1、 1 张家界市 2016 年普通高中一年级第二学期期末联考 数学试题卷（ B） 注意事项 ： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 4页。考试时量 120分钟，满分150分。 2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置。 3全部答案在答题卡上完成，答在试题卷、草稿纸上无效。 第 I 卷 一、 选择题：本大 题共 12 小题，每小题 5分，满分 60分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 . 1坐标原点 O 到直线 3 4 5 0xy? ? ? 的距离为 A 5 B 4 C 3 D 1 2已知 0ab? ，那么下列不等式中成立的是 A a
2、b? B a m b m? ? ? C 22ab? D 11ab?3 点 ( 2, )Mb? 在不等式 2 3 5 0xy? ? ? 表示的平面区域内 , 则 b 的取值范围是 A 13b?B 9b? C 1b? D 13b4 直线 0xy?被圆 122 ?yx 截得的弦长为 A 3 B 1 C 4 D 2 5若三个正数 a ， b ， c 成等比数列，其中 5 2 6a? ， 5 2 6c? ，则 b? A 12B 1 C 5 D 26 6 已知直线 l ： 3 1 0xy? ? ? ，则直线 l 的倾斜角 是 A 23?B 56?C3?D6?7 在 ABC 中， ,abc分别为角 ,ABC
3、 的对边， 1a? ， 2c? ， 60B?，则 ABC 的面积 S? A 2 B 32C 3 D 2 8 下列命题中正确的是 A 垂直于同一个平面的两条直线平行 B 平行于同一个平面的两条直线平行 C 垂直于同一直线的两条直线平行 D 垂直于同一个平面的两个平面平行 9将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为 A B C D 2 10 已知一个 球的 体积为 43?，则该球的表面积为 A ? B 2? C 3? D 4? 11 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “ 三百七十八里关 ,初步健步不为难 ,次日脚痛减一半 ,六朝才得到其关 ,要见次日行里数 ,请
4、公仔细算相还 ” 其大意为： “ 有一个人走378 里路 ,第一天健步行走 ,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半 ,走了 6 天后到达目的地 ” . 则该人最后一天走 的路程为 A 24 里 B 12 里 C 6 里 D 3 里 12 定义在 0? ?（ ， ） (0,+ )上的函数 ()fx，如果对于任意给定的等比数列 ?na ， ? ?()nfa 仍是等比数列，则称 ()fx为“保等比数 列函数” . 现有定义在 0? ?（ ， ） (0,+ )上的如下函数： 2()f x x? ( ) 2xfx? ()f x x? ( ) lnf x x? . 则其中是“保等比数 列函数”的 ()
5、fx的序号为 A B C D 第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 13 在空间直角坐标系中，已知 ? ?2,1,5A ， (3,1,4)B ，则 AB? . 14 不等式 2 3 4 0xx? ? ? 的解集为 .（用区间表示） 15 在 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，异面直线 11BD 与 AC 所成角大小是_. 16 在 ABC 中， ,abc分别 为角 ,ABC 的对边 ， ,abc成等 比 数列，则角B 的取值范围是 . 三、 解答题：本大题共 6小题，满分 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17（本小题满分
6、10 分） 已 知变量 x ， y 满足约束条件 20200xyxyy?. （ 1）求上述 不等式组表示的平面区域的面积； （ 2）求 2z x y?的最大值和最小值 . （第 14 题图） 3 18 （本小题满分 12 分） 在 ABC 中， ,abc分 别为角 ,ABC 的对边， 32 , 1, co s4b a C? ? ?. （ 1） 求 c 的值； （ 2）求 sinA 的值 . 19 （本 小题满分 12 分） 在等差数列?na中，已知2 4?，4715aa? （ 1） 求数列 的通项公式； （ 2） 设22nanb ?，求1 2 3 nb b b b? ? ?的值 . 20 （本
7、小题满分 12 分） 已知直线l的方程为3 4 12 0xy? ? ?. （ 1）直线1经过点(1,0)P，且满足1ll ，求 直线l的方程； （ 2）设直线l与两坐标轴交于 A 、 B 两点， O 为原点，求 OAB 外接圆的方程 . 21 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 是正方形，PD? 底面 ABCD ， PD DC a?， E 是 PC 的中点 4 （ 1）求四棱锥 P ABCD? 的体积； （ 2）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值； （ 3）证明： /PA 平面 EDB . 22（本小题满分 12 分） 已知圆 22: (
