1、 1 2016 2017 学年度下学期瓦房店市期末考试 高一数学 (理 )试题 试卷满分 ： 150 分 考试时间： 120 分钟 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 .) 1 已知全集 ? ?0,1, 2,3, 4,5U ? ,集合 ? ?1,2,3,5A? , ? ?2,4B? ，则 ()UC A B?( ) A. ?4 B. ? ?0,2,3,4 C. ? ?0,2,4 D. ? ?1,2,4 2 已知 ,lm为直线， ? 为平面， /l ? ， m? ，则 l 与 m 之间的关系是 ( ) A. 平行 B. 垂直 C.
2、异面 D. 平行或异面 3 设 12, , , nx x x 的平均数为 x ，标准差是 s ，则另一组数 122 3 , 2 3 , , 2 3nx x x? ? ?的平均数和标准差分别是 ( ) A. 2,4xs B. 2 3,4xs? C. 2 3,2xs? D. 2,xs 4 幂函数 2 2 1( ) ( 2 1) mf x m m x ? ? ?在 (0, )? 上为增函数，则实数 m 的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 或 2 5 已知向量 ? ?2,7a? ， ? ?,3bx?，且 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围为 ( ) A. 212x?
3、B. 6 2172x? ? ? C. 67x? D. 212x? 且 67x? 6 设 sin33a? ， cos55b? ， tan35c? ，则 ( ) A. c b a? B. b c a? C. abc? D. c a b? 7我国古代名著九章算术中有这样一段 话： “ 今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤 ” 意思是： “ 现有一根金锤，头部的 1 尺，重 4 斤；尾部的 1 尺，重 2 斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列 .” 则下列说法 错误 的是 ( ) A. 该金锤中间一尺重 3 斤 B. 中间三尺的重量和 是 头尾两尺重量和的 3 倍 C. 该金锤的重量
4、为 15 斤 D. 该金 锤相邻两尺的重量之差的绝对值为 0.5 斤 8 在区间 ? ?0,? 上随机取一 实数 x ，则事件 “ 23sin22x?” 发生的概率为 ( ) 2 A. 16 B. 112 C. 324? D. 322? 9 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc， S 表示 ABC? 的面积，若 c o s c o s sina B b A c C?， ? ?2 2 214S b c a? ? ?，则 B? ( ) A. 2? B. 4? C. 6? D. 23? 10 若 ?x 表示不超 过 x 的最大整数，则图中的程 序框图运行之后输出的结果为 ( ) A
5、. 49850 B. 49900 C. 49800 D. 49950 11 已知 3s in s in 12? ? ?， 1cos cos 2?，则? ?cos?( ) A. 32? B. 12? C. 12 D. 32 12已知函数 ? ? 2 31c o s s in2 2 2xf x x? ? ? ? ( 0, )xR?，若函数 ?fx在区间 ? ?,2?内没有零点，则 ? 的取值范围是 ( ) A. 110,12? ?B. 5 5 11(0, , )12 6 12? C. 50,6? ?D. 5 5 11(0, , 12 6 12? 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分 )
6、 13 从编号为 0， 1， 2， ? ， 79 的 80 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为 5 的一个样本，若编号为 42 的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为 14与向量 )4,3(?a? 垂直且模长为 2 的向量为 15 如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体的 表面 积为 _ 16.三角形 ABC 中， 4BC? ，且 s in c o t c o s 3A B A?，则三角形 ABC 面积最大值为 _. 第 15 题图俯视图侧视图正视图第 10 题图结 束输出 S否K = K +1S = S +K40? ?K 2017S =0
7、K =0开 始是3 三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17 (10 分 ) 已知 2sin cos 022xx?. (1)求 tanx ； (2)求 cos 22c os sin4xxx?的值 . 18 (12 分 )三 角形 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a,b,c，已知 2 2 cosc a b A? (1)求角 B 的大小； (2)若 23b? ，求 ac? 的最大值 19 (12 分 ) 2017 年 高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此 瓦房店市高级中学 高三年级 数学组 特命制了一套与数学文 化有关的 专题训练卷 (文、理科试卷满分均为
8、 100 分 )，并对 整个高三年级的学生进行了测试 .现从这些学生中随机抽取了 50 名学生的成绩，按照成绩为 ? ?50,60 ， ? ?60,70 ， ? ， ? ?90,100 分成了 5 组，制成了如图所示的频率分布直方图 (假定每名学生的成绩均不低于 50 分 ). (1)求频率分布直方图中的 x 的值，并估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数、中位数 (同一组中的数据用该组区间的中点值代表 ，中位数请用分 数表示 )； (2)若高三年级共有 700 名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于 70 分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于 70 分的三组学生中抽取
