1、第2课时 补集及综合应用 一、全集的概念及表示一、全集的概念及表示 1.1.概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的_， 那么就称这个集合为全集那么就称这个集合为全集. . 2.2.全集的符号表示：全集通常用“全集的符号表示：全集通常用“_”_”表示表示. . 所有元素所有元素 U U 思考：思考：全集一定包含任何元素？全集一定包含任何元素？ 提示：提示：不一定不一定. .全集仅包含我们所要研究问题所涉及的全部元全集仅包含我们所要研究问题所涉及的全部元 素，而非任何元素素，而非任何元素. . 二、补集二、补集 文字语言文字语言 全集全集U U中子集中子集
2、A A的补集是由的补集是由U U中中_ _ _组成的集合组成的集合 符号语言符号语言 =_=_ 图形语言图形语言 合合A A的所有元素的所有元素 x|xU,x|xU,且且x x AA 不属于集不属于集 UA 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，错误的打“”)”) (1)(1)若在全集若在全集U U中研究问题，则集合中研究问题，则集合U U没有补集没有补集.( ).( ) (2)(2)集合集合 与与 相等相等.( ).( ) (3)(3)集合集合A A与集合与集合A A在全集在全集U U中的补集没有公共元素中的补集没有公共元素.( ).( ) 提示：提示：(1)(1)错误错误
3、. .集合集合U U在全集在全集U U中的补集是空集，而不是没有中的补集是空集，而不是没有 补集补集. . (2)(2)错误错误. .若若A=BA=B，则，则 = = ；否则不相等；否则不相等. . (3)(3)正确正确. .由补集的定义可知正确由补集的定义可知正确. . 答案：答案：(1)(1) (2)(2) (3)(3) 【知识点拨知识点拨】 1.1.对全集的理解对全集的理解 可以认为是将要研究的问题限定在一个范围内进行，这个范可以认为是将要研究的问题限定在一个范围内进行，这个范 围以外的问题不在我们研究的范围以内，这时就有理由将所围以外的问题不在我们研究的范围以内，这时就有理由将所 研究
4、的这个范围视为全集研究的这个范围视为全集. .全集并不是固定不变的，它是依据全集并不是固定不变的，它是依据 具体问题来加以选择的具体问题来加以选择的. . 2.2.对补集的理解对补集的理解 (1)(1)补集是以补集是以“全集全集”为前提的，离开了全集，补集就无意义为前提的，离开了全集，补集就无意义 了了. .集合集合A A在不同全集中补集也是不同的，因而在描述补集概在不同全集中补集也是不同的，因而在描述补集概 念时应注明是在哪个全集中的补集念时应注明是在哪个全集中的补集. . (2)(2)补集既是集合之间的一种关系，又是集合的一种运算，同补集既是集合之间的一种关系，又是集合的一种运算，同 时也
5、是一种思想方法时也是一种思想方法. . (3) (3) 的三层含义：的三层含义： 表示一个集合；表示一个集合； A A是是U U的子集，即的子集，即A A U U； 是是U U中不属于中不属于A A的所有元素组成的集合的所有元素组成的集合. . UA UA UA 3.3.补集的相关性质补集的相关性质 类型类型 一一 补集的基本运算补集的基本运算 【典型例题典型例题】 1.(20121.(2012广东高考广东高考) )设集合设集合U U1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6，M M1,2,41,2,4， 则则 ( )( ) A.U B.1,3,5A.U B.1,3,5 C.3,5,6 D.
6、2,4,6C.3,5,6 D.2,4,6 2.2.已知全集已知全集U Ux|1x5x|1x5，A Ax|1xx|1xaa，若，若 x|2x5x|2x5，则，则a a_._. 【解题探究解题探究】1.1.补集的含义是什么？求补集时应明确什么？补集的含义是什么？求补集时应明确什么？ 2.2.集合集合A A与与 及及U U三者之间有什么关系？三者之间有什么关系？ 探究提示：探究提示： 1.1.全集全集U U中子集中子集A A的补集是由的补集是由U U中不属于集合中不属于集合A A的所有元素组成的所有元素组成 的集合，因此求集合补集时应明确全集是什么的集合，因此求集合补集时应明确全集是什么. . 2.
