1、 20192020 学年度如东县第二学期期末学情检测 高 一 数 学 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 10 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 50 分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。题目要求的。 1. 若直线350axy经过点(2 1)A，则实数a的值 A1 B2 C3 D4 2. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 的正方体玩具)先后抛掷两次， 则向上的点数之和为4的概率为 A 1 18 B 1 12 C 1 9 D 1 3 3. 在ABC中，已知 222 2ababc，则角C
2、等于 A 6 B 4 C 2 3 D 3 4 4. 已知直线 1: 10lmxy ， 2 3220lmxmy：，若 12 ll，则实数 m 的值为 A2 B1 C1 或 2 D0 或 1 3 5. 已知 l，m为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题为真命题的是 A若/l m，m ，则/l B若lm，m，则l C若 / ，m ，则/m D若，m，则m 6. 圆 22 28130 xyxy截直线10axy 所得的弦长为2 3，则实数a A 4 3 B 3 4 C3 D2 7. 在长方体 1111 ABCDABC D中，2ABBC， 1 1AA ，则直线 1 BC与平面 11 BB DD所成角的
3、正弦值为 A 6 3 B 10 2 C 15 5 D 10 5 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，包含选择题（112） ）填空题（第 13 题第 16 题，共 80 分） 、解答题（第 1722 题，共 70 分） 。本次考试时间 120 分钟，满分 150 分、考试结束后，请将答题卡交回。 2答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签字 笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。 3答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。 在试卷或草稿纸上作答一
4、律无效。 4如有作图需要，可用 2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。 8. 关于某设备的使用年限 x（单位：年）和所支出的维修费用 y（单位：万元）有如下表的统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 由上表可得线性回归方程08. 0 xby，若规定当维修费用 y12 时该设备必须报废，据此模型预 报该设备使用的年限不超过（ ）年 A7 B8 C9 D10 9. 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AD 为角 A 的角平分线，交 BC 于 D， 4 B， 22AD，BD2，则 b A22 B2 C3 D6 10. 已知锐角ABC的内
5、角ABC， ，的对边分别为 a，b，c 且2 sinbaB， 则cossinBC的取值 范围为 A(0, 3 B(1, 3 C 3 3 , 22 D 31, 22 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的分，部分选对的得得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 11. 若圆 C1： 22 (1)1xy与圆 C2： 22 880 xyxym相切，则 m 的值可以是 A16 B7 C4
6、 D7 12. 如图，在三棱锥PABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，PA平面ABC， 90ABC，6ABPA，8BC ，则 A三棱锥DBEF的体积为18 B平面DEF截三棱锥PABC所得的截面面积为12 C点P与点A到平面BDE的距离相等 D直线PB与直线DF垂直 三三、填空题：本大题共、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答 题卡相应位置上题卡相应位置上 13. 若 x1，x2，xn的方差为2，则 2x1+3，2x2+3，2xn+3 的方差为 14. ABC 中，
7、角A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 2 2sinsinsinabcABC，则 ABC 一 定为 （用“直角三角形” “等边三角形” “等腰直角三角形”填空） 15. 设长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在同一个球面上，则该球的半径为 16. 已知凸四边形 ABCD（指把四边形的任意一条边向两端无限延长 成一直线时，其他各边都在此直线的同旁）中，边2 3BC ， 对角线4AC ，且90OACB,又顶点D满足 22 16ADCD， 则凸四边形 ABCD 的对角线BD长的范围是 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答分请在答
