1、第十章 圆锥曲线 抛物线及其性质 对应学生用书起始页码 考点一抛物线的定义和标准方程 抛物线的定义 到一定点 和定直线 （）距离相等的点的轨迹叫做抛 物线定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线 注意：到一定点 和定直线 （）距离相等的点的轨迹是 过点 且垂直于 的直线 抛物线的标准方程 （）焦点在 轴上的统一方程：（）；焦点在 轴 上的统一方程：（），简记：对称轴看一次项，符号决定 开口方向 （）标准方程的求法：定义法和待定系数法 考点二抛物线的几何性质 高频考点 标准 方程 （）（）（）（） 图形 范围， 准线 焦点 ， () ， () ， () ， () 对称 性 关于 轴对称关
2、于 轴对称 顶点（，） 离心 率 焦半 径长 焦点 弦长 （ ） （ ） 其中 （，），（，）是抛物线上两动点，且 过焦点 ，线段 称为抛物线的焦半径，线段 称为抛物线的焦点弦 焦点弦的性质 以抛物线 （）为例，设 是抛物线的过焦点 的一条弦（焦点弦）， 是抛物线的焦点，（，），（，）， 、 在准线上的射影为 、，则有以下结论： （） ， ； （）若直线 的倾斜角为 ，且 位于 轴上方， 位于 轴下方，则 ， ； （） （其中 为直线 的倾斜角）， 抛物线的通径长为 ，通径是最短的焦点弦； （） （其中 为直线 的倾斜角）； （） 为定值； （）以 为直径的圆与抛物线的准线相切； （）以 （或
3、 ）为直径的圆与 轴相切； （）以 为直径的圆与直线 相切，切点为 ， ； （），三点共线，三点也共线 如图所示， 是抛物线 （）的过焦点的一条 弦（焦点弦），分别过 ， 作抛物线的切线，交于点 ，连接 ，则有以下结论： （）点 的轨迹是一条直线，即抛物线的准线 ： ； （）两切线互相垂直，即 ； （）； （）点 的坐标为 ， 非焦点弦性质 （）已知直线 与抛物线 （）交于 、 两点， 若 ，则直线 过定点（，），反之亦成立； （）已知 （，）是抛物线 （）上任意一点， 点 （ ， ） 是 抛 物 线 的 对 称 轴 上 一 点， 则 （）， （） 年高考年模拟 版（教师用书） 对应学生用书起
4、始页码 一、应用抛物线定义解题 求轨迹问题 主要抓住到定点的距离和到定直线的距离的几何特征，并 验证其满足抛物线的定义，然后直接利用定义便可确定抛物线 的方程 求最值问题 主要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离转 化为抛物线上的点到准线的距离；二是把抛物线上的点到抛物 线的准线距离转化为抛物线上的点到焦点的距离在解题时要准 确把握题设条件，进行有效转化，探求最值问题 （ 湖南三湘名校联盟第二次联考，）已知直线 ： ，：， 为抛物线 上任意一点，则点 到直 线 与 的距离之和的最小值为（ ） 解题导引 由抛物线定义将 到直线 的距离转化为 转化为求与点 到 直线 的距离之和 利用三点共
5、线求其最小值 解析 由抛物线 知其准线方程为 ，由抛物线 定义可知点 到直线 ： 的距离等于点 到焦点 的距 离， 点 到直线 的距离与点 到直线 的距离之和的最小 值为点 （，）到直线 ： 的距离即 （） 故选 答案 （ 河南中原名校 月联考，）已知 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的两点，且 ，则线段 的中点到 轴的距离为（ ） 答案 解析 如图所示，设抛物线的准线为 ， 的中点为 ，作 于点 ， 于点 ， 于点 ，由抛物线的方 程知 ，由抛物线定义知 ，所 以点 到 轴的距离为 （ ） ，故选 （ 江西宜春 月联考，）已知抛物线 ： （）的焦点为 ，点 是抛物线 上一点，圆 与 轴相 切，
6、且被直线 截得的弦长为 ，若 ，则抛物线的 方程为（ ） 答案 解析 设圆 与 轴相切于点 ，直线 与圆 交于 ， 两点，如图所示，设 （，），则 ， ， () ，解得 ，由抛物线 的定义知， ， ， ，即 ， 抛物线的方程为 ，故选 二、抛物线焦点弦问题的求解方法 当直线与抛物线相交且直线过焦点时，要充分考虑抛物 线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离 进行转化，利用数形结合的方法或将交点坐标（，），（，） 进行整体运算（如用根与系数的关系对 ， ， 进行整体运算）求解 熟练掌握与焦点弦有关的结论是快速解决与焦点弦有关 的选择题和填空题的关键（见考点清单中的拓展延伸） （ 清
7、华大学学术能力诊断，）已知抛物线 ： （），过焦点 且斜率为 的直线与 相交于 ， 两点， 且 ， 两点在准线上的射影分别为 ， 两点，则 （ ） 解题导引 过 作 于 ， 求， 求 解析 不妨设 在第一象限，过 作 ，垂足为 ， 设准线与 轴的交点为 ， 直线 的斜率为 ， 直线 的 倾斜角为 由抛物线焦点弦的性质可得 在 中， ， ，由题意可知 第十章 圆锥曲线 ， 故选 答案 （ 福建泉州五中月考，）已知抛物线 ： ，那么过抛物线 的焦点，长度为不超过 的整数的弦 的条数是（ ） 答案 解析 由抛物线焦点弦的性质可知过抛物线焦点的弦长 为 （其中 为直线的倾斜角），由此可知，当 时，焦点
8、 弦的长度最短，其最短长度为 ，故长度为不超过 的整数 的弦的条数为（ ） ，故选 （ 广东韶关第一中学月考，）直线 过抛物线 （ ） 的 焦 点 且 与 抛 物 线 交 于 ， 两 点， 则 （ ） 答案 解析 不妨设点 在第一象限，过 ， 分别作抛物线准 线的垂线，垂足分别为 ，如图所示，设直线 的倾斜角为 ， 由抛物线定义可知 ，所以 ，同理， ，则 ，所以 ， 故 选 （ 湖南五市十校联考，）过抛物线 ：（ ）的焦点 的直线 与抛物线交于 、 两点（其中 点在第 一象限），若 ，则直线 的斜率为 答案 解析 解法一：设 （，），（，），其中 ， ， 设直线 的方程为 ()，联立 ， ()， 得 ， ， ， ， 解法二：由题意可知 ，设直线 的倾斜角为 ， 由抛物线焦点弦的性质可知 ， 即 ， 解得 ， 为直线的倾斜角， ， ， 即直线 的斜率为