7、2.集合集合A A与与 及及U U三者之间的关系是三者之间的关系是A A U,A =U,A = . . 【解析解析】1.1.选选C.C.因为因为U U1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6，M M1,2,41,2,4，所以，所以 3,5,63,5,6，所以选，所以选C.C. 2.A 2.A U U，且，且A =A = ,A,Ax|1xx|1x2.a2.a2.2. 答案：答案：2 2 【拓展提升拓展提升】求集合补集的基本方法及处理技巧求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)(1)基本方法：定义法基本方法：定义法. . (2)(2)两种处理技法：两种处理技法： 当集合用列举法表示时，直接套用定
8、义或借助当集合用列举法表示时，直接套用定义或借助VennVenn图求解图求解. . 当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用 数轴分析求解数轴分析求解. . 【变式训练变式训练】已知全集已知全集U Ux|xx|x是非零整数是非零整数 ，集合，集合A Ax|x2x|x2 或或xx- -6, xU,6, xU,则则 ( )( ) A.A.- -6,6,- -5,5,- -4,4,- -3,3,- -2,2,- -1,0,1,21,0,1,2 B.B.- -6,6,- -5,5,- -4,4,- -3,3,- -2,2,- -1,1,21,
9、1,2 C.C.- -5,5,- -4,4,- -3,3,- -2,0,2,0,- -1,11,1 D.D.- -5,5,- -4,4,- -3,3,- -2,2,- -1,11,1 【解析解析】选选B.B.集合集合A A表示大于表示大于2 2或小于或小于- -6 6的非零整数集，故它的非零整数集，故它 的补集为不小于的补集为不小于- -6 6且不大于且不大于2 2的非零整数集的非零整数集. .故故 =- -6,6,- -5,5, - -4,4,- -3,3,- -2,2,- -1,1,2.1,1,2. 类型类型 二二 集合交、并、补的简单综合集合交、并、补的简单综合 【典型例题典型例题】 1
10、.(20121.(2012辽宁高考辽宁高考) )已知全集已知全集U U0,1,2,3,4,5,6,7,8,90,1,2,3,4,5,6,7,8,9， 集合集合A A0,1,3,5,80,1,3,5,8，集合，集合B B2,4,5,6,82,4,5,6,8，则，则( )( )( )( ) ( )( ) A.5,8 B.7,9A.5,8 B.7,9 C.0,1,3 D.2,4,6C.0,1,3 D.2,4,6 2.2.已知全集已知全集U UR R，A Ax|x|4x4x22，B Bx|x|1 1x3x3， P Px|x0 x|x0或或x x ，求，求ABAB，( )P( )P，(AB)( )(AB
11、)( ) 5 2 【解题探究解题探究】1.1.解答题解答题1 1时应先计算什么？时应先计算什么？ 2.2.当集合为连续数集时，求解交、并、补运算常借助什么工当集合为连续数集时，求解交、并、补运算常借助什么工 具求解？具求解？ 探究提示：探究提示： 1.1.解答本题应先分别求出解答本题应先分别求出 和和 ，再求交集，再求交集, ,可借助可借助VennVenn图图 解题或先求解题或先求ABAB，利用补集的相关性质求解，利用补集的相关性质求解. . 2.2.当集合为连续数集时，求解交、并、补运算时常借助的工当集合为连续数集时，求解交、并、补运算时常借助的工 具是数轴，利用数轴分析求解具是数轴，利用数
12、轴分析求解. . 【解析解析】1.1.选选B.B.方法一：由图知，方法一：由图知， 2,4,6,7,92,4,6,7,9， 0,1,3,7,90,1,3,7,9，( )( )( )( )7,9.7,9. 方法二：方法二：ABAB0,1,2,3,4,5,6,8,0,1,2,3,4,5,6,8, ( )( )( )( ) 7,9.7,9. 2.2.将集合将集合A A，B B，P P表示在数轴上，如图表示在数轴上，如图 A Ax|x|4x4x22，B Bx|x|1 1x3x3， ABABx|x|1 1x x22 x|xx|x1 1或或x x33， ( )P( )Px|x0 x|x0或或x x ， (
