1、第四章 因式分解1 因式分解获取新知 99399能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.小明是这样做的:993999999299199(9921)999 8009899100.所以，993 99能被100整除.在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.99399还能被哪些正整数整除？议一议 你能尝试把a3a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.解：解：a3-a=aa2-a11=a(a2-1)=a(a+1)(a-1).你是怎么想的呢？你如何检查做的是否正确呢？做一做 观察下面拼图过程，写出相应的关系式.abcmmma+b+cmxxx1111xma+mb+mc=m(a+b+c
2、)x2+x+x+1=(x+1)2x+1x+1 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.例如，a3a a(a1)(a1)，ambmcmm(abc)，x22xl(x1)2都是因式分解.因式分解也可称为分解因式.确定公因式的方法：三定，即定系数；解:（1）a(x-3)+2b(x-3)(6)(a+b)2=_(b+a)2；解:（1）a(x-3)+2b(x-3)(2)7x221x7xx7x399399还能被哪些正整数整除？确定多项式各项公因式的方法：a(m+n)=am+anB.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.9899100.提公因式法分解因式的步骤：(a+b)n
3、=(b+a)n (n是整数）2abc C.分解因式的结果是几个因式乘积的形式探索新知公因式的系数是多项式各项_；2 B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2C.提公因式为多项式的因式分解例3 将下列各式分解因式：整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解是两种互逆的变形即：多项式 整式乘积因因式式分分解解整整式式乘乘法法 x2-1 (x+1)(x-1)因式分解整式乘法例题讲解例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是()Aa21a(a )B(x1)(x1)x21Ca2a5(a2)(a3)1Dx2yxy2xy(xy)1aD分解因式的要求：1.分解的结果最后是积的形式；2.每个因式必须
4、是整式，且每个因式的次数都必须低于多项式的次数；3.必须分解到每个因式不能再分解为止随堂演练1.下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是()A.a(m+n)=am+anB.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2C.10 x2-5x=5x(2x-1)D.x2-xy+y2=(x-y)2C3.如图所示,由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a,b的小长方形拼接成一个大长方形,则利用整个图形可表达出一些有关多项式因式分解的等式,请你写出任意一个表示因式分解的等式:.a2+2ab=a(a+2b)667 37+667 63 =667（37+63）=667 100=66700提出公因数667计算
5、观察下列多项式，各项中有相同的因式吗?ab+bc 3x+x mb+nb-b 多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。探索新知 问题问题1 1 66737+66763 bxb多项式 2x2+6x3 中，各项的公因式是什么？问题问题2 2系数：最大公约数2 字母：相同的字母x 所以公因式是2x2.指数：相同字母的最低次幂2 探索新知u确定多项式各项公因式的方法：1.定系数：找多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：找多项式各项中都含有的相同字母.3.定指数：找各项相同字母的最低次幂.确定公因式一 探索新知 例1 下列多项式中，各项的公因式是什么？（1）（2）2326xx32269a
6、 ba b c22x3 a b214k巩固练习 写出下列多项式各项的公因式（1）（2）48kxky222m nmnmnmn 37667+63667 =667（37+63）提出公因数667 探索新知 探索新知探索新知例2 将下列各式分解因式：(1)3xx2 (2)7x221x解：(1)3xx2x3xx (2)7x221x7xx7x3x(3x)7x(x3)66737+66763 =667（37+63）探索新知探索新知例2 将下列各式分解因式：(1)3xx2 (2)7x221x解：(1)3xx2x3xx (2)7x221x7xx7x3x(3x)一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出
7、来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.7x(x3)探索新知探索新知1.确定公因式2.提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.u提公因式法分解因式的步骤：探索新知探索新知例3 将下列各式分解因式：(1)8a3b212ab3cabab(8a2b12b2c1)解：(1)8a3b212ab3cab ab8a2bab12b2cab1提公因式后括号里多项式的项数与原多项式的项数相同多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号；解：p(a2+b2)-q(a2+b2)=(a2+b2)(p-q).例3 将下列各式分解因式：解:（1）a(x-3)+
8、2b(x-3)B(x1)(x1)x21当堂检测则两个多项式互为相反数.4.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.=(x-y)(x-y-y)因式分解：(x-y)2+y(y-x).ab+bc 3x+x mb+nb-b2abc C.=667（37+63）巩固练习 写出下列多项式各项的公因式当堂检测=(x-3)(a+2b)；公因式的系数是多项式各项_；例2 把下列各式因式分解：=(y-x)(y-x+y)探索新知探索新知例3 将下列各式分解因式：(2)24x312x228x(4x6x24x3x4x7)解：(2)24x312x228x (24x312x228x)提公因式后括号里第一项的
9、系数为正数4x(6x23x7)当多项式第一项的系数是负数时，可以先提出负号，但要注意括号里的各项都要变号。因式分解：12x2y+18xy2.解：原式=3xy(4x+6y).错误公因式没有提尽，还可以提出公因式2正确解：原式=6xy(2x+3y).请你判断小明的解法有误吗？易错分析提公因式后括号里提公因式后括号里少了一项少了一项.错误解：原式=x(3x-6y).因式分解：3x2-6xy+x.正确解：原式=3xx-6yx+1x =x(3x-6y+1)请你判断小明的解法有误吗？提出负号时括号里的项没变号错误因式分解：-x2+xy-xz.解：原式=-x(x+y-z).正确解：原式=-(x2-xy+xz
