 由题意，因为 1 sin6 33 3 2 cB ，又由 4 3b ，且bc，所以ABC有两 解. 【点睛】 本题主要考查了三角形解的个数的判定，以及正弦定理的应用，着重考查了推理 与运算能力，属于基础题. 4、如果满足，A
8、B=8，AC=k 的三角形 ABC 有两个，那么实数 k 的取值范围是 （ ） A B C D 【答案】： B 【解析】： 根据三角形解得个数的确定方法 ，确定当有两个时，需满足 ，由此得到 的范围. 【详解】 如图所示， 当时，以 为圆心，为半径的弧与交于两点、 即此时有两个 可得： 本题正确选项： 【点睛】 本题考查解三角形中三角形解的个数的确定方法，通常我们采用画圆的方式，确定圆弧 与边交点的个数，根据交点个数得到三角形个数. 题型三：余弦定理解三角形 典例 1、在ABC中， 222 3abcbc，则A _. 【答案】 ： 5 6 【解析】因为 222 3abcbc,故 222 3bca
9、bc 根据余弦定理有 222 3 cos 3 222 bca A bcbc bc .又 0,A.故 5 6 A . 故【答案】为： 5 6 【点睛】 本题主要考查了余弦定理的运用,属于基础题型. 2、已知ABC的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若2abc，35cb， 则=A_ 【答案】 ： 2 3 （或 120） 【解析】 ： 因为 75 , 33 ab cb ， 222 222 57 ()() 1 33 cos 5 22 2() 3 bbb bca A bc bb ， 2 (0,) 3 AA 故【答案】为： 2 3 【点睛】 本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.
10、3、已知ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 222 abcbc，4bc ， 则ABC的面积为_； 【答案】 ： 3 【解析】因为 222 abcbc，所以2cos1A，所以 3 A ， 所以 113 sin43 222 ABC SbcA . 故【答案】为：3. 【点睛】 本题考查解三角形中利用余弦定理求角以及面积公式的运用，难度较易. 三角形中， 已知两边的乘积和第三边所对的角即可利用面积公式求解出三角形面 积. 题型四：判断三角形形状 典例 1、 已知三角形 ABC， 如果 222 sinsinsinABC， 则该三角形形状为 （ ） B锐角三角形 B钝角三角形 C直角三
11、角形 D以上选项均有可能 【答案】 ： B 【解析】 ：由正弦定理2 sinsinsin abc R ABC ， 222 sinsinsinABC， 可得 222 222 abc RRR ,化简得 222 0abc， 由余弦定理可得： 222 cos0 2 abc C ab ，又 0,C， C为钝角，即三角形ABC为钝角三角形. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属 于基础题. 2、 已知ABC的内角A BC， ，的对边分别为abc， ，sinsinaAbB， 则ABC 一定为（ ） A等腰三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D等腰直角三
12、角形 【答案】 ： A 【解析】 ： 根据正弦定理，角化边，即可求解. 【详解】由sinsinBaAb结合正弦定理得， 22 ab,从而ab.故选:A 【点睛】 本题考查利用正弦定理边角互化，判断三角形的形状，属于基础题. 3、在ABC中，内角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c.若 sincoscosABC abc ，则 ABC是（ ） A等腰直角三角形 B有一个内角是30的直角三角形 C等边三角形 D有一个内角是30的等腰三角形 【答案】 ： A 【解析】 ： 由正弦定理和题设条件，化简得 sincos,sincosBBCC ，得到 45BC，进而得到90A，即可求解. 【详解
13、】 由正弦定理 sincoscos 2 ABC R abc ，可得 2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC ， 因为 sincoscosABC abc ，代入得 sincoscos sinsinsin ABC ABC ， 即sin cos,sincosBBCC ，所以45BC，所以90A， 故ABC为等腰直角三角形. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了正弦定理的应用，以及三角形的形状的判定，其中解答中熟练应 用三角形的正弦定理，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属 于基础题. 跟踪训练 1、在ABC中，: :3:5:7a b c，那么ABC是（ ） A直角三角
14、形 B钝角三角形 C锐角三角形 D非钝角三角形 【答案】 ： B 【解析】 ： 因为 : :3:5:7a b c ，所以可设 3 ,5 ,7at bt ct ，由余弦定理可得 222 925491 cos 2 352 ttt C tt ，所以 120C ， ABC 是钝角三角形，故选 B. 【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理的应用以及判断三角形形状，属于中档 题.判断三角形状的常见方法是： （1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利 用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理， 化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； （3）根据余弦 定理确定
15、一个内角为钝角进而知其为钝角三角形 2、 在ABC中， 内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c.若32ab， 则 22 2 2sinsin sin BA A 的值为（ ） A 1 9 B 1 3 C1 D 7 2 【答案】 ： D 【解析】 ： 根据正弦定理边化角求解即可. 由正弦定理有 2 2222 22 2sinsin2 21 sin BAbab Aaa .又 3 32 2 b ab a , 故 2 97 2121 42 b a . 故选：D 3、已知ABC的三内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若2 coscbA,则此三 角形必是（ ） A.等边三角形 B.等腰三
16、角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【答案】 ： B 【解析】 ： 先由题中条件，根据正弦定理得到sin 2sincosCBA，再化为 sin()2sincosABBA，再由两角和的正弦公式，即可求出结果. 【详解】 因为2 coscbA，由正弦定理得到sin2sincosCBA， 即sin( )2sincosABBA， 所以sincoscossin2sincosABABBA， 即sincossincosABBA，可得 sin（A-B）=0 又在三角形中，A-B （， ）， 所以AB，因此三角形为等腰三角形. 故选 B 【点睛】本题主要考查三角形性质的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型.