13、AB)( )(AB)( )x|x|1 1x x2x|02x|0 x x x|0 x|0 x x22 5 2 5 2 UP 【互动探究互动探究】题题1 1条件不变，求条件不变，求( )( ).( )( ). 【解析解析】方法一：由题方法一：由题1 1知，知， 2,4,6,7,92,4,6,7,9， 0,1,3,7,90,1,3,7,9，( )( )( )( )0,1,2,3,4,6,7,9.0,1,2,3,4,6,7,9. 方法二：方法二：ABAB5,8,5,8, ( )( )( )( ) 0,1,2,3,4,6,7,9.0,1,2,3,4,6,7,9. 【拓展提升拓展提升】集合交、并、补运算的
14、技巧集合交、并、补运算的技巧 (1)(1)若已知集合为有限集，一般把集合中元素一一列举出来，若已知集合为有限集，一般把集合中元素一一列举出来， 结合定义求解，有时也用到结合定义求解，有时也用到VennVenn图图. . (2)(2)若已知集合为无限集，通常结合定义借助数轴分析求解，若已知集合为无限集，通常结合定义借助数轴分析求解， 此时应注意边界问题此时应注意边界问题. . (3)(3)若已知集合为抽象集合时，通常借助若已知集合为抽象集合时，通常借助VennVenn图化简后求解图化简后求解. . 【变式训练变式训练】 (2013(2013宁波高一检测宁波高一检测) )已知全集已知全集U=RU=
15、R，集合，集合 A=1A=1，2 2，3 3，4 4，55，集合，集合B=xR|x3B=xR|x3，则，则A( )A( )为为 ( )( ) A.1 B.1A.1 B.1，2 C.12 C.1，2 2，3 D.03 D.0，1 1，22 【解析解析】选选B. =xR|xB. =xR|x3,3, A( )=1,2.A( )=1,2. 类型类型 三三 补集性质的应用补集性质的应用 【典型例题典型例题】 1.1.已知已知M,NM,N为集合为集合I I的非空真子集，且的非空真子集，且M,NM,N不相等，若不相等，若N N = = , ,则则MN=( )MN=( ) A.M B.N C.I D.A.M
16、B.N C.I D. 2.2.已知集合已知集合A=x|xA=x|xaa，B=x|1B=x|1x x22，若，若A A ，求实，求实 数数a a的取值范围的取值范围. . 【解题探究解题探究】1.1.条件条件N =N = 说明集合说明集合M M与与N N之间有什么关之间有什么关 系？系？ 2.2.通过什么方法将集合间的关系直观地表示出来？通过什么方法将集合间的关系直观地表示出来？ 探究提示：探究提示： 1.N =1.N = ，说明，说明M M与与N N之间有包含关系，并且之间有包含关系，并且N N M.M. 2.2.利用数轴可将集合间的关系直观地表示出来利用数轴可将集合间的关系直观地表示出来.
17、. 【解析解析】1.1.选选A.A.因为因为N =N = ，所以，所以N N M(M(如图如图) )，所以，所以 MN=MMN=M 2. =x|x12. =x|x1或或x2x2，若，若A A ，则，则a1a1，如图所示，如图所示， a a的取值范围是的取值范围是a1.a1. 【拓展提升拓展提升】由补集间的关系求参数的方法由补集间的关系求参数的方法 已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常根据补集的定已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常根据补集的定 义及集合之间的关系，并借助于数轴列出参数应满足的关系义及集合之间的关系，并借助于数轴列出参数应满足的关系 式求解，具体操作时要注意端点值的式求解
18、，具体操作时要注意端点值的“取取”与与“舍舍”. . 【变式训练变式训练】设设U U0,1,2,30,1,2,3，A AxU|xxU|x2 2mxmx00，若，若 1,21,2，则实数，则实数m m_._. 【解析解析】UU0,1,2,30,1,2,3， 1,21,2A A0,30,3因此方因此方 程程x x2 2mxmx0 0的两根为的两根为0 0和和3 3，0+3=0+3=- -m,m,即即m=m=- -3.3. 答案：答案：- -3 3 UA UA 【规范解答规范解答】 由补集求参数的取值范围由补集求参数的取值范围 【规范解答规范解答】根据题意可知，根据题意可知，NN ，又因为，又因为N
19、 N ， 所以讨论时考虑集合所以讨论时考虑集合M M有有空集和非空两种情况空集和非空两种情况 ： ：2 2分分 若若M M ， 则则 R,NR,N 显然成立显然成立 【典例典例】 【条件分析条件分析】 于是有于是有3a3a12a12a， 得得a1.a1.4 4分分 若若MM ， 则则3a3a1 12a2a，有，有a a1.1.5 5分分 这时这时 x|x3ax|x3a1 1，或，或x2ax2a，6 6分分 由由N N 得得2a2a1 1或或3a3a1313 ， ， 即即a a 或或a a ，8 8分分 又又a a1 1 故 故a . a . 9 9分分 综上所述综上所述a1a1或或a .a .
