1、 - 1 - 宣威五中 2018年春季学期期末检测试卷 高一理科数学 一、选择题 （本题共 12道小题，每小题 5分，共 60 分） 1. 若直线 l 过点 ? ?1,2? 且与直线 2 3 4 0xy? ? ? 垂直 ,则 l 的方程为 ( ) A. 3 2 1 0xy? ? ? B. 2 3 1 0xy? ? ? C. 3 2 1 0xy? ? ? D. 2 3 1 0xy? ? ? 2. 在 ABC? 中 ,角 ,ABC 的对边分别为 ,abc,若 ? ?2 2 2 ta n 3a c b B ac? ? ?,则角 B 的值为 ( ) A. 6? B. 3? C. 6? 或 56? D.
2、 3? 或 23? 3. 若 0ab?,则下列不等式不成立的是 ( ) A.11ab? B.ab? C. 2a b ab? D. 1122ab? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4. 等差数列 ?na 的前 11 项和 11 88S ? ，则 3 6 9a a a? ? ? （ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 32 5. ABC? 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 60 , 1Ab?,该三角形的面积为 3 ,则 sin sin sinabcA B C?的值为 ( ) A. 2393 B. 393 C. 233 D. 2133 6. 设 0,
3、0ab?.若 3 是 3a 与 3b 的等比中项 ,则 11ab? 的最小值为 ( ) A. 3 B. 4 C. 1 D. 14 7. 在 ABC? 中 ,已知 sin 2 sin ( ) co sC B C B?,那么 ABC? 一定是 ( ) - 2 - A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 8. 已知 ,mn表示两条不同的直线， ? 表示平面，下列说法正确的是 ( ) A. 若 /m? ， /n? ，则 /mn B. 若 /m? ， mn? ，则 n ? C. 若 m? ， mn? ，则 /n? D. 若 m? ， /mn，则 n ? 9. 等差数列 ?na
4、 的首项为 1，公差不为 0若 a2， a3， a6成等比数列，则 ?na 前 6项的和为( ) A. ? 24 B. ? 3 C.3 D.8 10. 若直线 l : ? ?10y kx k? ? ? 与圆 C : ? ? ? ?222 1 2xy? ? ? ?相切 ,则直线 l 与圆D:? ?2 223xy? ? ?的位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 11. 某几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为 ( ) A. 1 23 ? B. 136? C. 73? D. 52? 12. 在圆 22:5C x y x?内，过点 53,22A?有 n 条弦的长度成等差数
5、列，最短的弦长为数列的首项 1a ，最长的弦长为 na ，若公差 11,63d ? ?，那么 n 的取值集合为 ( ) A. ? ?4,5,6 B. ? ?6,7,8,9 C. ? ?3,4,5 D. ? ?3,4,5,6 二、填空题 （本题共 4 道小题，每 小题 5分，共 20 分） 13. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 . 14. 若直线 1l : 28ax y?与直线 2l : ( 1) 4 0x a y? ? ? ?平行 ,则 a? _. - 3 - 15. 已知实数 ,xy满足 11yxxyy? ?,则函数 42xyz?的最大
6、值为 _。 16. 如下图所示 ,梯形 1 1 1 1ABCD 是水平放置的平面图形 ABCD 的直观图 (斜二测画法 ),若111 /AD Oy , 1 1 1 1/AB CD , 1 1 1 12 23A B C D?, 111AD? ,则四边形 ABCD 的面积是_. 三、解答题 （本题共 6 道小题，共 70 分） 17.（本题 10分）设 ?na 是公比为正数的等比数列 , 1 2a? , 324aa?. （ 1）求 ?na 的通项公式 ; （ 2）设 ?nb 是首项为 1,公差为 2 的等差数列 ,求数列 ? ?nnab? 的前 n 项和 nS . 18.（本题 12 分）如图 ,
