1、 1 宿迁市 20162017 学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 （考试时间 120分钟，试卷满分 160分 ) 注意事项 : 1答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方 2答题时，请使用 0.5 毫米的黑色中性笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚 3请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效请保持卡面清洁，不折叠，不破损考试结束后，请将答题卡交回 参考公式 ： V 柱 =Sh， S 为底面积 ， h 为高 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 请把答案填写在 答 题卡相应位 置上 1 直线 : 3 1 0l x y
2、? ? ? 的倾斜角为 2 在 ABC 中， 角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， 已知 3 2 6 0a b A? ? ?， ， ，则 B的度数为 3 在等比数列 ?na 中，公比为 q ， nS 为其前 n 项和 已知 43 80qS?， ，则 1a 的值为 4 已知正实数 xy， 满足 21xy?，则 xy 的最 大 值为 5 已知点 (, )Pxy 在不等式组 001xyxy? ， ，所表示的平面区域内运动， 则 4z x y?的 取值范围为 6 已知一个正三棱柱的侧面积为 18，且侧棱长为底面边长的 2倍，则该正三棱柱的体积为 7 在等差数列 ?na 中，公差 0d
3、? ，且 1 4 10a a a， ， 成等比数列，则 1ad的值为 8 已知 m ， n 表示两条不同的直线， ? ， ? 表示两个不同的平面 ，则 下列 四个 命题中 ，所有正确命题的序号为 若 mn? ， n ? ，则 m? ； 若 ?， n ? ，则 n ? ； 若 m? ， m? ，则 ? ； 若 ,m? ， n ? ，则 mn 9 在 ABC 中， 角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， 已知 3 5 7a b c? ? ?， ， ，则 ABC的面积为 10 若直线 1 : 1 0l x ay? ? ? 与 2 : ( 1) 2 2 0l a x y a? ? ?
4、?平行，则 1l 与 2l 之间的距离为 2 A B C MP DP P （第 16 题） 11 已知 (0 )2? ， 1sin( )63? ?，则 cos? 的值为 12 已知 数列 ?na 满足1 34a?， 1 21nna a n? ? ? ? ，则数列 1na?的前 n 项和 nS? 13 关于 x 的不等式 ( 1)( +2 1) 0ax x a? ? ?的解集 中恰含有 3个整数 ，则 实数 a 的取值 集合 是 14在 ABC 中，若 1 2 1 13s i n s i n t a n t a nA B A B? ? ?()，则 cosC 的最小值为 二、解答题 : 本大题共
5、6 小题， 共计 90 分请在 答题卡指定的区域内作答 ， 解答时应写出文字说明 、 证 明 过程或演算步骤 15 （本小题满分 14分） 在 ABC 中， 角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， 已知 23C?， 5?c , 5 sina b A? （ 1） 求 b 的值 ； （ 2） 求 )4(tan ?B 的值 16（本小题满分 14分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中， M 为 AD 的中点 （ 1） 若 AD BC ， 2AD BC? ，求证： BM 平面 PCD ； （ 2） 若 PA PD? ，平面 PAD ? 平面 PBM ， 求证： AD PB? 17（本
6、小题满分 14分） 某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为 5 米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计 轴截面如图所示， 设 OAB ? （注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱 ） （ 1）用 ? 表示圆柱的高； （ 2） 实践表明，当球心 O 和圆柱底面圆周上的点 D 的距离达 到最大时，景观的观赏效 果最佳，求此时 ? 的值 O B A 3 18（本小题满分 16分） 在 ABC 中，边 AB ， AC 所在直线的方程分别为 2 7 0xy? ? ? ， 60xy? ? ? ，已知(1,6)M 是 BC 边上一点 （ 1
7、） 若 AM 为 BC 边上的高，求直线 BC 的方程； （ 2） 若 AM 为 BC 边的中线 ， 求 ABC 的面积 19（ 本小题满分 16分） 已知函数 2( ) 1 2 ( )f x a x x a a? ? ? ? ? R （ 1） 当 12a?时，解不等式 ( ) 0fx ； （ 2） 若 ( ) 0fx 恒成立，求 a 的取值范围 4 20 （本小题满分 16分） 已知 ?na 是各项均为正数的等差数列 ，其前 n 项和为 nS ，且 2 3 440 26a a S? ? ?， . （ 1） 求数列 ?na 的通项公式； （ 2） 若数列 ?nb 的前 n 项和为 nT ，且
8、11?b ，13 2( 1)nnbba? ?. 求证 :数列 ?nb 是等比数列； 求满足 nn TS? 的所有正整数 n 的值 宿迁市 20162017学年度第二学期高一年级期末调研测试 数 学（参考答案及评分标准） 一、填空题： 1 3； 2 45 ； 3 2； 4 18； 5 1,4? ； 6 92； 7 3； 8 ； 9 1534； 10 355； 11 2 6 16?； 12 421nn? ； 13 1,12?； 14 2 10 29? 二、解答题 : 15 （ 1） 法一：因为 5 sina b A? ，BbAa sinsin ?， 所以 sin 5 sin sinA B A? ，
9、 所以 5sin5B?， ? 3分 又 因 为sin sinbcBC?， 5 A B C MP DP P （ 第 16题 ） 所以55si n 2 1 55si n 332cBbC? ? ? ? 7分 法二：在 ABC 中， 10 3sin sin 3acAC?， ? 3分 又 5 sina b A? ，即 5sina bA? ， 所以 10 353b?，所以 2 153b? ? 7分 （ 2） 由 （ 1） 得 5sin5B?，30 ?B ，所以 22 5 2 5c o s 1 s i n 155BB ? ? ? ? ?，? 9分 所以5sin 15ta nc o s 2255BBB? ?