17、4、 在ABC中， a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边， 若 sincoscos abc ABC ， 则ABC 是( ) A等边三角形 B钝角三角形 C等腰直角三角形 D任意三角形 【答案】 ： C 【解析】 ： 根据正弦定理及条件即可得出 sincos , sincosBBCC ，于是 , 42 BCA 。 由正弦定理得： sinsinsin abc ABC ，又 sincoscos abc ABC ， sincos ,sincosBBCC ，于是, 42 BCA ，即ABC是等腰直角三角形 故选：C. 【点睛】 本题考查了解三角形中的正弦定理得运用，判断三角形的类型，属于基础题. 5
18、、 在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 2 7a ， 4b ， 120A，则c_. 【答案】 ： 2 【解析】 ： 根据余弦定理 222 2cosabcbcA ，列方程求解即可. 由余弦定理 222 2cosabcbcA，可得2c ，6c(舍). 故【答案】为：2 【点睛】 此题考查根据余弦定理求三角形的边，关键在于熟练掌握公式，准确求解方程. 6、在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知： (2,1)m ， ( cos, coscos)ncC aBbA 且m n ，求角C _. 【答案】： 2 3 【解析】 ： 先由向量的垂直关系得其向量的
19、数量积为零，再由三角形的正弦定理 将边角关系转化为角的关系，由正弦函数的和角公式可求值. 由m n 得，2coscoscos0cCaB bA， 由正弦定理得：2sincossincossincos0CCABBA， 所以2sin cossin()0CCAB ；即2sincossin0CCC； 又sin0C ，所以 1 cos 2 C ， 又0C，所以 2 3 C . 故【答案】为 2 3 . 7、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知60A，2 3b ， 为使此三角形有两个，则a满足的条件是（ ） A02 3a B03a C32 3a D2 3a 或3a 【答案】： C 【解析】
20、： 计算三角形 AB 边上的高即可得出结论 【详解】 C 到 AB 的距离 d=bsinA=3， 当 3a2时，符合条件的三角形有两个， 故选C 【点睛】本题考查了三角形解的个数的判断，属于基础题 8、设 ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 2a ，b x ， 4 A 如 果解此三角形有且只有两个解，则x的取值范围是_ 【答案】： 2,2 2 【解析】： 由余弦定理写出 c 与 x 的等式，再由有两个正解，解出 x 的取值范围 【详解】 根据余弦定理： 222 2cosabcbcA 代入数据并整理有 22 240cxcx ，有 且仅有两个解，记为 12 cc、 则： 12
21、2 12 22 20 40(2,2 2) 24(4)0 ccx c cxx xx 【点睛】 本题主要考查余弦定理以及韦达定理，属于中档题。 9、甲同学碰到一道缺失条件的问题:“在ABC中，已知 4,30aA，试判断此三 角形解的个数.查看标准答案发现该三角形有一解.若条件中缺失边c，那么根据答案 可得所有可能的c的取值范围是_. 【答案】： 0,48 【解析】： 利用正弦定理得到 sin sin a cC A ,再由三角形只有一个解,可得C的范围, 进而求解即可 【详解】由题,由正弦定理可得 sinsin ac AC ,则 4 sinsin8sin 1 sin 2 a cCCC A , 因为三
22、角形有一解,则90C 或30C,则8c 或8sin430c 故答案为： 0,48 【点睛】 本题考查利用正弦定理处理三角形的个数问题,考查数形结合思想 10、在ABC中， , ,a b c分别为内角 A，B，C 的对边，若sin,sin,sinABC成等差 数列. 3 cos 5 B ， ABC 2S ，则 b的值为_. 【答案】 ： 4 3 3 【解析】 ： 若sin ,sin,sinABC 成等差数列，则2sin sinsinBAC ，再根据正弦 定理， 将角化边， 则2b ac ， 再由余弦定理， 三角形面积公式， 转化成 2acb ， 即可求解 b 值. 【详解】 若sin ,sin,
