1、第二章 基本初等函数() 2.1 指 数 函 数 2.1.1 指数与指数幂的运算 第1课时 根 式 一、一、a a的的n n次方根和根式次方根和根式 1.a1.a的的n n次方根次方根 (1)(1)定义：如果定义：如果_，那么，那么x x叫做叫做a a的的n n次方根次方根, ,其中其中n1,n1,且且nNnN* *. . (2)(2)表示：表示： x xn n=a=a n n的分类的分类 a a的的n n次方根的符号表示次方根的符号表示 a a的取值范围的取值范围 n n为奇数为奇数 _ aRaR n n为偶数为偶数 _ a0a0 n a n a 2.2.根式根式 式子式子_叫做根式叫做根式
2、, ,其中根指数是其中根指数是_,_,被开方数是被开方数是_._. 思考：思考： 是根式吗？根式一定是无理式吗是根式吗？根式一定是无理式吗? ? 提示：提示：是根式是根式. .根式不一定是无理式根式不一定是无理式. .如如 是根式，但不是无是根式，但不是无 理式，因为理式，因为 =2=2是有理数是有理数. . n a n n a a 3 8 3 8 3 8 二、根式的性质二、根式的性质 a a a a a,a0a,a0 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，错误的打“”)”) (1)(1)当当nNnN* *时时,( ),( )n n都有意义都有意义.( ).( ) (2)(2
3、)因为因为( (3)3)4 4=81=81， 的运算结果为的运算结果为3.( )3.( ) (3) =4(3) =4- - .( ).( ) 提示：提示：(1)(1)错误错误. .若若( )( )n n有意义，则有意义，则n n必为奇数必为奇数. . (2)(2)错误错误. . (3)(3)正确正确.- -40, =|41,n1,且且nNnN* *. . (2)(2)当当n n为大于为大于1 1的奇数时，的奇数时，a a的的n n次方根表示为次方根表示为 (aR)(aR)，当，当n n 为大于为大于1 1的偶数时，的偶数时， (a0)(a0)表示表示a a在实数范围内的一个在实数范围内的一个n
4、 n次方次方 根，另一个是根，另一个是 从而从而( )( )n n=a.=a. n a n a n a n a， 3.3.对对 和和( )( )n n的理解的理解 (1) (1) 是实数是实数a an n的的n n次方根，是一个恒有意义的式子，不受次方根，是一个恒有意义的式子，不受n n 的奇偶限制，的奇偶限制，aRaR，但此式的值受，但此式的值受n n的奇偶限制：当的奇偶限制：当n n为大于为大于1 1 的奇数时，的奇数时， =a=a；当；当n n为大于为大于1 1的偶数时，的偶数时， =|a|.=|a|. (2)( )(2)( )n n是实数是实数 的的n n次幂，当次幂，当n n为大于为
5、大于1 1的奇数时，的奇数时，( )( )n n=a=a， a aR R；当；当n n为大于为大于1 1的偶数时，的偶数时，( )( )n n=a=a，a a0.0.由此看只要由此看只要( )( )n n 有意义，其值恒等于有意义，其值恒等于a a，即，即( )( )n n=a.=a. nn a n a nn a nn a nn a n a n a n a n a n a n a 类型类型 一一 n n次方根的概念问题次方根的概念问题 【典型例题典型例题】 1.161.16的平方根为的平方根为_,_,- -2727的的5 5次方根为次方根为_._. 2.2.已知已知x x7 7=6,=6,则则
6、x=_.x=_. 3.3.若若 有意义，则实数有意义，则实数x x的取值范围是的取值范围是_._. 4 x2 【解题探究解题探究】1.a1.a的的n n次方根的符号表示是什么？次方根的符号表示是什么？ 2.2.若若x xn n=a,=a,则则x x的值是什么？的值是什么？ 3. (n3. (n为偶数为偶数) )成立的条件是什么？成立的条件是什么？ 探究提示：探究提示： 1.n1.n为奇数时，为奇数时，a a的的n n次方根的符号表示为：次方根的符号表示为： n n为偶数时，为偶数时，a a的的n n 次方根的符号表示为：次方根的符号表示为： a0.a0. 2.2.若若x xn n=a,=a,则