10、?，? 11分 所以 1ta n ta n 142ta n ( ) 314 1 ta n ta n 142BBB? ? ? ? ? 14 分 16 证明： （ 1） 因为 AD BC ， 2AD BC? ， M 为 AD 中点， 所以 BC MD ， 且 BC MD? ， 所以四边形 BCDM 为平行四边形， ? 2分 故 CD BM ， ? 4分 又 BM? 平面 PCD ， CD? 平面 PCD ， 所以 BM 平面 PCD ? 7分 （ 2） 因为 PA PD? ， M 为 AD 中点， 所以 PM AD? ， ? 9分 又 平面 PAD ? 平面 PBM ，平面 PAD ? 平面PBM
11、 PM? ， AD? 平面 PAD ， 所以 AD? 平面 PBM ， ? 12分 又 PB? 平面 PBM ， 所以 AD PB? ? 14分 17（ 1）作 OM AB? 于点 M ， 则 在直角三角形 OAM 中， 因为 OAB ?， 所以 co s 5 co sA M O A ?， ? 3分 因为四边形 ABCD 是等边圆柱的轴截面， 所以 四边形 ABCD 为正方形， 所以 2 1 0 c o sA D A B A M ? ? ? ? 6分 （ 2）由余弦定理得 ： 2 2 2 5 ( 1 0 c o s ) 2 5 ( 1 0 c o s ) c o s ( )2OD ? ? ?
12、? ? ? ? ?， ? 8分 O B C D A (第 17 题 ) M 6 22 5 1 0 0 c o s 5 0 sin 22 5 5 0 (1 c o s 2 ) 5 0 sin 25 0 ( sin 2 c o s 2 ) 7 55 0 2 sin ( 2 ) 7 5 .4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分因为 (0, )2?，所以 52 ( , )4 4 4? ?， 所以当 242?，即 8?时， 2OD 取得最大值 50 2 75? 225( 2 1)?， ? 12分 所以当 8?时， OD 的最大值为 5( 2 1)? 答：当 8?时，观赏效果最佳 ? 14 分
13、 18（ 1） 由 2 7 060xyxy? ? ? ? ? ?解得 15xy? ?，即 ( 1,5)A? ， ? 2分 又 (1,6)M ，所以 6 5 11 ( 1) 2AMk ?， 因为 AM 为 BC 边上的高，所以 2BCk ? ， ? 4分 (1,6)M 为 BC 边上一点，所以 :BCl 6 2( 1)yx? ? ? ， 所以直线 BC 的方程为 2 8 0xy? ? ? ? 6分 （ 2） 法一： 设点 B 的坐标为 (,)ab ，由 (1,6)M 为 BC 的中点，得点 C 的坐标为 (2 ,12 )ab?， 又点 B 与点 C 分别在直线 AB 和 AC 上， 所以 2 7
14、 0( 2 ) (1 2 ) 6 0abab? ? ? ? ? ? ? ?，解得 31ab?， 所以点 B 的坐标为 (3,1)? ， ? 8分 由 （ 1） 得 ( 1,5)A? ，又 (1,6)M ， 所以直线 AM 的方程为 2 11 0xy? ? ? ， ? 10分 所以点 B 到直线 AM 的距离223 2 1 1 1 6551 ( 2 )d ? ? ? ? ， ? 12分 又 22( 1 1 ) ( 5 6 ) 5AM ? ? ? ? ? ?， ? 14分 所以 1 1 6 5 5 32 2 5BAMS d A M? ? ? ? ?， 又 M 为 BC 的中点 所以 2 2 3 6
15、A B C B A MSS? ? ? ? . ? 16分 法二：（上同法一） 点 B 的坐标为 (3,1)? ， ? 8分 7 又 (1,6)M 为 BC 上一点， 所以直线 BC 的方程为 5 4 19 0xy? ? ? ? 10分 由 （ 1） 知 ( 1,5)A? ， 所以点 A 到直线 BC 的距离 225 ( 1 ) 4 5 1 9 6 4 1415 ( 4 )d ? ? ? ? ? ， ? 12 分 又 C 的坐标为 (5,11) ， 所以 22( 5 3 ) (1 1 1 ) 2 4 1BC ? ? ? ? ?， ? 14分 所以 1 1 6 4 1 2 4 1 62 2 4 1
16、ABCS d B C? ? ? ? ? ? 16分 法三：若直线 BC 的斜率不存在，即 BC 的方程为 10x? ， 由 2 7 010xyx ? ? ? ?解得 19xy?， 即 B 的坐标 为 (1,9) ，同理可得 C 的坐标为 (1,7) ， 而 7962? ?， M 不是 BC 的中点，所以直线 BC 的斜率存在 设直线 BC 的方程为 6 ( 1)y k x? ? ? 由 2 7 06 ( 1)xyy k x? ? ? ? ? ?解得129 122kxkkyk? ? ? ? ?，即 B 的坐标为 1 9 12( , )22kk?同理可得 C 的坐标为 76( , )11kk?， (1,6)M 为 BC 的中点 所以1 21219 1 2 7 6 2621kkkkkk? ? ? ? ? ? ? ? ?解得 54k?， 所以直线 BC 的方程为 56 ( 1)4yx? ? ?，即为 5 4 19 0xy? ? ? （下同法二） 法四：求 BAC? 正弦值即 AB ， AC 长用面积公式（略） 19（ 1） 当 12a?时，得 21
