1、 参考答案 一、选择题（一、选择题（本题共本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分） 1. C 2. C 3. A 4. A 5. C 6. B 7.B 8. D 9. D 10. A 二、填空题二、填空题 (本大题共本大题共 7 小题，多空题小题，多空题 每小题每小题 6 分，单空题分，单空题 每小题每小题 4 分，共分，共 36 分分) 11. 1 , 2 12. 3 13. 3 ；3 14. 8 3 15. 2,; 1 ,5 2 16. 1,0 17. 8,1 三、解答题三、解答题 ( 本大题共本大题共 5 小题，共小题，共 74 分分 .解答应写出文字说明、
2、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. （本小题满分 14 分） 解析：(I) ab，0a b ，故sin3cos0 xx，tan3x 4 分 0, 2 x ， 3 x ， 2 tan2tan3 3 x 6 分 （II）a与b的夹角为 2 3 ， sin3cos1 cos, 2 12 a bxx a b a b ，8 分 1 sin() 32 x ，0, 2 x ， , 33 6 x ， 36 x ， 13 分 即 6 x . 故x的值为 6 . 14 分 19. (本小题满分 15 分) 解析：(I)( )sincos2sin() 4 f xxxx ， 2 分 (
3、)2sin() 4 f xx ，由函数()f x是偶函数得sin()1 4 ，4 分 42 k 故 4 k , ，的值为 3 4 和 4 . 7 分 （II）( )2sin() 4 f xx , 6 ()2sin() 42222 AA f ， 3 sin() 222 A A为ABC的内角， 3 A . 9 分 由余弦定理 222 2cosabcbcA ，得 22 4bcbc。由 22 2bcbc， 知4bc。13 分 113 sin43 222 ABC SbcA . 于是ABC的面积的最大值为3.15 分 20. (本小题满分 15 分) 解析：(I) 1 ( ) 1 fx x ， (0)1k
4、 f ，在原点处的切线方程为yx3 分 （II）由已知， 21 1 ( )( )() 121 1 1 x xx x gxg g xg x xx x ， 5 分 32 21 ( )( )() 2131 1 21 x xx x gxg gxg x xx x ， 可猜想 ( ) 1 n x gx nx 9 分 下面用数学归纳法证明 当1n 时， 1( ) 1 x g x x ，结论成立 假设当 * (1,)nk kkN时结论成立， 即( ) 1 k x gx kx ， 则当1nk时， 1 ( ) 1 ( )( )= ( )+1(1)1 1 1 k kk k x gxx kx gxg gx x gxk
5、x kx 即结论成立 由可知，结论对 * nN恒成立 15 分 21. (本小题满分 15 分) 解析：(I) 由题意得 a1 时，令210 x x ,当2x时， (2)10 x x ， 解得12x ； 当2x时， (2) 10 x x ，解得1x . 故函数( )yf x的零点为12和 14 分 (II) 2 2 21,2 , ( ) 21,2 , xaxxa f x xaxxa 其中(0)(2 )1ffa, 由于 3 0, 2 a 于是最大值在(1),(2),(2 )fffa中取 6 分 当021a，即 1 0 2 a时，( )f x在1,2上单调递减， 故 max ( )(1)2f xf
6、a； 当122aa ， 即 1 1 2 a时，( )f x在1,2a上单调递增，2 ,2a 上单调递减，故 max ( )(2 )1f xfa； 当122aa，即12a时，( )f x在1,a上单调递减，,2a上单调递增， 故 max ( )max(1), (2)f xff；因为(1)(2)(22 )(54 )230ffaaa， 故 max ( )(2)54f xfa。 综上， max 1 2 ,0, 2 1 ( )1,1, 2 3 54 ,1, 2 aa f xa aa 11 分 (III)0,x时 ， max ( )1f x， 故问题转化为在给定区间内( )1f x 恒成立 因 2 ( )
7、1f aa，分两种情况讨论： 当 2 11a 时，( )T a是方程 2 211xax 的较小根， 即2a 时， 2 ( )2T aaa； 当 2 11a 时，( )T a是方程 2 211xax 的较大根， 即02a时， 2 ( )2T aaa； 综上 2 2 2,2, ( ) 2,02, aaa T a aaa 15 分 22. (本小题满分 15 分) 解析(I)由题意知，( )f x的定义域为0,， 11 ( ) ax fxa xx 当0a 时，( )0fx恒成立，( )f x在0,上单调递增。 2a O 2aO 2a O 当0a 时，令( )0fx ，则 1 x a ，( )f x在
8、 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递 减。4 分 (II) 由（I）知当0a时显然不符合题意。 当 1 01 a ，即1a 时，( )f x在1,上单调递减，又 10f，所以( )0f x 在1,上 恒成立，无零点，不符合题意 当 1 1 a ，即01a时，( )f x在 1 1, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减，所以 11 ln1(1)0faf aa ，又 111 2 11 ()(1) aaa f eaeaae aa ,令 1 1t a ， 设 2 ( )1 t g tte ，则( )2 t g tt e，( )20 t gte （1t ）( )g t在1,上 递
9、减 ( )(1)20g tge 故( )g t在1,上递减，因此( )(1)20g tge， 即 1 ()0 a f e 故( )f x在 1 1, a 上无零点，在 1 , a 上有唯一零点 综上，满足条件的实数a的取值范围是0,110 分 (III)证明：由(II)得， 0 1 ,x a 且01a，由 00 ln(1)xa x 要证 0 2 1x a ，即证 00 0 1 ln 2 1 xx x ，即证 0 0 0 21 ln 1 x x x 令 21 ( )ln 1 x h xx x ，则 2 22 114 ( )0 11 x h x x xx x ， ( )h x在1,上递增，( )(1)0h xh， 故 0 0 0 21 ln 1 x x x ，由此 0 2 1x a 15 分