8、3) ( 4 ) 4C x y? ? ? ?，直线l过点 (1,0)A （ 1） 求圆 C 的圆心坐标和半径； （ 2）若 直线l与圆 C 相切，求 直线l的方程； （ 3） 若 直线 与圆 C 相交于 P， Q 两点，求三角形 CPQ 的面积的最大值，并求此时 直线l的方程 . 5 张家界市 2016 年普通高中一年级第二学期期末联考 数学参考答案（ B） 一、 选 择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A D B C B A D D C C 二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共
9、20 分 13 2 14 ? ?4,1? 15 90 16 (0, 3p三、解答题： 本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 解： （ 1）如 图，作出可行域，易知不等式组 20200xyxyy?表示的平面区域是一个三角形， 容易求三角形的三个顶点坐标为 (0,2)A ， (2,0)B ， ( 2,0)C? ， 三角形面积 11| | | | 4 2 422S B C A O? ? ? ? ? ?； ? 5 分 （ 2）可求得 2z x y?的最大值为 4，最小值为 4? ?10 分 18 解： （ 1） 在 ABC 中 ， 由余弦定理 得 2 2 2
10、2 c o s 2c a b a b C? ? ? ?， 2c? ， ? 6 分 （ 2） C 为三角形的内角， 2 7s in 1 c o s4CC? ? ? ?， ? 8 分 在 ABC 中 ， 由正弦定理 可知 sin sinacAC?， ? 10 分 sin 1 4sin 8aCA c? ? ?.? 12 分 19 解： （ 1） 设等差数列?na的 公差为d， 由已知得? ? ? ?1 1143 6 15ada d a d? ? ? ? ?，解得 1 3a? ， 1d? ， 所以? ?1 12na a n d n? ? ? ? ?； ? 6 分 （ 2） 由（ 1）可得2nnb， ?
11、8 分 则1 2 3 nb b b? ? ?232 2 2 2 n? ? ? ? ?O 6 ? ?2 1 212n? ?122n? ?12 分 20 解 ： （ 1） 设所求直线1l方程为3 4 0x y m? ? ?， 由已知3 1 0m? ?， 3m? ， 则直线1l的方程为4 3 0xy? ?； ? 6 分 （ 2） 令0y?，得 4x? ， 令0x?，得 3y? ，则 (4,0)A ， (0,3)B ， ? 8 分 OAB 外接圆即以 AB 为直径的圆，圆心为3(2, )2C， 半径为221 1 5342 2 2r A B? ? ? ?， 则 OAB 外接圆的方程为2 2 2352)
12、( ) ( )22? ? ? ?.? 12 分 21 解： （ 1）由 PD? 底面 ABCD ，底面 ABCD 是正方形， PD DC a?， 则 31 1 13 3 3P A B C D A B C DV S P D a a a a? ? ? ? ? ? ? ?； ? 4 分 （ 2）由 PD? 底面 ABCD ，知直线 PB 与平面 ABCD 所成角为 PBD? ， ? 6 分 易知 2BD a? ， 2tan 22aPBD a? ? ?； ? 8 分 （ 3）证明：连结 AC 交 BD 于 O ， 连结 EO , 底面 ABCD 是正方形， 点 O 是 AC 的中点 , 在 PAC 中
13、， EO 是中位线， /PA EO , 而 EO? 平面 EBD ，且 PA? 平面 EBD ， 所以 /PA 平面 EDB ； ?12 分 22 解 ： （ 1）圆心的圆心坐轴为 (3,4) ，半径为 2； ? 3 分 （ 2） 若直线l的斜率不存在，则直线l：1x?，符合题意 ； ? 5 分 若直线 斜率存在，设直线 的方程为( 1)y k x?，即 0kx y k? ? ? ， 由题意知，圆心 (3,4) 到已知直线l的距离等于半径 2， 即234 21kkk? ， 解得 34k? ， 所求直线l的方程是1x?或4 3 0xy? ? ?； ? 7 分 （ 3） 方法 1： 直线与圆相交，
14、斜率必定存在，且不为 0，设直线l方程为 0kx y k? ? ? ， 则圆心到直l的距离2241kd k ? ? ， 7 又 三角形 CPQ 面积 2 2 2 21 2 4 4 ( 4 )2S d d d d d d? ? ? ? ? ? ? ? 22(4 ) 22dd? ?， 当且仅当 224dd? ，即 2d? 时取等号， 三角形 CPQ 的面积的最大值 为 2， 由22421kk ? ? ，有 1k? ，或 7k? ， 此时 直线l方程为 10xy? ? ? ，或 7 7 0xy? ? ? ?12 分 方法 2： 1 s i n2C P QS C P C Q P C Q? ? ? ? ?1 4 sin2 PCQ? ? ? ?2sin PCQ?， 当 90PCQ? ? ? 时，CPQS取最大值 2， ? 9 分 此时点 C 到 l 的距离为 2 ， 设 l ： 0kx y k? ? ? ， 由234 21kkk? ? ，解得 1k? 或 7k? ， 故所求直线 l 的方程为 10xy? ? ? 或 7 7 0xy? ? ? .?12 分
