1、第二章函数(hnsh)、导数及其应用第一页，共42页。一、函数与映射一、函数与映射(yngsh)的概念的概念 函数函数映射映射两集合两集合A、B设设A、B是两个是两个设设A、B是两个是两个对应关对应关系系f：AB如果按照某个对应关系如果按照某个对应关系f，对于集合对于集合A中中 一个一个数数x，在集合，在集合B中都存在中都存在 的数的数f(x)与之对应与之对应两个集合两个集合A与与B间存在着间存在着对应关系对应关系f，而且对于，而且对于A中的每一个元素中的每一个元素x，B中中总有总有 的一个元素的一个元素y与它对应与它对应名称名称称称 为定义在为定义在集合集合A上的函数上的函数称对应称对应 为
2、从集为从集合合A到集合到集合B的一个映射的一个映射记法记法yf(x)，xAf：AB非空数集非空数集非空集合非空集合任何任何(rnh)唯一唯一(wi y)确定确定唯一唯一f：ABf：AB第二页，共42页。二、函数二、函数(hnsh)的有关概念的有关概念 1函数函数(hnsh)的定义域、值域：的定义域、值域：在函数在函数(hnsh)yf(x)，xA中，中，x叫做自变量，叫做自变量，叫做函数叫做函数(hnsh)的定义域；与的定义域；与x的值相对应的的值相对应的y值叫做函数值叫做函数(hnsh)值，值，叫做函叫做函数数(hnsh)的值域显然，值域是集合的值域显然，值域是集合B的子集的子集 2函数函数(
3、hnsh)的三要素：的三要素：、和和 x的取值的取值范围范围(fnwi)A函数函数(hnsh)值的集合值的集合f(x)|xA定义域定义域值域值域对应关系对应关系第三页，共42页。三、函数的表示方法三、函数的表示方法 表示函数的常用方法有：表示函数的常用方法有：、和和 四、分段函数四、分段函数 在函数的定义域内，如果对于自变量在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围，有的不同取值范围，有着着 对应关系，那么对应关系，那么(n me)这样的函数通常叫做分段函这样的函数通常叫做分段函数数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域，其值域等于各段函
4、数的值域的等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数它表示的是一个函数 解析解析(ji x)法法图像图像(t xin)法法列表法列表法不同的不同的并集并集并集并集第四页，共42页。小题能否小题能否(nn fu)全取全取解析解析(ji x)：A中定义域不同，中定义域不同，B中对应关系不同，中对应关系不同，C中定中定义域不同义域不同 答案答案(d n)：D第五页，共42页。解析解析(ji x)：f(g(3)f(1)3.答案答案(d n)：C第六页，共42页。答案答案(d n)：D 第七页，共42页。4已知集合已知集合A0,8，集合，集合B0
5、,4，则下列，则下列(xili)对应关系中，对应关系中，不能看作从不能看作从A到到B的映射的是的映射的是 ()解析：按照解析：按照(nzho)对应关系对应关系f：xyx，对，对A中某些元素中某些元素(如如x8)，B中不存在元素与之对应中不存在元素与之对应答案答案(d n)：D第八页，共42页。5给出下列四个命题给出下列四个命题(mng t)，正确的有，正确的有 ()第九页，共42页。A1个个 B2个个C3个个 D4个个解析：由函数的定义解析：由函数的定义(dngy)知知正确，正确，错误因为函数错误因为函数f(x)5为常数函数，所以为常数函数，所以f(t21)5，故，故正确因为正确因为xN，所以
6、函数，所以函数y2x(xN)的图像是一些离散的点，故的图像是一些离散的点，故错误错误答案：答案：B第十页，共42页。1.函数与映射函数与映射(yngsh)的区别与联系的区别与联系 (1)函数是特殊的映射函数是特殊的映射(yngsh)，其特殊性在于集合，其特殊性在于集合A与集合与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集到非空数集B的映射的映射(yngsh)(2)映射映射(yngsh)不一定是函数，从不一定是函数，从A到到B的一个映射的一个映射(yngsh)，A、B若不是数集，则这个映射若不是数集，则这个映射(yngsh)便不是函数便不是函数第十一页，共4
7、2页。2定义域与值域相同的函数，不一定定义域与值域相同的函数，不一定(ydng)是相同函数是相同函数 如函数如函数yx与与yx1，其定义域与值域完全相同，但不是，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数相同函数；再如函数ysin x与与ycos x，其定义域与值域完全相，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数因此判断两个函数是否相同，关键是看定同，但不是相同函数因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同义域和对应关系是否相同 3求分段函数应注意的问题求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值在求分段函数的值f(x0)时，一定时，一定(ydng)要首先判断要首先判断x0属于