7、在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中 , 3AC? ， 4BC? ， 5AB? ， 1 4AA? ，点 D 为 AB 的中点。 - 4 - （ 1）求证 : 1AC BC? ; （ 2）求证 : 1/AC 平面 1CDB ; （ 3）求异面直线 1AC 与 1BC所成角的余弦值。 19.（本题 12分）已知圆 C : 22( 1) ( 2) 2xy? ? ? ?,P 点的坐标为 (2,-1),过点 P 作圆 C 的切线 ,切点为 A ,B . （ 1）求直线 PA ,PB 的方程 ; （ 2）求过 P 点的圆的切线长 ; （ 3）求直线 AB 的方程 . 20.（本题 12分）已知数列
8、?na 的前 n 项和为 nS ,且 22nnSa?. （ 1）求数列 ?na 的通项公式 ; （ 2）若数列 1nna?的前 n 项和为 nT ,求 nT - 5 - 21.（本题 12分）在 ABC? 中 , ,abc分别是角 ,ABC 的对边 ,且 5cos 5A? ,tan 3B? . （ 1）求角 C 的值 ; （ 2）若 4,a? 求 ABC? 的面积。 22.（本题 12分）如图 ,已知 1 1 1 1ABCD A B C D? 是棱长 为 1cm 正方体 . （ 1） 证明 : 1AC BD? （ 2） 求二面角 11A BD C?的平面角的余弦值的大小 （ 3） 求点 C 到
9、平面 1BDC 的距离 - 6 - 宣威五中 2018年春季学期期末检测参考答案 高一 理科数学 一、选择题 1.答案： A 2.答案： D 解析： 2 2 2 3ta n22a c b Bac? ?,即 3cos tan 2BB? ,所以 3sin 2B? ,所以 3B ? 或23B ? . 3.答案： C 解析： 0ab? 11ab? 且 ab? ,又 22ab? , 1122ab? ? ? ? ? ? ? ? ? ?易知 2a b ab? ,故选 C. 4. 答案： B 5.答案： A 解析：由三角形面积公式 ,得 1 1 33 s in 42 2 2b c A c c? ? ? ? ?
10、 ?. 由余弦定理 ,得 2 2 2 12 c o s 1 1 6 2 1 4 1 32a b c b c A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 13a? . 由正弦定理 ,得 1 3 2 3 92 s in s in 6 0 3aR A? ? ?. 2 s i n 2 s i n 2 s i ns i n s i n s i n s i n s i n s i na b c R A R B R CA B C A B C? ? ? ? ? ? ?2 392 3R? . 6. 答案： B 解析：因为 3 3 3ab?,所以 1ab?, 1 1 1 1( ) 2 2 2 4b a b aab
11、a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 当且仅当 baab? ,即 12ab? 时 “=” 成立 ,故选择 B. 7.答案： C 8.答案： D 9.答案 :A - 7 - 10.答案： A 解析： 依题意 ,直线 l 与圆 C 相 切 ,则22 1 1 21kk? ? ? ? ,解得 1k? . 0k? ,所以1k? ,于是直线 l 的方程为 10xy? ? ? .圆心 ? ?2,0 到直线 l 的距离2 0 1 2 322d ? ? ?,所以直线 l 与圆 D 相交 ,故选 A. 11.答案： B 解析：由三视图可知该几何体是由一个底面半径为 1,高为
12、2 的圆柱 ,再加上一个半圆锥 :其底面半径为 1,高也为 1;构成的一个组合体 ,故其体积为 221 1 31 2 1 166 ? ? ? ? ? ? ?;故选 B. 12.答案： A 二、填空题 13.答案 :92? 错误 !未找到引用源。 14.答案： 1 解析：若 1a? ,则两直线不平行 ,所以 1a? , 要使两直线平行 ,则有 281 1 4a a ? , 由 211a a? ? ,解得 1a? 或 2a? , 当 2a? 时 , 21a? ,不满足条件 ,所以 1a? . 15.答案： 32 解析：作出不等式组表示的平面区域 ,得到如图所示的阴影部分 (包括边界 ),其中 (
13、1, 1), ( 2 , 1), (0 .5 , 0 .5 )A B C? ? ?. 设 2m x y?，将直线 : 2 0l y x?进行平移，当 l 经过点 B 时， m 取得最大值， max 5m ? ，显然，当 m 取得最大值时，函数 z 取得最大值， 函数 24 22x xyyz ?的最大值为 32 . 16.答案： 5 三、解答题 - 8 - 17.答案： (1).设 q 为等比数列 ?na 的公比 , 则由 1 2a? , 324aa?,得 22 2 4qq?,即 2 20qq? ? ? ,解得 2q? 或 1q? (舍去 ), 因此 2q? .所以 ?na 的通项公式为 12
