1、 1 / 8 主主 题题 函数的概念与关系式 教学内容教学内容 1. 加深理解函数的概念； 2. 掌握求解函数定义域的基本方法. （以提问的形式回顾）（以提问的形式回顾） 1. 初中阶段我们学过哪些函数？请分别画出他们的图像。 我们学过正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数。也会有学生说，常值函数也是可以的。 2. 对于二次函数 2 yx当 x 值确定了，y 值是否也唯一确定？，如果 y 值确定了（y0） ，是否 x 值也唯一确 定？ 当 x 值确定了，y 值就唯一确定。但 y 值确定了，x 值并没有唯一确定。 探究一：探究一： 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为84
2、5m，且炮弹距离地面的高度h（单位：m） 随时间t（单位：s）变化的规律是： 2 1305htt 思考思考 1：这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范围是什么？试用集合表示？ 答： |026, |0845AttBhh 思考思考 2：高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？ 答：答：从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系h，在数集B中都有唯一确定 的高度h和它对应.所以它们的对应关系是函数。其中t是自变量。 探究二：探究二： 2 / 8 近几十年来， 大气层中的臭氧迅速减少， 因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧
3、 层空洞的面积从 19792001 年的变化情况. 思考思考 1：根据曲线分析，时间t的变化范围是什么？臭氧层空洞面积S的变化范围是什么？试用集合表示？ 答：答： |19792001, |026AttBSS 思考思考 2：时间变量t与臭氧层空洞面积 S 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？ 答：答：对于数集A中的任意一个时间t，按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和 它对应.而数集B中的某些值却有多个t和它对应，并不唯一确定。自变量是t. 探究三：探究三： 思考思考 1:从集合与对应的观点分析，上述两个实例中变量之间的关系都可以怎样描述？ 答：答：对于数集A中的每
4、一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作 :fAB. 思考思考 2:上述两个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？ 答：答： 设,A B是非空的数集， 如果按照某种确定的对应关系f， 使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中 都有唯一确定的数( )f x和它对应，那么就称:fAB为从集合A到集合B的一个函数，记作 ( )()yf x xA。其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值. 思考思考 3:在一个函数中，自变量 x 和函数值 y 的变化范围都是集合，这两个集合分别叫什么名称？ 答：答：自变量的取值范围A叫做函数
5、的定义域；函数值的集合 ( )|f xxA叫做函数的值域. 思考思考 4:在从集合 A 到集合 B 的一个函数 f：AB 中，集合 A 是函数的定义域，集合 B 是函数的值域吗？怎样 理解 f(x)=1，xR？ 20 25 5 10 15 30 图 1 26 25 t S O 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 3 / 8 答：值域是集合B的子集. 思考思考 5:一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数 相等的条件是什么？ 答：答：一个函数由定义域、对应关系、值域
6、三个部分组成，称为函数的“三要素”；函数的值域由函数的定义域 和对应关系所确定；两个函数相等的条件是定义域相同，对应关系完全一致. （采用教师引导，学生轮流回答的形式）（采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例 1. 求下列函数的定义域： 2 2 ) 1 ( x x y； 123 1 )2( 2 xx y； xx x y 432 3 )3( ； 解：解：（1）函数的定义域由不等式组 20 20 x x 所确定，解不等式组，得：22x 所以函数的定义域为( 2,2 （2）函数的定义域由不等式 2 3210 xx 所确定，解不等式，得： 1 1 2 x 所以函数的定义域为 1 (,1) 2 （3）函
