1、 1 2016 2017 学年度下学期瓦房店市期末考试 高一数学 (文 )试题 试卷满分 ： 150 分 考试时间： 120 分钟 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 .) 1 已知全集 ? ?0,1, 2,3, 4,5U ? ,集合 ? ?1,2,3,5A? , ? ?2,4B? ，则 ()UC A B?( ) A. ?4 B. ? ?0,2,3,4 C. ? ?0,2,4 D. ? ?1,2,4 2 已知 ,lm为直线， ? 为平面， /l ? ， m? ，则 l 与 m 之间的关系是 ( ) A. 平行 B. 垂直 C.
2、异面 D. 平行或异面 3 设 12, , , nx x x 的平均数为 x ，标准差是 s ，则另一组数 122 3 , 2 3 , , 2 3nx x x? ? ?的平均数和标准差分别是 ( ) A. 2,4xs B. 2 3,4xs? C. 2 3,2xs? D. 2,xs 4 函数 12 1( ) ( )2 xf x x?的零点个数 为 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5 已知向量 a ， b 满足 | | 2,| | 4ab?， 且 4ab? ，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A. 6? B. 2? C. 4? D. 3? 6 设 sin33a? ， cos55b?
3、 ， tan35c? ， 则 ( ) A. c b a? B. b c a? C. abc? D. c a b? 7我国古 代名著九章算术中有这样一段话： “ 今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤 ” 意思是： “ 现有一根金锤，头部的 1 尺，重 4 斤；尾部的 1 尺，重 2 斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列 .” 则下列说法 错误 的是 ( ) A. 该金锤中间一尺重 3 斤 B. 中间三尺的重量和 是 头尾两尺重量和的 3 倍 C. 该金锤的重量为 15 斤 D. 该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为 0.5 斤 8 在区间 ? ?0,? 上 随 机地取一个 x ，
4、则事件 “ 20 sin 2x?” 发生的概率为 ( ) 2 A. 12 B. 14 C. 22 D. 24 9 已知锐角 ABC? 的外接圆半径为 22 BC ， 且 2 2 , 3AB AC?，则 BC? ( ) A. 29 B. 5 C. 2 D. 5 10 若 ?x 表示 不超过 x 的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为 ( ) A. 400 B. 600 C.10 D. 15 11 已知函数 ( ) s i n c o s ( )f x a x b x x R? ? ?，若 0xx? 是函数()fx的一条对称轴，且 0tan 3x ? ，则点 (, )ab 所在直线为 (
5、 ) A. 30xy? B. 30xy? C. 30xy? D. 30xy? 12已知函数 ? ? 2 31c o s s in2 2 2xf x x? ? ? ? ( 0, )xR?，若函数 ?fx在区间 ? ?,2?内没有零点，则 ? 的取值范围是 ( ) A. 110,12? ?B. 5 5 11(0, , )12 6 12? C. 50,6? ?D. 5 5 11(0, , 12 6 12? 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分 ) 13 从编号为 0， 1， 2， ? ， 79 的 80 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为 5 的一 个样本，若编号为 42 的产品在样
6、本中，则该样本中产品的最小编号为 14与向量 )4,3(?a? 垂直 的单位 向量为 15 如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体的 体 积为 _ 16.三角形 ABC 中， 4BC? ，且 3AB AC? ，则三角形 ABC 面积第 15 题图俯视图侧视图正视图是开 始K =0S =0K 200S = S +K40? ?K = K +1否输出 S结 束第 10 题图3 最大值为 _. 三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17 (10 分 )设函数 0 .5 0 .5( ) lo g lo g (1 )f x x x? ? ?
7、. (1)求 ()fx的定义域； (2)指出 ()fx的单调递减区间 (不必证明 ). 18 (12 分 )已知数列 ?na 为 等差 数列，其 前 n 项和为 nS ， 若 3 3a? ， 6 9a? . (1)求数列 ?na 的通项公式； (2)求 数列 ?na 前 n 项和 nS . 19 (12 分 )三角形 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a,b,c，已知 2 2 cosc a b A? (1)求角 B 的大小； (2)若 23b? ，求 ac? 的最大值 20 (12 分 ) 2017 年 高考特别强调了要增加对数学文化的 考查，为此 瓦房店市高级中学 高三年级 数学
8、组 特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷 (文、理科试卷满分均为 100 分 )，并对整个高三年级的学生进行了测试 .现从这些学生中随机抽取了 50 名学生的成绩，按照 成绩为 ? ?50,60 ， ? ?60,70 ， ? ， ? ?90,100 分成了 5 组，制成了如图所示的频率分布直方图 (假定每名学生的成绩均不低于 50 分 ). (1)求频率分布直方图中的 x 的值，并估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数、中位数 (同一组中的数据用 该组区间的中点值代表 ，中位数请用分数表示 )； (2)若高三年级共有 700 名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于 70 分的人数； (3