10、)=-x(x-y+z)请你判断小明的解法有误吗？解：=3x3x-3x2y+3xz =3x(3x-2y+z)=-(14x3+21x2-28x)=-(7x2x2+7x3x-7x4)=-7x(2x2+3x-4)=abc2a2b+abc4b2-abc1=abc(2a2b+4b2-1)(1)9x2-6xy+3xz (2)2a3b2c+4ab3c-abc (3)14x3-21x2+28x (4)（m-1为正整数）巩固练习 将下列各式分解因式11242mmmaaa1211=22221mmmaaaaa12=221maaa（）探索新知探索新知1.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是 （）A.x2y B.x2
11、+2x C.x2+3y D.x2xy+y22.把12a2b3c-8a2b2c+6ab3c2分解因式时，应提取的公因式是（）A.2 B.2abc C.2ab2c D.2a2b2c3下列提公因式法分解因式正确的是（）A12abc9a2b2=3abc(43ab)B3x2y3xy+6y=3y(x2x+2y)Ca2+abac=a(ab+c)Dx2y+5xyy=y(x2+5x)B 当堂检测CC新课自主预习温故而知新 1.多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号；2.公因式的系数是多项式各项_；3.字母取多项式各项中都含有的_；4.相同字母的指数取各项中最小的一个,即 _.提公因式法
12、因式分解的一般步骤：系数的最大公约数相同的字母最低次幂思考1：提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找上面各式的公因式.思考2：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？)()(yxbyxa)1()2()(3)(2cbcba)3()4()3(2)3(xbxa22)1()1(xyxy提公因式为多项式的因式分解例1 把下列各式分解因式：（1）a(x-3)+2b(x-3)；（2）.解:（1）a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)；2211xyxy2211y xy x=y(x+1)(1+xy+y).(2)典例精析归纳总结1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.2
13、.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.练一练：1.x(a+b)+y(a+b)2.3a(xy)(xy)3.6(p+q)212(q+p)=(a+b)(x+y)=(xy)(3a1)=6(p+q)(p+q-2)()()a xyb xy(1)()();a xyb yx(1)()()a xyb yx解：()xy()yx()()xy ab()b xy例2 把下列各式因式分解：32(2)6()12()mnnm26()()2mnmn326()12()mnmn2)(12nm)2()(62nmnm 两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:(1)当相同字母前的符号相同时,则两个多项式相等.如:a-
14、b 和-b+a 即 a-b=-b+a(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.如:a-b 和 b-a 即 a-b=-(a-b)归纳总结由此可知规律：由此可知规律：(1)a-b 与与-a+b 互为相反数互为相反数.(a-b)n=(b-a)n (n是偶数）是偶数）(a-b)n=-(b-a)n (n是奇数）是奇数）(2)a+b与与b+a 相等相等,(a+b)n=(b+a)n (n是整数）是整数）a+b 与与-a-b 互为相反数互为相反数.(-a-b)n=(a+b)n (n是偶数）是偶数）(-a-b)n=-(a+b)n (n是奇数）是奇数）在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号
15、，使等式成立：(1)(a-b)=_(b-a);(2)(a-b)2=_(b-a)2;(3)(a-b)3=_(b-a)3;(4)(a-b)4=_(b-a)4;(5)(a+b)=_(b+a);(6)(a+b)2=_(b+a)2；+-+(7)(a+b)3=_(-b-a)3;-(8)(a+b)4=_(-a-b)4.+当堂跟踪练习当堂跟踪练习 1.请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.(1)2-a=(a-2)；(2)y-x=(x-y)；(3)b+a=(a+b)；-(6)-m-n=(m+n)；(5)s2+t2=(s2-t2)；(4)(b-a)2=(a-b)2；(7)(b-a)3=(a-b)3
16、.-+-3.因式分解：(x-y)2+y(y-x).解法1：(x-y)2+y(y-x)=（x-y)2-y(x-y)=(x-y)(x-y-y)=(x-y)(x-2y).解法2：(x-y)2+y(y-x)=（y-x)2+y(y-x)=(y-x)(y-x+y)=(y-x)(2y-x).2.因式分解：p(a2+b2)-q(a2+b2).解：p(a2+b2)-q(a2+b2)=(a2+b2)(p-q).解：x2-xy+y2=(x-y)2Ca2a5(a2)(a3)1Dx2yxy2xy(xy)定字母：找多项式各项中都含有的相同字母.解：(1)3xx2x3xx确定多项式各项公因式的方法：(7)(a+b)3=_(
17、-b-a)3;a(m+n)=am+anB.其中，每个整式叫做这个多项式的_2abc C.=(x-3)(a+2b)；正确解：原式=-(x2-xy+xz)99399能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.如图所示,由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a,b的小长方形拼接成一个大长方形,则利用整个图形可表达出一些有关多项式因式分解的等式,请你写出任意一个表示因式分解的等式:.确定公因式的方法：三定，(6)-m-n=(m+n)；=667（37+63）2 B.(7)(a+b)3=_(-b-a)3;=x(3x-6y+1)课堂小结课堂小结因式分解公因式为多 项 式确定公因式的方法：三定，即定系数；
18、定字母；定指数分两步：（整体思想）第一步找公因式；第二步提公因式注意注意1.分解因式是一种恒等变形；2.公因式：要提尽；3.不要漏项；4.提负号，要注意变号课堂小结因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做因式分解，也可称为_其中，每个整式叫做这个多项式的_与整式乘法运算的关系 的变形过程前者是把一个多项式化为几个整式的_，后者是把几个整式的_化为一个_ 积 分解因式 因式 互逆 多项式 乘积 乘积 提公因式法分解因式确定公因式的方法：三定，即1.系数 2.字母 3.指数步骤：1.确定公因式 2.提出公因式注意：1.分解因式的结果是几个因式乘积的形式2.公因式要提尽3.不要漏项4.提负号时，要注意变号 课堂小结
