1、 高一数学参考答案与评分建议 1 / 7 高一数学参考答案与评分建议 2020.7 一、 选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） A C B D D B A C 二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） BC ABC ABD ABD 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 144 152 22 1612a3 ， 23+ 15 2 a 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17 （本小题满分 10 分） 在sin2sinAB=，5c =， 222 2abcab+= 这三个条件中选择两个，补充在 下面问题中，使得AB
2、C 存在且唯一，并解答补充完整后的问题. 问题：在ABC 中，已知内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 3 10 cos 10 B =，_， _，求ABC 的面积. 注：如果选择多种条件分别解答，按第一种解答计分. 解： 我选. 在ABC 中，由余弦定理，得 222 cos 2 abc C ab + =， 因为 222 2abcab+= （*） ，所以 2 cos 2 C = ，又0C，故 3 4 C =. 2分 因为 22 sincos1BB+=， 3 10 cos 10 B =，0B，所以 10 sin 10 B =. 4 分 在ABC 中，由正弦定理，得 510sin 1 si
3、n10 2 2 cB b C =. 6 分 又5c =，代入（*）得， 2 240aa+=，解得2a =（负舍）,于是ABC 存在 且唯一. 8 分 所以 2111 sin21 2222 ABC SabC= = . 10 分 18 （本小题满分 12 分） 高一数学参考答案与评分建议 2 / 7 为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以 10%的比例对高二年级 500 名学生按选 修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如下： （1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数； （2）估计该校高二年级学生阅读时间在 60 分钟以上的概率； （3）从样本中阅读
4、时间在 6090 分钟的选修 物理 的学生中任选 2 人，求至少有 1 人阅读 时间在 7590 之间的概率. 解： （1）因为以 10%的比例对高二年级 500 名学生按选修物理和选修历史进行分层抽 样，所以该校高二年级选修物理的人数约为：()69932110300+=， 于是该校高二年级选修历史的人数约为：500300=200. 2 分 （2）样本中，阅读时间在 60 分钟以上的人数为：() ()321 + 96122+=， 而样本总数为：10%50050=，于是样本中阅读时间在 60 分钟以上的频率 为 2211 5025 =. 4 分 利用样本的频率估计总体的概率，得 该校高二年级学生
5、阅读时间在 60 分钟以上的概率约为 11 25 . 6 分 （3）样本中阅读时间在 6090 分钟的选修 物理 的学生分两类：一类是阅读时间在 6075 分钟的共有 3 人，记为 a1，a2，a3，另一类是阅读时间在 7590 分钟 的共有 2 人，记为 b1，b2. 7 分 从这 5 人中任选 2 人，共有 10 种等可能基本事件： （a1，a2） ， （a1，a3） ， （a1，b1） ， （a1，b2） ， （a2，a3） ， （a2，b1） ， （a2，b2） ， （a3，b1） ， （a3，b2） ， （b1，b2）. 8 分 记事件 A 为： “至少有 1 人阅读时间在 7590
6、 之间” ， 则事件 A 的对立事件A： “2 人阅读时间都在 6075 之间” ，且A包括 3 种基 本事件： （a1，a2） ， （a1，a3） ， （a2，a3）. 9 分 根据古典概型概率公式， 得 3 ( ) 10 P A =. 10 分 （第 18 题） 选修物理 选修历史 时间/分钟 时间/分钟 频数 频数 3 6 9 9 6 2 15 30 45 60 75 90 105 15 30 45 60 75 90 105 2 1 1 高一数学参考答案与评分建议 3 / 7 由对立事件概率公式，得 7 ( )1( ) 10 P AP A= =. 11 分 答： 至少有 1 人阅读时间在
7、 7590 之间的概率约为 7 10 . 12 分 19 （本小题满分 12 分） 为了解某小卖部冷饮销量与气温之间的关系，随机统计并制作了 6 天卖出的冷饮的数量 与当天最高： 气温x （C） 27 29 30 32 33 35 数量 y 12 15 20 27 28 36 （1）画出散点图，并求出 y 关于 x 的线性回归方程； （2）根据天气预报，某天最高气温为 36.6C，请你根据这些数据预测这天小卖部卖出 的冷饮数量. 附：附：一组数据 11 ()xy， 22 ()xy，() nn xy， 的回归直线yabx=+的斜率和截距的最小二 乘估计为 ()() () 1 2 1 . n ii
8、 i n i i xxyy baybx xx = = = ， 解： （1）散点图如图所示. 2 分 根据销量与气温对照表知， 2729303233351215207836 =3123 66 xy + =， 4 分 则 ()() () () () ()() () ()()() 1 222 2222 1 411 +28131 4254 13 421124 n ii i n i i xxyy b xx = = + + + + = + + + 12943 4214 =， 6 分 431011 2331= 1414 aybx=， 8 分 所以 y 关于 x的线性回归方程为 431011 1414 yx=
9、. 9 分 （2）当x =36.6时， 431011 36.640.240 1414 y =. 11 分 （第 19 题） y x 21 24 27 36 33 30 12 15 18 39 27 29 31 33 35 37 高一数学参考答案与评分建议 4 / 7 答：当最高气温为 36.6C 时，可预测这天小卖部卖出的冷饮数量约为 40. 12 分 20 （本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，/AD BC，90BAD=，且 12ABBCAD=，PAPD=，点M为AD的中点，平面PAD 平面ABCD，直线PB 与平面ABCD所成角的正切值为 2 2
10、. （1）求证：/BM平面PCD； （2）求四棱锥PABCD的体积； （3）用一个平面去截四棱锥PABCD，请作 出一个平行四边形截面（无须证明） ，并 写出你能作出的平行四边形截面的个数. 证明：（1） 因为/AD BC，12BCAD=， 点M为AD的中点， 所以/BC MD，BCMD=. 从而四边形BCDM为平行四边形，所以/BMCD. 1 分 又BM 平面PCD，CD 平面PCD，所以/BM平面PCD. 3 分 （2）连结 PM，因为PAPD=，M为AD的中点，所以PMAD. 5 分 又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PM 平面PAD， 所以PM 平面ABCD.