7、则x x叫做叫做a a的的n n次方根，具体值参考提示次方根，具体值参考提示1.1. 3. (n3. (n为偶数为偶数) )成立的条件是成立的条件是a0.a0. n a n a； n a， n a 【解析解析】1.(1.(4)4)2 2=16,16=16,16的平方根为的平方根为4.4.- -2727的的5 5次方根为次方根为 答案：答案：4 4 2.x2.x7 7=6,x=6,x= 答案：答案： 3.3.要使要使 有意义，则需有意义，则需x x- -2020，即，即x2.x2.因此实数因此实数x x的取值的取值 范围是范围是2 2，+).+). 答案：答案：2 2，+)+) 5 27. 5
8、27 7 6. 7 6 4 x2 【拓展提升拓展提升】求求n n次方根要关注的问题次方根要关注的问题 (1)(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且 互为相反数互为相反数. . (2)( )(2)( )n n是实数是实数a a的的n n次方根的次方根的n n次幂，其中实数次幂，其中实数a a的取值由的取值由n n的的 奇偶性决定奇偶性决定. . n a 【变式训练变式训练】若若8181的平方根为的平方根为a,a,- -8 8的立方根为的立方根为b b，求，求a+ba+b的值的值. . 【解析解析】(9)9)2 2=81,81=8
9、1,81的平方根为的平方根为9,9,即即a=a=9.9. 又又( (- -2)2)3 3= =- -8 8，- -8 8的立方根为的立方根为- -2 2，即，即b=b=- -2.2. a+b=a+b=- -9 9- -2=2=- -1111或或a+b=9a+b=9- -2=72=7， a+b=a+b=- -1111或或7.7. 类型类型 二二 直接利用根式的性质化简与求值直接利用根式的性质化简与求值 【典型例题典型例题】 1.1.求下列各式的值求下列各式的值 (1)( )(1)( )2 2=_.=_. (2) =_.(2) =_. 2.2.化简：化简：(1)(1) (2)(2) 5 3 3 6
10、 52 674 364 2. 3 3 3 3 11 . 2525 【解题探究解题探究】1. 1. 的值是什么？的值是什么？ 2.(1)2.(1)化简化简 的关键点是什么？的关键点是什么？(2)(2)对于分母中含有根号的式子对于分母中含有根号的式子 应如何进行化简？应如何进行化简？ nn a a 探究提示：探究提示： 1. =a(n1. =a(n为奇数为奇数),), 2.(1)2.(1)化简化简 的关键点是将的关键点是将a a配凑成完全平方数，去掉根号配凑成完全平方数，去掉根号. . (2)(2)对于分母中含有根号的式子可将此式的分子、分母分别乘对于分母中含有根号的式子可将此式的分子、分母分别乘
11、 以分母的有理化因式，分母有理化，从而化简以分母的有理化因式，分母有理化，从而化简. . nn a nn a,a0, aan. a,a0 为偶数 a 【解析解析】1.(1)( )1.(1)( )2 2=5.(2) =5.(2) =- -6.6. 答案：答案：(1)5 (2)(1)5 (2)- -6 6 5 3 3 6 2.(1)2.(1) (2)(2) 222 2 2 2 222 52 674 364 2 32 32222 2 33 22 2 22 322322 3223|22 | 3223222 2. 3 3 3 3 11 2525 11 52524. 2525 【互动探究互动探究】题题2(
12、2)2(2)中，若将原式改为中，若将原式改为 还能求出值吗？还能求出值吗？ 【解析解析】能，能， 444 4 11 , ( 25)(25) 444 4 1111 2552 ( 25)(25) 52522 5. 【拓展提升拓展提升】根式化简或求值的两个注意点根式化简或求值的两个注意点 (1)(1)解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶 次根式，然后运用根式的性质进行化简次根式，然后运用根式的性质进行化简. . (2)(2)注意正确区分注意正确区分 与与( )( )n n. . nn a n a 类型类型 三三 带有限制条件的根式运算带
