1、 1 2016 2017 学年度第二学期期末教学质量检测试题 高一年级（下） 数学（理） 一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。 1、如果 a1， b1，若 ax by 3， a b 2 3，则 1x 1y的最大值为 ( ) A 2 B.32 C 1 D.12 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案直接填在题中横线上。 13、已知不等式 x2 2x k2 10 对一切实数 x 恒成立，则实数 k 的取值范围为 _ 14、在 ABC 中， A 60 ， cb, 是方程 0232 ? xx
2、 的两个实根，则边 BC 上的高为 。 15、如图，在三棱柱 A1B1C1 ABC 中， D， E， F 分别是 AB， AC， AA1的中点， 设三棱锥 F ADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1 ABC 的体积为 V2，则 V1 V2_. 16、设数列 an，若 an 1 an an 2(n N*)，则称数列 an为 “ 凸数列 ” ，已 知数列 bn为 “ 凸数列 ” ，且 b1 2， b2 1，其前 n 项和为 ns ，则?2017s _ 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分。解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题 10 分） （ 1） 已知点 A(
3、1， 2)和 B( 3,6)，直线 l 经过点 P(1， 5) 且与 直线 AB 平行 ， 求直线 l 的方程 3 (2)求垂直于直线 053 ? yx ，且与点 )0,1(?P 的距离是 5103 的直线 m 的方程。 18、 （本小题 12 分） 已知函数 Rxxxxxf ? ,1c o ss i n3c o s)( 2 （ 1）求 )(xf 的最小正周期和最值 （ 2）设 ? 是第一象限角，且 ,1021)62( ? ?f 求)22cos()4sin(? 的值。 19、 （本小题 12 分） 如图，梯形 ABEF 中， ,/ AFABBEAF ?且 22 ? CEDFADBCAB ，沿
4、DC 将梯形DCFE 折起，使得平面 DCFE 平面 ABCD . (1)证明： BEFAC 平面/ ； (2)求三棱锥 BEFD? 的体积 ； （ 3）求直线 所求的角与平面 BD FAF 。 20、 （本小题 12 分） 在 CBAABC 、中，内角? 对应的边分别为 )(, cbacba ? , 且 AaBcCb s in2c o sc o s ? , (1)求角 A, （ 2）求证： ;)32(2 bca ? （ 3）若 ba? ，且 BC 边上的中线 AM 长为 7 ，求 ABC? 的面积。 21、 （本小题 12 分） 某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，
5、在一年内，预计年销量 Q（万件）与广告费 x(万件 )之间的函数关系为 )0(23 ? xxxQ ，已知生产此产品的年固定投入为 3 万4 元，每年产 1 万件此产品仍需要投入 32 万元，若年销售额为 %50%150)332( ? xQ ，而当年产销量相等。 （ 1）试将年利润 P（万件）表示为年广告费 x(万元 )的函数； （ 2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ 22、设 （本小题 12 分） 数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， ,122 11 ? ? NnaS nnn 且 32,1 ,5 aaa ? 成等差数列。 （ 1） 证明? ?12nna为等比数列，并求数列 ?n
6、a 的通项； （ 2） 设 )2(log 3 nnn ab ? ，且14332211.111? nnn bbbbbbbbT，证明 1?nT 。 （ 3）在（ 2）小问的条件下，若对任意的 *n?N ，不等式 06)2()1( ? nn bnnb ? 恒成立，试求实数的取值范围 . 5 2016 2017 学年度第二学 期期末教学质量检测试题 高一年级数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 1 5.DACCB 6 10.BDCBC 11 12AC 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. (， 2) ( 2， )
7、14.1 15. 1 24 16.2 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分 17、解：（ 1） ,4?ABk 直线 l 又过点 P(1， 5)， 则 直 线 l 的 方 程 为 ：014 ?yx .5 分 （ 2）由已知条件可得 3?mk ，则设直线 m 的方程为 bxy ?3 ， 又与点 )0,1(?P 的距离是 5103 ，则5103103 ? b， 得到 3-9或?b ， ? 8 分 033093 ? yxyxm 或的方程为直线 ? .10 分 18、 解： (1) 12s in232 12c o s)( ? xxxf ? .2 分 232s in232c o s21 ? xx
