1、 20072017 年全国课标卷年全国课标卷几何证明选讲几何证明选讲题题 （2007 年宁夏卷）年宁夏卷） （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与 O交于BC，两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中 点 （）证明A POM， ， ，四点共圆； （）求OAMAPM的大小 （2008 年宁夏卷）年宁夏卷） 22、 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A，过 A 作直线 AP 垂直直线 OM，垂足为 P。 （1）证明：OMOP = OA2； （2）N 为线段 AP
2、上一点，直线 NB 垂直直线 ON，且交圆 O 于 B 点。 过 B 点的切线交直线 ON 于 K。证明：OKM = 90。 （2009 年宁夏卷）年宁夏卷） （22）本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图， 已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于 H， 0 60B， F 在AC上， 且AEAF。 （I） 证明：B,D,H,E 四点共圆： （II） 证明：CE平分DEF。 （2010 年课标全国卷）年课标全国卷） 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，已经圆上的弧，过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： （）ACE=BCD； （）B
3、C 2=BFCD。 （2011 年课标全国卷）年课标全国卷） 22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，D，E 分别为ABC的边 AB，AC 上的点，且不与ABC 的顶点重合已知 AE 的长为 m，AC 的 长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程 2 140 xxmn的两个根 （）证明：C，B，D，E 四点共圆； （）若A=90，且 m=4，n=6，求 C，B，D，E 所在圆的半径 （2012 年课年课标全国卷）标全国卷） 22(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲 A P O M C B K B P A OM N 第22题图 H F E D A BC 如
4、图，,D E分别为ABC 边,AB AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于,F G两点，若 CFAB， 证明： (1)CDBC； (2)BCDGBD （2013 年课标全国卷年课标全国卷） （22） （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，直线 AB 为圆 的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D。 （）证明：DB=DC； （）设圆的半径为 1，BC= ，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆 的半径。 （2013 年课标全国卷年课标全国卷） （22） （本小题满分 10 分）选修 4-1 几何证明选讲
5、如图，CD 为ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点， 且 BCAE = DCAF，B、E、F、C 四点共圆. （）证明：CA 是ABC 外接圆的直径； （）若 DB =BE = EA，求过 B、E、F、C 四点的圆 的面积与ABC 外接圆面积的比值。 （2014 年课标全国卷年课标全国卷） 22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形， AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E， 且 CB=CE （）证明：D=E； （）设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=
6、MC，证明： ADE 为等边三角形. （2014 年课标全国卷年课标全国卷） 22.（本小题满分 10）选修 41：几何证明选讲 如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O 相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中 点，AD 的延长线交O 于点 E.证明： （）BE=EC； （）ADDE=2 2 PB （2015 年课标全国卷年课标全国卷） F E B D A C （22） （本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于E （I） 若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O的切线； （II） 若3OACE，
7、求ACB 的大小. （2015 年课标全国卷年课标全国卷） 22 （本小题满分 10 分） 选修 4 - 1：几何证明选讲 如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，O 与 ABC 的底边 BC 交于 M， N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F 两点。 （1）证明：EFBC； （2）若 AG 等于O 的半径，且2 3AEMN，求四边形 EBCF 的面 积。 （2016 年课标全国卷年课标全国卷） （22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图,OAB 是等腰三角形,AOB=120.以 O 为圆心, 1 2 OA 为半径作圆. (I)证
8、明：直线 AB 与O 相切； (II)点 C,D 在O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明：ABCD. O D C BA 【答案】(I)见解析(II)见解析 G A E F O N D B C M 在Rt AOE中, 1 2 OEAO,即O到直线AB的距离等于圆O的半径,所以直线AB与O相切 E O D C O B A （）因为2OAOD,所以O不是, ,A B C D四点所在圆的圆心,设O是, ,A B C D四点所在圆的圆心, 作直线OO 由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O在线段AB的垂直平分线上,所以OOAB 同理可证,OOCD所以/ABCD 考点：四点共圆、直线与圆的位置关系
9、及证明 【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相 关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接 四边形的性质与判定；切割线定理. （2016 年年课标全国卷课标全国卷） （22） （本小题满分 10 分）选修选修 4 4- -1 1：几何证明选讲：几何证明选讲 如图，在正方形ABCD中，,E G分别在边,DA DC上（不与端点重合） ，且DEDG，过D点作 DFCE，垂足为F () 证明：,B C G F四点共圆； ()若1AB ，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积 【答案】 （）
10、详见解析； （） 1 2 . 试题解析： （I）因为DFEC,所以,DEFCDF 则有, DFDEDG GDFDEFFCB CFCDCB 所以,DGFCBF 由此可得,DGFCBF 由此 0 180 ,CGFCBF所以,B C G F四点共圆. （II）由,B C G F四点共圆，CGCB知FGFB，连结GB， 由G为Rt DFC斜边CD的中点，知GFGC,故,Rt BCGRt BFG 因此四边形BCGF的面积S是GCB面积 GCB S的 2 倍，即 111 221. 222 GCB SS 考点： 三角形相似、全等，四点共圆 【名师点睛】 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，
11、 特别要注意对应角和对应边 证 明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相 等；可间接证明线段相等来源:学优高考网gkstk （2016 年课标全国卷年课标全国卷） 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，O中AB的中点为P，弦PCPD，分别交AB于EF，两点 （I）若2PFBPCD ，求PCD的大小； （II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OGCD 【答案】 （）60； （）见解析 （） 因为BFDPCD， 所以180PCDEFD， 由此知EFDC,四点共圆， 其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过EFDC,四点的圆的圆心，所以G在CD的垂 直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因此CDOG 考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆 【方法点拨】 （1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三 角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果； （2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断 垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等