23、sinABC成等差数列， 2sinsinsinBAC， 由正弦定理，则2bac， 34 cos,sin 55 BB 1 sin2 2 ABC SacB ，则5ac 由余弦定理， 222 2cosbacacB，即 22 ()22cosbacacacB 代入，得 22 3 410 10 5 bb 2 16 3 b，即 4 3 3 b 故【答案】为： 4 3 3 . 【点睛】 本题考查解三角形的有关知识，考查正余弦定理、三角形面积公式，考查计算能 力，正弦定理：2 sinsinsin abc R ABC . 11、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,已知tan2A，2 5a ， 5 3 2
24、 b . （1）求角B的大小: （2）求ABC的面积S. 【答案】 ： （1） 3 B ； （2） 10 315 4 【解析】 ： （1）先根据tan A求得sin A，利用正弦定理求得sinB，根据三角形大 角对大边，求得角B的大小. （2）求得cos ,cosAB的值，利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式求得 sinC的值，再由三角形面积公式求得三角形ABC的面积. 【详解】 （1）A是ABC的内角tan2A 0, 2 A 且 2 5 sin 5 A 又 sinsin ab AB ， 2 5a ， 5 3 2 b sin3 sin 2 bA B a 又ba，BA， 3 B （2）由（1
25、）得 5 cos 5 A， 1 cos 2 B sinsinCAB 2 515 sincoscossin 10 ABAB 110 315 sin 24 ABC SabC 12、在ABC中，内角A BC， ，所对的边分别为abc， ，已知 2coscoscos3C aBbAc （1）求C； （2）若ABC的周长为57且7c ，求ABC的面积 【答案】 ： （1） 6 C （2） 9 23 2 【解析】 ：(1)由题意结合正弦定理求得cosC的值，然后利用特殊角的三角函数 值即可确定C 的值； (2)由题意结合余弦定理可得 ab 的值，然后利用(1)的结论和面积公式即可求得 ABC 的面积. 【详
26、解】 （1）在ABC中，0C，sin0C ， 2coscoscos3C aBbAc， 由正弦定理有2cossincossincos3sinCABBAC， 整理得2cossin3sinCABC，即2cossin3sinCCC， 3 cos 2 C ，0C 6 C . （2）由题意5ab，由余弦定理得 22 3 72 2 abab， 2 237abab ，即 2 5237ab ， 18 23ab ， 9 23 111 sin18 23 2222 ABC SabC . 【点睛】 本题主要考查正弦定理及其应用，余弦定理与面积公式的应用等知识，意在考查 学生的转化能力和计算求解能力. 13、在ABC中，
27、角、 、A BC所对的边分别为 , ,a b c，且 (2 )coscos0bcAaB （1）求角A； （2）若2 5a ， 2 5 cos 5 B ，求BA的长度 【答案】 ： (1) 4 A ;(2)AB6 【解析】 ：（1）ABC中， 由cos( 2)cosaBcbA， 利用正弦定理求得 2 cos 2 A， 可得A的值 （2）ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值 【详解】 解： （1）ABC中，由cos( 2)cosaBcbA，利用正弦定理可得 sincos2sincossincosABCABA， 化简可得sin()2sincosABCA，即sin 2sincosCCA ，求得 2 cos 2 A， 4 A （2）由 2 5 cos 5 B ，可得 5 sin 5 B ， 再由正弦定理可得 sinsin ab AB ，即 2 5 25 25 b ，求得2 2bAC ABC中，由余弦定理可得 222 2cosBCABACAB ACA， 即 2 2 20822 2 2 ABAB，解得6AB 【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基本知识的考查