8、 23)62sin( ? ?x ? .4 分 )(xf函数? 的最小正周期是 ? ，最大值为 25 ，最小值为 21 ? .6 分 （ 2） ,1021)62( ? ?f? 则1021236)62(2s in ? ? ?则 53)2sin( ? 6 即 53cos ? ? .8 分 又 ? 为第一象限的角 则 54sin ? ?2c o s)c o s( s i n22)22c o s ()4s i n ( ? ? .10 分 ? ? ? s i nc o s 22s i nc o s )c o s( s i n22 22 ? ? x 225? ? .12 分 19、 (1)证明 如图，取 B
9、F 的中点 M ，设 AC 与 BD 交点为 O ，连接 MEMO, . 由题设知， DFMODFCE 21,21 / ? ， MOCE/? ，故四边 形 OCEM 为平行四边 形， ,/COEM? 即 ACEM/ . 又 BEFAC 平面? , BEFEM 平面? ， BEFAC 平面/ .4 分 (2)解 平面 CDFE 平面 ABCD ，平面 CDFE 平面 ABCD DC ， BC DC ， BC 平面 DEF . 三棱锥 BEFD? 的体积为 34222213131 ? ? BCSVV D E FD E FBBEFD .8 分 （ 3） 平面 CDFE 平面 ABCD ，平面 CDF
10、E 平面 ABCD DC ，又 CDFD? ,ABCDFD 平面? 又 ABCDAC 平面? , DFAC? 又在正方形 ABCD 中 DDFBDBDAC ? , BDFAC 平面? 连结 FO , ,AFOB D FAF ?所成角为与平面? ，又 2? DFADAB 7 3 362t a n62 ? FOAOAFOFOAO ? ，6?AFO? 6?所成角为与平面 B D FAF? .12 分 20、解：（ 1） AaBcCb s in2c o sc o s ? ， ABCCB 2s in2c o ss inc o ss in ? , 即 AAACB 22 s i n2s i n,s i n2
11、)s i n ( ? 即 21sin ? A 又 cba ? ， 30 ? A ， 6?A ? .4 分 （ 2） Abccba c o s2222 ? ? .5 分 则 bcbcbccba 323222 ? bca )32(2 ? ? .8 分 （ 3）由 ba? 及（ 1），知 6?BA 32?C 在 AMC? 中，由余弦定理 222 c o s2 AMCMCACMCAC ? 得 222 )7(32c o s22)2( ? ?aaaa ，解得 2?a ? 11 分 332s in21 2 ? ? ?aS ABC ? .12 分 21、解：（ 1） xQxQP ? )332(%50%150)
12、332( ? .3 分 )0(5.49322 ? xxx ? 6 分 （ 2） 5.415.49425.49)322( ? xxP ， ? .10 分 当且仅当 xx 322? 时，即 8?x 时， P 有最大值 41.5 万元。 答：当年广告费投入 8 万元时，企业年利润最大，最大值为 41.5 万元 ? 12 分 22、解：（ 1）在 ? ? NnaS nnn ,122 11 中 8 令 1?n ，得 ,122 221 ? aS 即 32 12 ? aa ， 令 2?n ，得 ,122 332 ? aS 即 136 13 ? aa ， 又 312 )5(2 aaa ? ， 则由解得 11?
13、a ， 52?a ? .2 分 当 2?n 时，由?122122111nnnnnnaSaS ，得到 ,22 1 nnnn aaa ? ? 则 )12(231211 ? nnnn aa又 52?a ，则 )12(23121122 ? aa? ? 12nna数列是以 23 为首项， 23 为公比的等比数列， 1)23(2312 ? nnna ，即 nnna 23 ? .6 分 （ 2） )2(lo g 3 nnn ab ? ，则 nb nn ? 3log 3 则111.313121211)1( 1.43 132 121 1 ? nnnnT n111 ? n 1?nT .8 分 （ 3）当 06)2()1( ? nn bnnb ? 恒成立时，即 2(1 ) (1 2 ) 6 0nn? ? ? ? ?（ *n?N ）恒成立 .9 分 设 2( ) (1 ) (1 2 ) 6f n n n? ? ? ? ?（ *n?N ）， 当 1? 时， ( ) 6 0f n n? ? ? 恒成立，则 1? 满足条件； 当 1? 时，由二次函数性质知不恒成立； 当 1? 时，由于对称轴 x? 1201 ?，则 ()fn在 1, )? 上单调递减， ( ) (1) 3 4 0f n f ? ? ? ? ?恒成立，则 1? 满足条件， 综上所述，实数的取值范围是 1, )? .12 分