9、)若利用分层 抽样的方法从样本 中成绩不低于 70 分的三组学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人参加这次考 试的考第 20 题图0.01x0.0350 60 70 80 90 100频率组距分数O4 后分析会，试求后两组中至少有 1 人被抽到的概率 . 21 (12 分 ) 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD? 中， PA? 底面 ABCD ， , / / , 2A D A B A B D C A D D C A P? ? ? ?， 1AB? ，点 E 为棱 PC 的中点 . (1)证明： /BE 面 APD ； (2)求三棱锥 P BDE? 的体积 22 (12 分 )
10、某校一个校园景观的主题为 “ 托起明天的太阳 ” ，其主体是一个半径为 5 米的球体， 需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计轴截面如图所示，设 OAB a? (注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱 ) (1)用 a 表示圆柱的高； 第 21 题图A BDCPE5 (2)实践表明，当球心 O 和圆柱底面圆周上的点 D 的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳， 试 求 出OD 最大值，并求出 此时 a 的值 第 22 题图ABC DO6 高 一期末 数学 (文 )参考答案 一、选择题 1 C 2 D 3 C 4 C 5 D 6 A 7 B 8 A 9 B 10
11、A 11 D 12 D 二、填空题 13. 10 14. 43( , )55? 或 43( , )55? 15. 43? 16. 43 三、解答题 17.解 (1)定义域为 | 0 1xx? .-(5 分 ) (2) 单调递减区间为 1(0, 2 ； -(10 分 ) 18. 解： (1) 23nan?； -(6 分 ) (2) 21() 22 nn n a aS n n? ? ?- (12 分 ) 19. 解 (1)由已知及正弦定理，得 2 s in s in 2 s in c o sC A B A? 180C A B? ? ?， 2 s i n ( ) s i n 2 s i n c o
12、sA B A B A? ? ? 化简，得 sin (2 co s 1) 0AB? ? ? sin 0A? ， 1cos 2B? 0 B p?， 3B p? -(6 分 ) (2) 由已知及 正 弦定理，得 sin sin sinb a cB A C? 即 4 sin , 4 sina A c C? 从而 4 s i n 4 s i na c A C? ? ?，因为 23ACp? ， 所 以24 ( s i n s i n ( ) )3a c A Ap? ? ? ?，化简得 4 3 s in ( )6a c A p? ? ?， -(10 分 ) 因为 20 3A p? ，可得 56 6 6Ap
13、p p? ? ? ，于是 1 sin ( ) 126A p? ? ?， 当 3A p? 时， ac? 的最大值为 43.-(12 分 ) 20. (1)由频率分布直方图可得第 4 组的频率为 1 0.1 0.3 0.3? ? ? 0.1 0.2?， 7 故 0.02x? .-(1 分 ) 故可估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数为 (55 0.01 65 0.03? ? ? 7 5 0 .0 3 8 5 0 .0 2? ? ? ? ? 95 0.01) 10 74? ? ?（分） . -(3分 ) 由于前两组的频率之和为 0.1 0.3 0.4?，前三组的频率之和为 0.1 0.3 0.3
14、0.7? ? ?，故中位数在第 3 组中 . 设中位数为 t 分， 则有 ? ?70 0.03 0.1t ? ? ?，所以 1733t? ， 即所求的中位数为 1733 (或写成 2203 )分 . -(5 分 ) (2)由 (1)可 知， 50 名学生中成绩不低于 70 分 的频率为 0.3 0.2 0.1 0.6? ? ?， 由以上样本的频率，可 以估计高三年级 700 名学生中成绩不低于 70 分 的人数为 700 0.6 420?. -(7 分 ) (3)由 (1)可知， 后三组中的人数分别为 15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为 3,2,1.记成绩在? ?70,80 这组的
15、3 名学生分别 为 a ， b ， c ，成绩在 ? ?80,90 这组 的 2 名学生分别为 d ， e ，成绩在 ? ?90,100 这组的 1 名学生 为 f ，则从中任抽取 3 人的所有可能 结果为 ? ?,abc ， ? ?,abd ， ? ?,abe ， ? ?,abf ， ? ?,acd ， ? ?,ace ， ? ?,ac f ， ? ?,ade ， ? ?,ad f ， ? ?,aef ， ? ?,bcd ， ? ?,bce ， ? ?,bcf ， ? ?,bde ， ? ?,bd f ， ? ?,bef ， ? ?,cde ， ? ?,cd f ， ? ?,cef ， ?
16、?,def 共 20 种 . -(10 分 ) 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为 ? ?,abc ，只有 1 种， 故后两组中至少有 1 人被抽到的概 率为 1 191 20 20P ? ? ? . -(12 分 ) 21 证明： (1)取 PD 中点 F ，连接 ,AFEF ,EF分别是 ,PCPD 的中点 ? 1/ / , 2EF CD EF CD? 第 20 题图A BDCPEF8 1/ / , 2AB CD AB CD? ? / / ,EF AB EF AB? ?四边形 ABEF 是平行四边形 ? /BE AF 又 ,B E P A D A F P A D?面 面 ? /BE PA
17、D面 -(6 分 ) (2) 1 1 1 2.2 2 6 3P B D E B P D E B P D C P B D C B D CV V V V S P A? ? ? ? ? ? ? ? ?. -(12 分 ) 22.(1)作 OM AB? 于点 M，则在直角三角形 OAM 中， 因为 OAB a?， 所以 c o s 5 c o sAM O A aa?， 因为四边形 ABCD 是等边圆柱的轴截面， 所以四边形 ABCD 为正方形， 所以 2 1 0 c o sA D A B A M a? ? ? -(6 分 ) (2)由余弦定理得： 2 2 25 ( 1 0 c o s ) 2 5 ( 1 0 c o s ) c o s ( )2OD pa a a? ? ? ? ? ? 22 5 1 0 0 c o s 5 0 s in 22 5 5 0 (1 c o s 2 ) 5 0 s in 2aaaa? ? ? ? ? ?5 0 ( s in 2 c o s 2 ) 7 55 0 2 s in ( 2 ) 7 54aapa? ? ? ? ?-(10 分 ) 因为 (0, )2pa? ，所以 52 ( , )44ppa? ，