8、题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤过程或演算步骤 17 （本小题满分（本小题满分 10 分）分） ABC 的内角 A，B，C 的对边为 a，b，c，acosC+ccosA2bcosA （1）求 A； （2）若 B45 ，a2，求 b，c 18 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 在正四棱锥PABCD中，E，F 分别为棱PA PC，的中点 （1）求证：EF平面 ABCD； （2）求证：EF平面PBD 19 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 某校疫情期间“停课不停学” ，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三年级进行了一次网
9、 络模拟考试全年级共 1500 人，现从中抽取了 100 人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图 所示） 已知这 100 人中110，120）分数段的人数比100，110）分数段的人数多 6 人 （1）根据频率分布直方图，求 a，b 的值；并估计抽取的 100 名同学数学成绩的平均数（假设同 一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替） ； （2）现用分层抽样的方法从分数在130，140） ， 140， 150的两组同学中随机抽取 6 名同学， 从这 6 名同学中再任选 2 名同学作为“网络 课堂学习优秀代表”发言，求这 2 名同学的 分数恰在同一组内的概率 A B C D （第 16 题）
10、A C B D （第 18 题） P E F 频率/组距 20. （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 如图，在长方体ABCDHKLE中，底面ABCD是边长为3的正方形，对角线AC与BD相交于点 O，点F为线段AH上靠近点A的三等分点，BE与底面ABCD所成角为 3 . （1）求证：ACBE； （2）求二面角FBED的余弦值. 21. （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知圆 222 (2)(0)Cxyr r：与直线:34120lxy相切. （1）求圆C的标准方程； （2）若动点M在直线60y 上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为,A B. . 记四边形MACB的面积为
11、S，求S的最小值； 证明直线AB恒过定点. 22. （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知函数 2 ( )log (31) x f x . （1）求函数 ( )f x的定义域； （2）设 ( )( )g xf xa ，若函数( )g x在(1,2)上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围； （3） 设 ( )( ) ( ) m h xf x f x ， 是否存在正实数m， 使得函数( )yh x在1,2内的最大值为 4？若存在， 求出m的值；若不存在，请说明理由. 20192020 学年度如东县第二学期高一期末学情检测 数学参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，
12、每题小题，每题 5 分，共分，共 50 分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。题目要求的。 1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.D 8.D 9.A 10.C 二、多选题：多项选择题：本题共二、多选题：多项选择题：本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中，有分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 11.AC 12.BC 三、填空
13、题：本大三、填空题：本大题共题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答 题卡相应位置上题卡相应位置上 13.8 14.等边三角形 15. 14 2 16. 2 3 6， 四四、解答题：本大题共、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分请在请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答内作答. 解答时应写出文字说明、证解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤 17. 解： （1）因为：acosC+ccosA2bcosA 由正弦定理得 sinAcosC+sinCcosA2sinB
14、cosA 即 sin（A+C）2sinBcosAsinB，显然 sinB0故 2 1 cosA 因为), 0(A,所以 3 A 4 分 （2）结合（1）知 A60，B45， 故 754560180C， 而 4 26 )3045sin(75sin 所以由正弦定理得 75sin45sin60sin 2cb 解得 3 623 , 3 62 cb 10 分 18. 解（1）因为 E，F 分别为棱 PA，PC 的中点， 所以 EFAC， 2 分 又因为EFABCD平面，ACABCD平面， 所以 EF平面 ABCD5 分 （2）连结AC，BD交于点O，连结PO 因为PABCD为正四棱锥， 所以POABCD