13、有限制条件的根式运算 【典型例题典型例题】 1.1.若若x0 x0，则，则x+|x|+ =_.x+|x|+ =_. 2.2.若代数式若代数式 有意义，化简有意义，化简 2 x x 2x 12x 4 2 4 4x4x12x2. 【解题探究解题探究】1.1.对于式子对于式子 化简时应注意什么？化简时应注意什么？ 2.2.由代数式由代数式 有意义，能得到什么结论？有意义，能得到什么结论？ 探究提示：探究提示： 1.1.应特别注意符号问题，即应特别注意符号问题，即 2.2.借助代数式有意义可确定借助代数式有意义可确定x x的取值范围，即的取值范围，即 可得可得: x2.: x2. 2 x 2x 12x
14、 2 x,x0 x x,x0. ， 2x10, 2x0 ， 1 2 【解析解析】1.1.因为因为x0 x0， 所以所以x+|x|+ =xx+|x|+ =x- -x+ =x+ =- -1.1. 答案：答案：- -1 1 2.2.由由 有意义，则有意义，则 即即 x2.x2. 故故 =|2x=|2x- -1|+2|x1|+2|x- -2|=2x2|=2x- -1+2(21+2(2- -x)=3.x)=3. 2 x x xx xx 2x 12x 2x10 2x0 ， ， 1 2 424 2 44 4x4x12x22x12x2 【拓展提升拓展提升】有限制条件的根式化简的步骤有限制条件的根式化简的步骤
15、【变式训练变式训练】设设0x20x2，求，求 的值的值. . 【解题指南解题指南】可先将被开方数凑配成完全平方的形式，从而可先将被开方数凑配成完全平方的形式，从而 开方，利用开方，利用x x的范围，去掉绝对值号，进一步化简的范围，去掉绝对值号，进一步化简. . 【解析解析】原式原式= = =|x+1|+|x=|x+1|+|x- -2|,2|, 0x0,x0x0,x- -20,21,an1,a是实数是实数);); (2) =( )(2) =( )n n=a(n=a(n是正偶数，是正偶数，a a是实数是实数);); (3) =a+b(a,b(3) =a+b(a,b是实数是实数).). A.0 B.
16、1 C.2 D.3A.0 B.1 C.2 D.3 【解析解析】选选B.B.对对(1)(1)，由于，由于n n是大于是大于1 1的奇数，故的奇数，故(1)(1)正确；对正确；对 (2)(2)，由于，由于n n是正偶数，故是正偶数，故 中中a a可取任意实数，而可取任意实数，而( )( )n n中中a a 只能取非负数，故只能取非负数，故(2)(2)错误；对错误；对(3)(3)， =|b|=|b|，故结果错误，故结果错误. . n a nn a n a nn a 323 ab n a nn a 2 b 2.2.当当mnmn时，时， =_.=_. 【解析解析】 又又mn,|mm1n1且且nNnN*
17、*) ) D.aD.a的的n n次方根是次方根是 【解析解析】选选C.AC.A，B B，D D选项中，没有指明选项中，没有指明n n的奇偶，的奇偶，D D中中a a的正的正 负也没有说明，故不正确负也没有说明，故不正确. . n a 2. 2. 的值是的值是( )( ) A.3 B.A.3 B.- -3 C.9 D.3 C.9 D.- -9 9 【解析解析】选选B.B. 3 27 3 3 3 2733. 3.3.若若 则则( )( ) A.a=0 B.a0 C.a0 D.a0A.a=0 B.a0 C.a0 D.a0 【解析解析】选选A. A. 是一个数与其相反数相等，故是一个数与其相反数相等，
18、故a=0.a=0. nn aa， nn aa 4. =_4. =_； =_.=_. 【解析解析】 答案：答案：5 255 25 2 5 2 2 (5) 22 22222 555 (5)( 5 )525.； 5.5.若若x5x5，则，则 的值是的值是_ 【解析解析】x5, =|xx1.(2) (n1，且，且nNnN* *).). (3) (n1(3) (n1，且，且nNnN* *).). 【解析解析】(1)( )(1)( )3 3=a.=a. (2)(2)当当n n为奇数时，为奇数时， =2=2- -； 当当n n为偶数时，为偶数时， =- -2.2. (3) =|x(3) =|x- -y|y|， 当当xyxy时，时， =x=x- -y y； 当当xyxy时，时， =y=y- -x.x. 3 a n n 2 2n 2n xy 3 a n n 2 n n 2 2n 2n xy 2n 2n xy 2n 2n xy