9、 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有 1 人被抽到的概率 . 4 第 19 题图0.01x0.0350 60 70 80 90 100频率组距分数O20 (12 分 ) 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD? 中， PA? 底面 ABCD ， , / / , 2A D A B A B D C A D D C A P? ? ? ?， 1AB? ，点 E 为棱 PC 的中点 . (1)证明： /BE 面 APD ； (2)证明 ： BE CD? ； (3)求三棱锥 P BDE? 的体积 21 (12 分 )已知等差数列 ?na 的前 n 项和为
10、 nS ， 3 7a? ， 9 27S? . (1)求数列 ?na 的通项公式； (2)若 nnba? ，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 22 (12 分 ) 已知圆 2 2 2: ( 0 )O x y r r? ? ?与直线 2 2 0xy? ? ? 相切 . (1)求圆 O 的方程； 第 20 题图A BDCPE5 (2)过点 31,3?的直线 l 截圆所得弦长为 23，求直线 l 的方程； (3)设圆 O 与 x 轴的负半轴的交点为 A ，过点 A 作两条斜率分别为 12,kk的直线交圆 O 于 ,BC两点，且 12 2kk? ，证明：直线 BC 恒过一个定点，并求出该定点坐标
11、 . 6 高 一期末 数学 (理 )参考答案 一、选择题 1 C 2 D 3 C 4 C 5 D 6 A 7 B 8 A 9 B 10 A 11 D 12 D 二、填空题 13. 10 14. 86( , )55? 或 86( , )55? 15. (2 5)? ? 16. 43 三、解答题 17.解 (1) 由题意可得： 2sin cos 022xx?， 1tan22x? ， 2212 ta n 2422ta n311 ta n 12 2xx x? ? ? ? ?.-(5 分 ) (2) cos 22c os sin4xxx? ?22cos sincos sin sinxxx x x? ?2
12、22cos sincos sin sinxxx x x? ?221 tantan tanxxx? ?224134433?74? .-(10 分 ) 18. 解 (1)由已知及正弦定理，得 2 s in s in 2 s in c o sC A B A? 180C A B? ? ?， 2 s i n ( ) s i n 2 s i n c o sA B A B A? ? ? 化简，得 sin (2 co s 1) 0AB? ? ? sin 0A? ， 1cos 2B? 0 B p?， 3B p? -(4 分 ) (2)由已知及 正 弦定理，得 sin sin sinb a cB A C? 即 4
13、 sin , 4 sina A c C? 从而 4 s i n 4 s i na c A C? ? ?，因为 23ACp? ， 所 以24 ( s i n s i n ( ) )3a c A Ap? ? ? ?，化简得 4 3 s in ( )6a c A p? ? ?， -(8 分 ) 因为 20 3A p? ，可得 56 6 6Ap p p? ? ? ，于是 1 sin ( ) 126A p? ? ?， 当 3A p? 时， ac? 的最大值为 43.-(12 分 ) 7 19. (1)由频率分布直方图可得第 4 组的频率为 1 0.1 0.3 0.3? ? ? 0.1 0.2?， 故 0
14、.02x? .-(1 分 ) 故可估计所抽取的 50 名学生成绩的平 均数为 (55 0.01 65 0.03? ? ? 7 5 0 .0 3 8 5 0 .0 2? ? ? ? ? 95 0.01) 10 74? ? ?（分） . -(3分 ) 由于前两组的频率之和为 0.1 0.3 0.4?，前三组的频率之和为 0.1 0.3 0.3 0.7? ? ?，故中位数在第 3 组中 . 设中位数为 t 分， 则有 ? ?70 0.03 0.1t ? ? ?，所以 1733t? ， 即所求的中位数为 1733 (或写成 2203 )分 . -(5 分 ) (2)由 (1)可 知， 50 名学生中成
15、绩不低于 70 分 的频率为 0.3 0.2 0.1 0.6? ? ?， 由以上样本的频率，可 以估计高三年级 700 名学生中成绩不低于 70 分 的人数为 700 0.6 420?. -(7 分 ) (3)由 (1)可知， 后三组中的人数分 别为 15,10,5， 故这三组中所抽取的人数分别为 3,2,1.记成绩在? ?70,80 这组的 3 名学生分别 为 a ， b ， c ，成绩在 ? ?80,90 这组 的 2 名学生分别为 d ， e ，成绩在 ? ?90,100 这组的 1 名学生为 f ，则从中任抽取 3 人的所有可能 结果为 ? ?,abc ， ? ?,abd ， ? ?,
16、abe ， ? ?,abf ， ? ?,acd ， ? ?,ace ， ? ?,ac f ， ? ?,ade ， ? ?,ad f ， ? ?,aef ， ? ?,bcd ， ? ?,bce ， ? ?,bc f ， ? ?,bde ， ? ?,bd f ， ? ?,bef ， ? ?,cde ， ? ?,cd f ， ? ?,cef ， ? ?,def 共 20 种 . -(10 分 ) 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为 ? ?,abc ，只有 1 种， 故后两组中至少有 1 人被抽到的概率为 1 191 20 20P ? ? ? . -(12 分 ) 20.证明： (1)取 PD 中点
17、 F ，连接 ,AFEF 第 20 题图A BDCPEF8 ,EF分别是 ,PCPD 的中点 ? 1/ / , 2EF CD EF CD? 1/ / , 2AB CD AB CD? ? / / ,EF AB EF AB? ?四边形 ABEF 是平行四边形 ? /BE AF 又 ,B E P A D A F P A D?面 面 ? /BE PAD面 -(4 分 ) (2) , , ,A P A D F P D A F P D P A A B C D D C A B C D P A D C? ? ? ? ? ? ?为 的 中 点 ， 面 面 ,/A D D C D C P A DD C A F A
18、 F P D CA F CDA F B EB E CD? ? ? ? ? ?又 面面-(8 分 ) (3) 1 1 1 2.2 2 6 3P B D E B P D E B P D C P B D C B D CV V V V S P A? ? ? ? ? ? ? ? ?. -(12 分 ) 21. 解： (1) 2 13nan? ? ； -(4 分 ) (2)当 6n? 且 *nN? 时， 12nT a a? ? ? ? 2 12na n n? ? ， -(7 分 ) 当 7n? 且 *nN? 时， ? ?1 2 6nT a a a? ? ? ? ? ? ?78 na a a? ? ? 2 12 72nn? ? ? ， -(11 分