11、7 分 所以直线PB与平面ABCD所成角为PBM，且 2 tan 2 PM PBM BM =， 又90BAD=，1ABAM=，所以2BM =，于是1PM =. 8 分 所以四棱锥PABCD的体积() 1111 121 1 3322 P ABCDABCD VSPM =+ = 梯形 . 9 分 （3）取PDPA，的中点EF，连结CEEFFB，则截面BCEF为平行四边形， 10 分 能作出无数个平行四边形截面. 12 分 21 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的圆心在直线 3 4 yx=上，且圆心的横坐标为整数， 圆 C 被 x 轴截得的弦长为 8，点 M（7，7
12、）在圆 C 上. （1）求圆 C 的方程； （第 20 题） A B C D P M E F 高一数学参考答案与评分建议 5 / 7 （2）已知直线 l 的斜率为 4 3 ，在 y 轴上的截距 t（t 为常数） ，与圆 C 相交于点 A，B. 问：直线 OA，OB 是否关于 x 轴对称？若对称，请证明；若不对称，请说明理由. 解： （1）设圆 C 的方程为()() 22 2 (0)xaybrr+=， 1 分 因为圆心()ab，在直线 3 4 yx=上，且圆心的横坐标为整数， 所以 3 4 ba=，aZ. 2 分 在方程()() 22 2 xaybr+=中，令0y =得， 22 xarb=， 则
13、圆 C 被 x 轴截得的弦长为 22 2 rb=8，即 22 16rb=. 3 分 又点 M（7，7）在圆 C 上，所以()() 22 2 77abr+=. 4 分 由得， 2 2491640aa+=， 所以4a =或 41 2 a =（舍） ， 于是 2 325br=， 所以圆 C 的方程为()() 22 4325xy+=. 6 分 （2）因为直线 l 的斜率为 4 3 ，在 y 轴上的截距 t，所以直线 l 的方程为 4 3 yxt=+. 与圆 C 的方程()() 22 4325xy+=联立方程组，并消去y得， () 22258 1660 93 t xxtt+=， 7 分 所以 2 121
14、2 8 16 63 2525 99 t tt xxx x += =，. 8分 从而 121221 1212 OAOB yyx yx y kk xxx x + +=+= 9 分 ()()1221 12 44 33 xxtxxt x x + = () 1212 12 8 3 x xt xx x x + = 10分 () () 2 2 12 12 8 16 863 8832525 616 3399 0 25 9 t tt t t ttt x x x x =， 11 分 所以AOxBOx= ，所以直线 OA，OB 关于 x 轴对称. 12 分 22 （本小题满分 12 分） 高一数学参考答案与评分建议
15、 6 / 7 已知函数 2 2 2 1 () 2 3 xaxx a fx xaxx a + = + ， ， ， 其中0a . （1）若( 0) )1ff=，求a的值； （2）若函数()fx的图象在 x 轴的上方，求a的取值范围. 解： （1）因为0a ，所以 2 0 a ，从而( 0)1f=. 1 分 当 2 1 a 即02a时，( 0) )ff=(1)111fa= + =，解得1a =，符合； 当 2 1 a 即2a时，( 0) )ff=(1)131fa= +=，解得3a =，符合. 所以a的值为 1 或 3. 3 分 （2）因为()fx的图象在x 轴的上方，所以对任意的xR，()0fx 恒
16、成立. 4 分 当 2 x a 时， 2 10 xax+ 恒成立，其中0a . 1当 2 2 a a 即02a时，则 ( ) 2 min 4 ( )0 24 aa f xf =，解得02a. 6 分 2当 2 2 a a 即2a时， 则 ( ) 2 242 +10fa aa a =， 解得02a， 所以2a =. 8 分 所以02a. 9 分 当 2 x a 时， 2 30 xax+恒成立，其中0a . 则 ( ) ( )( ) 2 min 222 ( )30f xfa aaa =+， 解得02a. 11 分 综上，02a. 12 分 另另解：解： 当 2 x a 时， 2 10 xax+ 恒
17、成立，其中0a . 若0 x，因为0a ，所以 2 10 xax+ 显然成立，所以0a . 5 分 若 2 0 x a ，则 1 ax x +恒成立. 1当 2 1 a 即02a时， 11 22xx xx +=（当且仅当1x =时， “=” 成立） ， 所以2a .于是02a. 7 分 高一数学参考答案与评分建议 7 / 7 2当 2 1 a 即2a时， 1 yx x =+在( ) 2 0 a ，上单调递减（证明略） ， 所以 2 2 a a a +，又因为0a ，所以02a，从而2a =. 8 分 所以02a. 9 分 当 2 x a 时， 2 30 xax+即 3 ax x 恒成立. 因为 3 yx x =在 ) 2 a + ，上是单调减函数，所以 32 2 a a a ，解得02a. 11 分 综上，02a. 12 分
