1、 1 / 6 主主 题题 指数函数的图像与性质 教学内容教学内容 1. 理解指数函数的概念； 2. 掌握指数函数的图像和性质。 （以提问的形式回顾）（以提问的形式回顾） 问题 1：某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂 的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 答案：2xy 问题 2：一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的 84%.求出这种物质的剩留量 随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为 1,时间变量用 x 表示,剩留量用 y 表示。 答案：
2、0.84xy 突出底数 a 的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数 y2x、 y0.84x 分别以 0a1 的数为底，加深对定义的感性认识，为顺利引出指数函数定义作铺垫。 指数函数：指数函数：一般地，函数 x ya01aa且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域 是R. 思考：为何规定0a，且1a ? 答：答：当0a时， x a有些会没有意义，如 1 2 33； 当0a时， x a有些会没有意义，如 2 2 1 0 0 ； 当1a 时， x a恒等于 1，没有研究的必要. 2 / 6 练习：判断下列函数哪些是指数函数？ （1）4xy ； （2）4xy ； （3） 4 yx；
3、（4）4 x y ； （5） 1 4xy ； （6） 3 2 x y . 解： （1）是； （2）不是； （3）不是； （4）是； （5）不是； （6）不是. 问题 3. 填写下表，并在同一坐标系中画出函数2xy 与 1 2 x y 的图像. 描点法作图：列表描点连线. x 2 1 0 1 2 2x x 2 1 0 1 2 1 2 x 观察两个函数的图像，你发现了什么特征？根据图像填写下表. 答：答：都在x轴的上方，由此可以说明指数函数值0y ，并且底互为倒数的指数函数的图像关于y轴对称. 1a 01a 图 像 性 质 （1）定义域：xR （2）值域：(0,+ )y （3）过点：(0,1) （
4、4）在R上是 增 （增或减）函数 （4）在R上是 减 （增或减）函数 3 / 6 （采用教师引导，学生轮流回答的形（采用教师引导，学生轮流回答的形式）式） 例 1. 利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小. （1） 3 2和 1.7 2； （2） 2 3 0.6 和 3 4 0.6 . 解：解： （1）因为指数2xy 函数在, 上是增函数，又31.7，所以 31.7 22. （2）因为指数函数0.6xy 在, 上是减函数，又 23 34 ，所以 23 34 0.60.6 . 试一试：利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小. （1） 0.52.3 3.13.1和； （2） 33.
5、5 22 33 和； （3） 2.42.1 aa和 解：解： （1） 0.52.3 3.13.1； （2） 33.5 22 33 ； （3）当1a 时， 2.42.1 aa，当01a时， 2.42.1 aa. 例 2. 已知函数 2 (2)xymm是指数函数，求m的取值范围。 解析：运用指数函数的定义解析：运用指数函数的定义. (01) x ya aa且. 解答：解答：依题得 22 2021mmmm且，可得 113131 21, 22 mmmm 或且 21mm 或，故m取值范围是(, 2)(1,) 。 试一试：对于任意实数a的值，函数 3 3 x ya 的图像恒过定点 。 解：解：函数 3x
6、ya 的图像过定点（3，1） ，函数 3 3 x ya 的图像过定点（3，4） ，故填（3，4） 。 4 / 6 例 3. 函数( )(0,1) x f xa aa在1,2上的最大值比最小值大 2 a ，则a的值为 解：当解：当1a 时，时，( ) x f xa在R上为增函数. 当当12x时，时， 22 maxmin (),(), 2 xx a aaaa aa解得 3 . 2 a 当当01a时，( ) x f xa在R上为减函数. 当当12x时，时， 22 maxmin (),(), 2 xx a aa aaaa，解得 1 . 2 a 综上所述，综上所述， 31 . 22 a 或 试一试：如果
7、函数 2 21(0,1) xx yaaaa且在 1,1上的最大值是 14，求a的值。 解：原函数化为 2 (1)2 x ya,当1a 时，因 1,1x ,得 1 , x aaa ,从而 2 (1)214,3aa,同理, 当01a时, 1 3 a 所以所求的a值为 1 3 3 或. （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解） 1. 若函数 2 (33) x yaaa是指数函数，则 a= 解：依题得 2 31 10,1aaaa 且，解得a=3. 2. 已知 y=f(x)是指数函数，且 f(2)=4,求函数 y=f(x)的解析式。 解：设( )(01) x f xa aa且，则 2 4a ，
8、2a ，( )2xf x 3. 若不论a取何正实数，函数 1 2 x ya 的图像都通过同一定点，则该点坐标是_1, 1 4. 数函数 x ya， x yb， x yc， x yd在同一坐标系内的图像 如图所示，则, , ,a b c d的大小顺序是（ ） A A.badc B. abdc C. bacd D. bcad 5. 若函数1(0) x yama的图像在第一、三、四象限内，则（ ） 。 B 5 / 6 A、1a B、10am且 C、01a且0m D、01a 6. 当0 x时，函数 2 ( )(1)xf xa的值总大于 1，则实数a的取值范围是（ ）. A、1 | 2a B、| 1a
9、C、|2a D、|2a 解：解： 2 0( )(1)xxf xa时，的值总大于 1， 2 11a ， 2 2, |2.aa故选 C。 7. 已知3,2x ，求 11 ( )1 42 xx f x 的最小值与最大值。 解： 2 2 1113 ( )14212212 4224 xxxxx xx f x , 3,2x , 1 28 4 x . 则当 1 2 2 x ,即1x 时,( )f x有最小值 4 3 ；当28 x ,即3x时， ( )f x有最大值 57。 本节课主要知识点： 指数函数的概念，指数函数的图像和性质 【巩固练习】 1. 函数 2 ( )1 x f xa在 R 上是减函数，则a的
10、取值范围是（ ） D A、1a B、2a C、2a D、12a 2. 函数 21 21 x x y 是（ ） A A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数 3. 设aR， 22 ( )() 21 x x aa f xxR ，试确定a的值，使( )f x为奇函数 解：要使( )f x为奇函数， xR,需( )()0f xfx, 6 / 6 1 222 ( ),() 212121 x xxx f xafxaa , 由 1 22 0 2121 x xx aa ,得 2(21) 20 21 x x a ,1a 。 【预习思考】 1设fecBedcbaA,，则集合BA_； 2已知实数 a，b，x 满足xbxa，1 2 ，则 a 与 b 的大小关系是 a_b； 3命题“若 ab，则 22 bcac ”的否命题是：_； 4函数12 xy的定义域是_； 5设函数 x x xf 2 1 0 0 x x ，则2ff_； 6若 x xgxxf 2 ，则 xgxf_；