15、平面 又ACABCD平面，所以POAC A C B D （第 18 题） P E F O 又因为BDAC，EFAC， 所以 EFPO， 在正方形 ABCD 中 ACBD,EFAC， EFBD 9 分 又POBDPBD，平面，=POBD O， 所以EFPBD平面， 12 分 19. 解： （1）依题意 a+b0.046，1000（ba）6， 解得 a0.020，b0.026， 平均数为： 750.02850.08950.141050.21150.261250.151350.1 1450.05 整理得平均数为 112 5 分 （2）设“抽取的 2 名同学的分数恰在同一组内”为事件 A 由题意，在分
16、数为130，140）的同学中抽取 4 人，分别用 a1，a2，a3，a4表示， 在分数为140，150的同学中抽取 2 人，分别用 b1，b2表示， 从这 6 名同学中抽取 2 人所有可能出现的结果有： （a1，a2） ， （a1，a3） ， （a1，a4） （a1， b1） ， （a1，b2） ， （a2，a3） ， （a2，a4） ， （a2，b1） ， （a2，b2） ， （a3，a4） ， （a3，b1） ， （a3， b2） ， （a4，b1） ， （a4，b2） ， （b1，b2）共 15 种， 抽取的 2 名同学的分数恰在同一组内的结果有： （a1，a2） ， （a1，a3） ，
17、 （a1，a4） ，a2， a3） ， （a2，a4） ， （a3，a4） ， （b1，b2） ，共 7 种， 所以 7 ( ) 15 P A ，抽取的 2 名同学的分数不在同一组内的概率为 7 15 12 分 2020解： （1）因为在长方体ABCDHKLE中，有DE 平面ABCD，因为 ABCDAC平面 所以DE AC ， 因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD， 又BDDED，从而AC 平面BDE. 而BE 平面BDE，所以ACBE； 5 分 （2）因为在长方体ABCDHKLE中， 有DA、DC、DE两两垂直， 以点D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立 如下图所
18、示的空间直角坐标系D xyz ， 由（1）知DBE为直线BE与平面ABCD所成的角， 又因为BE与平面ABCD所成角为 3 ，所以 3 DBE ，所以tan3 3 ED DB . 由3AD，得 3 2BD ，可知3 6DE ，所以3 6AH ， 因为 1 3 AFAH，故 6AF ， 则 3,0,0A ， 3,0, 6F ， 0,0,3 6E ， 3,3,0B ， 0,3,0C ， 所以 0, 3, 6BF ， 3,0, 2 6EF ， 设平面BEF的法向量为, ,nx y z，则 0 0 n BF n EF ， 即 360 32 60 yz xz ，令6z ，可得 4,2, 6n ， 8 分
19、 因为AC 平面BDE，所以CA为平面BDE的法向量，即3, 3,0CA uu u r ， 所以 613 cos, 13263 2 n CA n CA n CA . 根据法向量方向与二面角半平面的位置关系，可知二面角FBED为锐二面角， 所以二面角FBED的余弦值为 13 13 . 12 分 21解： （1）由题意知，圆心:(0 2)C，到直线:34120lxy的距离 812 4 5 d ，所以4r ， 故圆 C 的标准方程为 2 2 216xy. 4 分 （2）圆 C 的圆心为0,2，半径4r ， 因为MA、MB是C的两条切线， 所以CAMA，CBMB， 故 22 2 16MAMBMCrMC
20、 又因为 2 24416 ACM SSMAMC ， 根据平面几何知识，要使S最小，只要MC最小即可. 6 分 易知，当点M坐标为 0, 6 时， min 8MC. 此时 min 4 64 1616 3S. 8 分 设点M的坐标为 )6,a（ ， 因为90MACMBC， 所以MACB、 、 、四点共圆.且以MC为直径. 该圆方程为：()(6)(2)0 x xayy 又圆C的方程为16)2( 22 yx 两圆方程相减得:80axy 即直线 AB 的方程为80axy， 10 分 所以直线AB恒过定点(0 0)，. 12 分 22. 解： （1）由题意，函数 2 ( )log (31) x f x 有
21、意义，则满足310 x ，解得 0 x ， 即函数 f x的定义域为 |0 x x . 2 分 （2）由 ( )( )g xf xa ，且 2 ( )log (31) x f x ， 可得 2 log (31)( ),(1,2) x g xa x， 且 g x为单调递增连续函数， 又函数( )g x在(1,2)上有且仅有一个零点， 所以 120gg，即( 1) (3)0aa ，解得31a ， 所以实数a的取值范围是( 3, 1) . 6 分 （3）由 ( )( ) ( ) m h xf x f x ，设 ,1,2tf xx， 则( ),1,3,0 m h tttm t ， 易证( )h t在 0,m 为单调减函数，在 ,m 为单调增函数， 当1m 时，函数( )h t在1,3上为增函数，所以最大值为(3)34 3 m h， 解得3m，不符合题意，舍去； 当3m 时，函数( )h t在1,3上为减函数，所以最大值为(1)14 1 m h ， 解得3m，不符合题意，舍去； 当13m时，函数( )h t在1,m上增函数，在,3m上为减函数， 所以最大值为(1)4h或 34h，解得3m，符合题意， 综上可得，存在3m使得函数 yh x的最大值为 4. 12 分