14、2 2nnna ? ? ? . (2).由题意得 ? ? ? ?1 2 1 2n n nS a a a b b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 1121 2 2n nnn? ? ? ? ? ? 1222n n? ? ? . 18.答案： (1). 证明 :在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? ,底面三边长 3AC? ， 4BC? ， 5AB? ， AC BC? , 又 1CC AC? , AC? 平面 11BCCB . 1BC? 平面 11BCCB , 1AC BC? ; (2). 证明 :设 1CB 与 1CB的交点为 E ,连接 DE , 又 11BCCB 为
15、正方形 , E 是 1BC 的中点 , 又 D 为 AB 的中点 , 1/DE AC , DE? 平面 1CDB , 1AC? 平面 1CDB , 1/AC 平面 1CDB ; (3). 1/DE AC , CED? 为 1AC 与 1BC所成的角 , 在 CED? 中 , 11522ED AC?, 1522CD AB?,11 222CE CB?, 22cos 5CED?. 异面直线 1AC 与 1BC所成角的余弦值为 225 . - 9 - 19.答案： (1).由已知得过点 P 的圆的切线斜率的存在 , 设切线方程为 1 ( 2)y k x? ? ? ,即 2 1 0kx y k? ? ?
16、 ?. 则圆心 (1,2)C 到直线的距离为 2 , 即23 21k k? ? , 2 6 7 0kk? ? ? , 7k? 或 1k? . 所求直线的切线方程为 1 7( 2)yx? ? ? 或 1 ( 2)yx? ? ? , 即 7 15 0xy? ? ? 或 10xy? ? ? . (2).在 Rt PCA 中 , ? ? ? ?222 1 1 2 1 0PC ? ? ? ? ? ?, 2CA? , 2 2 2| | | | 8P A P C C A? ? ?, 22PA? , 过点 P 的圆 C 的切线长为 22. (3).直线 AB 的方程为 3 3 0xy? ? ? . 20.答案
17、： (1).当 1n? 时 , 1 2a? .当 2n? 时 , 1122nnSa?, 所以 1n n na S S ? ? ?112 2 2 2 2 2n n n na a a a? ? ? ? ?,即 ? ?1 2 2,nna n n Na ? ? ? ?, 所以数列 ?na 是以首项为 2,公比为 2的等比数列 , 故 ? ?2nna n N?. (2).令 112n nnnnb a?,则1 2 32 3 4 12 2 2 2n nnT ? ? ? ? ?, - 10 - 12? ,得2 3 4 11 2 3 4 12 2 2 2 2 2n nnnnT ? ? ? ? ? ?, -, 得
18、2 3 11 1 1 1 112 2 2 2 2n nnnT ? ? ? ? ? ?13322nn ?, 整理得 33 2n nnT ?21.答案： (1).由 5cos 5A? ,得 25sin , ta n 2 .5AA? ? ? t a n t a nt a n t a n ( ) 1 .1 t a n t a nABA B C C A B AB? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又 0 , .4CC? ? ? ? (2).由正弦定理 sin sinacAC? ,得 sin 10,sinaCc A? 由 tan 3,B? 得 3sin 1010B? , ABC? 的面积 1 sin 62S ac B? 22.答案： (1)证 :连接 BD ,BDAC 交于点 O ,连接 11AC 1 1 1 1ABCD A B C D? 是正方体 1,BD AC AA?面 ABCD 又 BD? 面 ABCD 1BD AA? 1 ,AC AA A AC? ? ?面 1 1 1,ACC A AA ?面 11ACCA BD? 面 11ACCA 1AC? 面 1ACCA 1BD AC? (2)连接 AC 交 BD 于点 O ,连接 110,A CO 1 1 1 1ABCD A B C D? 是正方体 BD AC? 1AA? 面 ,ABCD BD? 面 ABCD 1BD AA?