7、数的定义域由不等式组 2340 340 xx x 确定， 由3 40 x，得： 3 4 x ，由2340 xx得： 1 2 x ， 所以函数的定义域为 11 3 (, )( , 22 4 。 总结： 求函数的定义域时要注意以下几点： 分母不能为零 根号里面的式子应大于等于零。 试一试：求下列函数的定义域： （1）(2)(3)yxx （2）23yxx 4 / 8 解：解：（1）解方程(2)(3)0 xx，得所求定义域为(, 32,) 。 （2）解方程组 20 30 x x ，得所求定义域为2,)。 例 2. 已知 2 ( )1f xx，求 2 (1)( 1)(1)fff a、的值. 解：解： 2
8、 (1)112f 2 ( 1)( 1)12f 22242 (1)(1)122f aaaa 试一试： 解：解：(2)2 2(32)20f ( 4)2 ( 4)(3( 4)56f 当0a时，(2 )4 (32 )faaa 当0a时，(2 )4 (32 )faaa。 例 3. 已知 2 23f xxx. （1）求1f x；fx； ffx ； （2） f x与1f x是同一函数吗？ 解： （1） 2 2 12134(1)f xxxx x ； 2 2 2323()fxxxx x ； 2 22432 2 232233441612(23)ff xfxxxx xxxxxx （2）不是同一函数，因为对应法则不同
9、. 试一试：已知34) 13(xxf，求)(xf. 解：解： 45 (31)43(31) 33 fxxx， 45 ( ) 33 f xx. 5 / 8 例 4. 设函数 4f xx, 4g xx，求和函数 f xg x. 解：对于 f x的定义域，由40 x，得到4x， 对于 ,g x可得4x， f xg x的定义域为 4. 0.(4)f xg xx. （求函数的和或者积时，要注意函数的定义域是取交集所得.） 试一试：设函数 1 2 x f x x , 2 1 x g x x 求 f xg x. 解：对于 f x的定义域，由20 x，得到2x， 对于 ,g x由 10 10 x x ，可得1x
10、 ， f xg x的定义域为1,22,. 12 1, 21 xx f xg xx xx 1,22,x. （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解） 1. 函数 y 1x2 x21的定义域是( ) A1，1 B(，11，) C0，1 D1，1 答案：D 2. 函数 yf(x)的图像与直线 xa 的交点个数有( ) A必有一个 B一个或两个 C至多一个 D可能两个以上 答案：C 3. 函数 f(x) 1 ax24ax3的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是 分析：定义域为 R，说明 x 取任意实数，分母都不为零，也就是说 2 43yaxax的函数图像与 x 轴没有交 点，且过（0，3）点
11、。注意讨论 a=0 的情况。 6 / 8 答案： 3 0,) 4 4. 已知 3 ( )32f xxx，求证：( )()0f afa，()aR. 解： 3 32f aa a ， 3 3 32()32()faaaa a ， 33 32320f afaaaaa，即证. 5. 求一次函数 f(x)，使 ff(x)9x1. 设 f(x)axb，则 ff(x)a(axb)ba2xabb9x1，比较对应项系数得， a29 abb1 a3 b1 4 或 a3 b1 2 ， f(x)3x1 4或 f(x)3x 1 2. 本节课主要知识点：函数的三要素，定义域求解方法。 【巩固练习】 1. 设函数 2,2 21
12、, 1, 2 2 xx xx xx xf,若 3xf,则x= . 解：解：1x，23x， 1x （舍） ； 12x ， 2 3 x ， 3x ，3x ； 2x，23x 3 2 x . 综上 3 3 2 x 或. 7 / 8 2. 求下列函数的定义域 (1)yx 1 x24； (2)y 1 |x|2； (3)y x 2x1(x1)0. 解：(1)要使函数 yx 1 x24有意义，应满足 x 240，x2， 定义域为xR|x2 (2)函数 y 1 |x|2有意义时，|x|20，x2 或 x2 或 x0， 要使此函数有意义，只须 x10，x1，定义域为xR|x1 【预习思考】 1. 函数 2 ( )f xx与( )f xx的图像有什么共同特征？从对称的角度，你发现了什么？ x y 1231 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O x y 123123 1 1 2 3 O 把表填好，再观察表，你看出了什么？ x -3 -2 -1 0 1 2 3 2 yx x -3 -2 -1 0 1 2 3 yx 2. 函数 1 (0)yx x 和y x 又有什么共同特征呢？ 8 / 8 x y O x y O 把表填好，再观察表，你看出了什么？ x -3 -2 -1 0 1 2 3 1 y x x -3 -2 -1 0 1 2 3 yx
