1、 - 1 - 2017-2018 学年度第二学期期末考试高一数学文科试题 一、单选题（每题 5分，共 60 分） 1 不等式 3112x x? ? 的解集是（ ） A. 3 | 24xx? B. 3 | 24xx? C. 2xx 或 34x? D. ? ?2xx 2 已知平面向量 , 满足 , , 与 的夹角 1200为 ,若 ,则实数 的值为( )A. B. C. D. 3 中国古代数学 著 作算法统宗中有这样一个问题； “ 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还 .” 其意思为： “ 有一个人走了 378 里路，第一天健步走行，从第
2、二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第六天走了 多少里 ?” （ ） A. 96 里 B. 48 里 C. 12里 D. 6 里 4 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 48 B. 42 C. 36 D. 24 5 ABC 中，若 B 45 ， 22,334 ? cb 则 A（ ） A. 15 B. 75 C. 75 或 105 D. 15 或 75 6 将函数图像 )6cos(2)( ? xxf 上所有点的横坐标缩短到原来的 21 倍（纵坐标不变），得到函数 的图像，则函数 的图像的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 7 已知直
3、线 1 : 2 1 0l x y? ? ?， 2 : 2 5 0l x ny? ? ?， 3 : 3 1 0l mx y? ? ?， 若 12/ll且 13ll? ，则 mn? 的值为 （ ） - 2 - A. -10 B. -2 C. 2 D. 10 8 函数 )32ln( 2 ? xxy 的减区间是（ ） A. B. C. D. 9 如图，在直四棱柱 中，四边形 为梯形， ， ， ，则直线 与 所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10 已知直线 :3l y x m?与圆 ? ?22: 3 6C x y? ? ?相交于 A 、 B 两点，若 22AB? ，则实数 m 的值等于（
4、 ） A. -7或 -1 B. 1或 7 C. -1或 7 D. -7或 1 11 已知 0, 0xy?，且 211xy?，若 222x y m m? ? ? 恒成立，则实数 m的取值范围是（ ） A. 42m? ? ? B. 24m? ? ? C. 42mm? ?或 D. 24mm? ?或 12 已知函数 满足 ，且 是偶函数，当 时， ，若在区间 内，函数 )()2(lo g)( xfxxg a ? 有 4 个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题 5分，共 20 分） 13 已知 51cossin ? ? ，则 的值是 _. 14 已知数列 ?na 的
5、前 n项和 nS = 2n +n，则 ? 54 aa _. 15 若 满足约束条件 则 的最大值为 _ 16 已知圆 22:1O x y?，圆 ? ? ? ?22: 4 1M x a y a? ? ? ? ?，若圆 M 上存在点 P ，过点 P作圆 O 的两条切线，切点为 ,AB，使得 060APB?，则实数 a 的最大值与最小值之和为_ - 3 - 三、解答题 17（ 10 分） 已知函数 xxxf 2s in3)22s in ()( ? ? （ 1）求函数 的最小正周期； （ 2）求函数 在区间 ? 2,0?上的最值及相应的 值 18（ 12 分） ABC的 内角 A， B， C的对边分别
6、为 a， b， c，已知 2cosC(acosB bcosA) c. (1)求 C； (2)若 ， ABC的面积为 233?ABCS，求 ABC 的周长 19（ 12 分） 已知 为等差数列，且 ， . （ 1）求 的通项公式； （ 2）设nnn ab 2?，求数列 错误 !未找到引用源。 的前 n项和 . 20（ 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中 ， PD? 底面 ABCD ， 底面 ABCD 为正方形 ， PD DC? ， EF、 分别是 AB PB、 的中点 . （ ）求证： EF CD? ； （ ）求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值 . - 4 - 21（ 12 分
7、） 已知直线 1l ： ? ? ? ?2 1 2 4 3 0m x m y m? ? ? ? ? ?. (1)求证：无论 m 为何实数，直线 1l 恒过一定点 M ； (2)若直线 2l 过点 M ，且与 x 轴负半轴、 y 轴负半轴围成三角形面积最小，求直线 2l 的方程 . 22（ 12分） 已知点 在圆 上运动，且存在一定点 ，点 为线段 的中点 . （ 1）求点 的轨迹 的方程； （ 2）过 且斜率为 的直线 与点 的轨迹 交于不同的两点 ，是否存在实数 使得12?OFOE ,并说明理由 - 5 - 2017-2018学年度第二学 期期末考试高一数学文 一、 单选题 BADDD BBB
8、AC AD 二、填空题（每题 5分，共 20 分） 13 2524? 14 18 15 9 16 4 三、解答题 17 （ 1） ， 所以 的最小正周期是 （ 2）因为 ，所以 ， 所以 ， 当 时， ；当 时， 18（ 1） 由已知及正弦定理得 2cosC(sinAcosB sinBcosA) sinC， 2cosCsin(A B) sinC，故 2sinCcosC sinC. 可得 cosC ， 因为 ， 所以 C . （ 2） 由已知 S ABC absinC ，又 C ，所以 ab 6， 由已知及余弦定理得 a2 b2-2abcosC 7，故 a2 b2 13，从而 (a b)2 25
9、， 所以 a b 5.所以 ABC的周长为 5 . 19 （ ）由已知条件可得 ， 解之得 ， ，所以， . （ ）由 可得， ，设数列 的前 项和为 . - 6 - 则 ， ， 以上二式相减得 ， 所以， . 20 （ ）因为 PD? 底面 ABCD ， CD? 平面 ABCD ，所以 PD CD? 又因为正方形 ABCD 中， AD CD? ， PD AD D? 所以 CD? 平面 PAD 又因为 PA? 平面 PAD ，所以 CD PA? 因为 EF、 分别是 AB 、 PB 的中点，所以 /EF PA 所以 EF CD? （ ）设点 B 到 平面 DEF 的距离为 h F DBE B
10、DEFVV? 等体积法求出 63h? 设直线 DB 与平面 DEF 所成角为 ? ， 6 1 33622hsin DB? ? ? ? ?21 （ 1）证 明 1l ： ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 4 3 0 2 3 2 4 0m x m y m m x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 2 3 0 1 2 4 0 2x y xx y y? ? ? ? ? ? ? ? ?则 ? ?1, 2M ? 所以无论 m 为何实数，直线 1l 恒过一定点 ? ?1, 2M ? 。 （ 2）由题知直线 2l 的斜率 0k? ，设直线 2l ： ? ?21y k x?
11、 ? ? ， 0, 2.x y k? ? ?令 20, 1.yxk? ? ?令 1 2 1 4 1 42 1 2 2 42 2 2S k k kk k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， - 7 - 40 , 0 , 0 .kkk? ? ? ? ? ?4424kkkk? ? ? ? ? ? ?， 4 =2kkk? ? ? ?当 且 仅 当 即 时 取 等， ? ?2 2 1yx? ? ? ? ? 即： 2 4 0xy? ? ? 22 详解：（ 1）由中点坐标公式， 得 即 ， . ， 点 在圆 上运动， 即 ， 整 理 得 . 点 的轨迹 的方程为 . （ 2）设 ， ，直线 的方程是 ， 代入圆 . 可得 ， 由 ，得 ， 且 ， ， . . 解得 或 1，不满足 . 不存在实数 使得 .