20、1010分分 即即a a的取值集合为的取值集合为a|a1a|a1或或a a 1212分分 1 2 4 3 1 2 1 2 1 2 【失分警示失分警示】 【防范措施防范措施】 1.1.分类讨论的意识分类讨论的意识 在解答含有参数的问题时，要首先考虑由于参数的影响是否在解答含有参数的问题时，要首先考虑由于参数的影响是否 需要分类讨论，如本例中集合需要分类讨论，如本例中集合M M的端点处含有参数不确定的端点处含有参数不确定, ,故故 需要进行讨论需要进行讨论. . 2.2.隐含或限制条件的挖掘隐含或限制条件的挖掘 在解题时，很多同学忽视了隐含条件，在最后给出结论时往在解题时，很多同学忽视了隐含条件，
21、在最后给出结论时往 往忽略了条件的限制，导致错误，所以在解题时得到的答案往忽略了条件的限制，导致错误，所以在解题时得到的答案 要回顾其限制条件是否满足要回顾其限制条件是否满足, ,如本例中如本例中a a1 1易被忽视易被忽视. . 【类题试解类题试解】已知集合已知集合A=x|xA=x|xa,B=x|1a,B=x|1x x3,3,若若A A =R=R，求实数，求实数a a的取值范围的取值范围. . 【解析解析】B=x|1B=x|1x x3, =x|x13, =x|x1或或x3.x3. 因而要使因而要使A =R.A =R.结合数轴分析结合数轴分析 可得可得a3.a3. 1.1.已知全集已知全集U
22、U0,1,20,1,2，且，且 22，则，则A A( )( ) A.0 B.1A.0 B.1 C.C. D.0,1D.0,1 【解析解析】选选D. D. 22， 2 2 A A，又，又U U0,1,20,1,2， A A0,10,1 2.2.若若P Px|xx|x11，Q Qx|xx|x- -11，则，则( )( ) A.PA.P Q B.QQ B.Q P P C. C. Q D.QQ D.Q 【解析解析】选选C.C.由题意，由题意， x|x1x|x1，画数轴可知，选项，画数轴可知，选项A A， B B，D D错错. . 3.3.设全集设全集U=RU=R，集合，集合X=x|x0X=x|x0，Y
23、=y|y1Y=y|y1，则，则 与与 的的 关系是关系是 _ ._ . 【解析解析】 =x|x =x|x0, =y|y0, =y|y1,1, 或或 . . 答案：答案： ( (或或 ) ) 4.4.设全集设全集U Uaa，b b，c c，dd，集合，集合A Aaa，bb，B Bbb，c c，dd， 则则( )( )( )( )_._. 【解析解析】方法一：由已知，方法一：由已知， cc，dd， aa， 故故( )( )( )( )aa，c c，dd 方法二：方法二：( )( )( )( ) aa，c c，dd 答案：答案：aa，c c，dd 5.5.设全集设全集U=2U=2，4 4，- -(a(a- -3)3)2 2 ，集合，集合A=2A=2，a a2 2- -a+2a+2，若，若 = = - -11，求实数，求实数a a的值的值. . 【解析解析】由由 =- -11，可得，可得 所以所以 解得解得a=4a=4或或a=2.a=2. 当当a=2a=2时，时，A=2A=2，44，满足，满足A A U U，符合题意，符合题意. . 当当a=4a=4时，时，A=2A=2，1414，不满足，不满足A A U U，故舍去，故舍去. . 综上可知，综上可知，a a的值为的值为2.2. 1U 1A ， ， 2 2 (a3)1 aa21 ， ，