8、定属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集第十二页，共42页。例例1有以下有以下(yxi)判断：判断：第十三页，共42页。第十四页，共42页。答案答案(d n)(2)(3)第十五页，共42页。两个函数是否是同一个函数，取决于它们两个函数是否是同一个函数，取决于它们(t men)的定的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数另外，函数的
9、自变应关系完全相同时，才表示同一函数另外，函数的自变量习惯上用量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示同一函数均表示同一函数第十六页，共42页。1下列对应关系是集合下列对应关系是集合P上的函数的是上的函数的是_(1)PZ，QN，对应关系，对应关系f：对集合：对集合P中的元素中的元素(yun s)取绝对值与集取绝对值与集合合Q中的元素中的元素(yun s)相对应；相对应；(2)P1,1，2,2，Q1,4，对应关系：，对应关系：f：xyx2，xP，yQ；(3)P三角形三角形，Qx|x0，对应关系，对应关系f：对
10、：对P中三角形求面积与集合中三角形求面积与集合Q中元素中元素(yun s)对应对应解析：由于解析：由于(1)中集合中集合P中元素中元素(yun s)0在集合在集合Q中没有对应元素中没有对应元素(yun s)，(3)中集合中集合P不是数集，因此不是数集，因此(1)(3)中的对应不是中的对应不是p上的函数；上的函数；(2)中集中集合合P中任一元素中任一元素(yun s)在集合在集合Q中都有唯一元素中都有唯一元素(yun s)与之对应，因与之对应，因此，该对应关系是集合此，该对应关系是集合P上的函数上的函数答案：答案：(2)第十七页，共42页。第十八页，共42页。第十九页，共42页。第二十页，共42
11、页。函数解析式的求法函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将，可将F(x)改写成关于改写成关于g(x)的表达式，然后以的表达式，然后以x替代替代(tdi)g(x)，便得，便得f(x)的解析式的解析式(如例如例 (1)；(2)待定系数法：若已知函数的类型待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数如一次函数、二次函数)，可用待定系数法可用待定系数法(如例如例(3)；(3)换元法：已知复合函数换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围时要注意新元的取值范围(如例如例(2)；第二十一页，共
12、42页。第二十二页，共42页。第二十三页，共42页。第二十四页，共42页。第二十五页，共42页。第二十六页，共42页。自主解答自主解答当当x4，得，得2x4，即，即x4得得x24，所以，所以(suy)x2或或x2.综上可得综上可得x2.答案答案(，2)(2，)第二十七页，共42页。若本例条件若本例条件(tiojin)不变，试求不变，试求f(f(2)的的值值解：解：f(2)224.f(f(2)f(4)16.第二十八页，共42页。求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用选择相应的解析式求解，有时每段交替使用(
13、shyng)求求值若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围第二十九页，共42页。答案答案(d n)：(，2)(2，)第三十页，共42页。第三十一页，共42页。第三十二页，共42页。题后悟道题后悟道解答本题利用解答本题利用(lyng)了分类讨论思想，由于了分类讨论思想，由于f(x)为分段函数，要表示为分段函数，要表示f(1a)和和f(1a)的
14、值，首先应对自变量的值，首先应对自变量1a和和1a的范围进行讨论，这样才能选取不同的关系式，列出的范围进行讨论，这样才能选取不同的关系式，列出方程，求出方程，求出a的值得出结果后，应注意检验所谓分类讨论思的值得出结果后，应注意检验所谓分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答实质上，分类讨论是类结果得到整个问题的解答实质上，分类讨论是“化整为零，化整为零，各个击破，再积零为整各个击
15、破，再积零为整”的解题策略的解题策略第三十三页，共42页。A3B3C1 D1第三十四页，共42页。答案答案(d n)：D第三十五页，共42页。教师备选题（给有能力的学生(xu sheng)加餐）答案答案(d n)：2第三十六页，共42页。第三十七页，共42页。答案答案(d n)：C 第三十八页，共42页。3(2012汕头模拟汕头模拟(mn)某工厂六年来生产某种产品的情况某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂六年来这种产品的总产量不变，则该厂六年来这种产品的总产量C与时间与时间t(年年)的
16、函数关的函数关系可用图像表示为系可用图像表示为 ()第三十九页，共42页。解析解析(ji x)：前三年年产量的增长速度越来越快，总产量：前三年年产量的增长速度越来越快，总产量C与时间与时间t(年年)的函数关系在题图上反映出来，当的函数关系在题图上反映出来，当t0,3时是选项时是选项A、C中的中的形状；又后三年年产量保持不变，总产量形状；又后三年年产量保持不变，总产量C与时间与时间t(年年)的函数关系的函数关系应如选项应如选项A所示所示 答案：答案：A第四十页，共42页。4已知：函数已知：函数f(x)对于对于(duy)x0有意义，且满足：有意义，且满足：第四十一页，共42页。第四十二页，共42页。
